中考培优竞赛专题经典讲义 第33讲 几何三大变换之平移学案.docx

第33讲几何三大变换之平移平移的性质平移的性质：ABCDEF平移的距离：BE=CF=AD平移的性质：XNBC DEF平移的距离：BE=CF=AD平移的性质：ABC DEF平移的距离：BE=CF=AD四边形ABE。、四边形8ECA 四边形ACTO均为平行四边形，月.S四边形十S四边形3EFC二S四边形AC。函数的平移变换真言：“左加右减”，“上加下减”【例题讲解】例题 L 如图，将 AABC沿方向平移得到 AD£F,若 NB = 90。，AB = 6, BC = 8, BE = 2, DH = 1.5,解：AABC沿3c方向平移得到ADEF,DE = AB = 6,v OH = 1.5,HE = DE DH = 6 15 = 45 ,/ZB = 90°,四边形ABE”是梯形，S阴影=SDEF - S ACEHS阴影=SDEF - S ACEH=SmbC - SCEH S梯形abEH= "AB + HE”BE = 1x(6 + 4.5)x2 = 10.5.故 10.5.答案lb = 3 k = /31 .解：设直线AB的解析式为y = " + b, 40,3), B(-6 0),1 广 ，解得1 一.直-j3k + b = 0 b = 3线AB的解析式为y = 8 + 3.由题意，知直线=瓜+ 3绕点A逆时针旋转60。后得到直线" 则直 线人经过A(0,3), (6, 0),易求直线b的解析式为y = -Gx + 3,将直线人向上平移3个单位后得直线。，所以直线的解析式为y = -6% + 3 + 3 ,即y = -gx + 6.2.a=2 , b- 12 > c- 163.解:设0(0,2。)，则直线CD解析式为y = -2x + 2a,C(6Z,0),.OC:OD = 1:2,OD = 2a 9 OC = a ,根据勾股定理可得：CD70C-0D2 =瓜.以CD为直角边的APCD与AOCD相似，当 NCDP = 90。时，若 PD:DC = OC:OD = 1:2, PD = a, 2设P的横坐标是尢，则P点纵坐标是-V+3x,根据题意得:Y + (%2 + 3x 2)-则p的坐标是：(L 2当NCDP = 90。时,若 DC:PD = OC:OD = T:2,当NDCP = 90。时,若 PC:OC=OC:OD = 1:2,当ZDCP = 90。时,若 DC:PD = OC:OD = 1:2,同理可以求得P(2,2),则尸(口，), 416则 P(»,).525(瓜)2 + ( a)X = 解得： ;a = = (-X2 + 3x)2 +(% _ 编2故3 ”2,2),44.解：设点a的坐标为,AO.= 2,BC取。4的中点点3相当于点D向右平移了 ？个单位, 217点。的坐标为(一a, a), 23厂B 点坐标为(1CI 9 (i) 92 23k点A, B都在反比例函数y = *的图象上, x42,91 、QX - CI Cl X (1CI),3322解得1 = 3或0(0不合题意，舍去)点A的坐标为(3,4),5 .解：(1)设直线的解析式为y =日，A(2,4),.2攵=4,解得攵=2,线段。4所在直线的函数解析式为y = 2x ；(2)顶点M的横坐标为z ,且在。4上移动，/. y = 2皿噫配2), 抛物线的解析式为y = (x -加了 + 2m ,当 x = 2 时，y = (2- m)2 + 2m = rrr - 2m + 4(喷版 2),PB = m2 - 2m + 4 = (m -1)2 + 3(0>h 2),，当z = l时，PB最短,当依最短时，抛物线的解析式为y = (x-Ip+2；(3)若二次函数的图象是过点Q(qm-1)则方程。1 = ("1)2+2有解.即方程43a + 4 = 0有解， = (3)24x1x4 = 7<0.二次函数的图象不过点Q.6 .解：(1),直线y = 2x + 4与y轴交于A点，与x轴交于3点, .令x = 0,可得丁 = 4,则点A的坐标为A(0,4),令丁 = 0,可得I = _2,则点5的坐标为(-2,0),将 A(0,4), 3(-2,0)代入)=/+法 + /4可得解得4 = c0 =x4-2b + c4,3b = 2c = 4.抛物线G的解析式为： > =-工/+ + 4, 4213令 y = 0 ,则x2 + x + 4 = 0,“42解得x = 8,.C点坐标为(8,0)；由 知,5(-2,0), C(8,0).设3c的中点为G,则G(3,0)./+' + 4 =(>3)2+竺244平移后抛物线的解析式为：y = -(x-8)2+；447,解：(1)设抛物线为y =以2 +bx + ca 0),a-b+c=0将 A(l,0)、3(3,0)、。(0,3)代入得19 + 3h +。= 0,c = 3。=-1 解得:b = 2 .c = 3故抛物线解析式为：y = V+2x + 3,y =一工2 + 2x + 3 = (x I)2 + 4 ,故顶点坐标为(1,4)；故 y = -x2 + 2x + 3 , (1,4)；(2)由(1)得，y = + 2x + 3 = (x 1) + 4 ,平移后的抛物线为：y = (x 1 尸+ 4 3 = (x 1 了 +1,平移后的抛物线顶点为(1 +? 1)，设直线8C的解析式为：y = mx+n,将 3(3,0)、。(0,3)代入得解得:解得:m = -l =3直线BC的解析式为y = x + 3 ,当 y = l 时，x = 2,/.I <l + n<2,直线BC的解析式为y = x + 3 ,当 y = l 时，x = 2,/.I <l + n<2,8.解：(1)如图， 设正方形BEFG的边长为x, 贝 UBE=FG = 3G = x,AB = 3 , BC = 6 ,AG = AB BG = 3 x, .GF/BE, AAGFAABC，AG GF卬=,36解得：x = 2,即 BE = 2；(2)存在满足条件的，理由：如图，过点D作DHLBC于H ,则 BH = AD = 2, DH = AB = 3,由题意得：BB' = HE = t, HBf=t-2, EC = 4 t,EF/AB,MECsMBC ,ME EC m ME 4-t=,即=,AB BC 36.ME = 2-L , 2在 H/ZX8ME 中，BrM2 = ME2 +BfE2 = 2" +(2-t)2 =-r2-2z + 8 ,24在 RtADHB'中，BfD2 = DH2 + BfH2 =32+(Z-2)2 =产41 +13 ,过点M作MV _L于N ,则 M7V = HE =，NH = ME = 2-t, 2:.DN = DH -NH = 3-Q-=t) = L + ,在 RtADMN 中，DM2 = DN2 + MN2 =-/2+/ + l , 4(I )若 NDBM=90。,则 DM2=?m2+B。,即一/+ % +1 =(一/2 + 8) + (/41 +13) 944解得：t = , 7(II)若“"D = 90。，则&。2=0/ +。”，即，2 4, +13 = ( ?2 2, + 8) + (厂 +，+1) 944解得：t = -3+n , t2 = -3 yfn (舍去),t 3 + Jl 7 ；(III)若 N® DM =90。，则 8" =37)2+。疗，即：一广2, + 8 = (r 4/ +13) + (/+ / +1),44此方程无解，综上所述，当:卫或-3 + J万时，氏皿是直角三角形; 7(3)如图，当方在CD上时，EF:DH = CE:CH ,即 2:3 = CE:4,:.CE = -,38 4.t = BBr = BC-BrE-EC = 6-2 =一，3 3.ME = 2-L,2FM 1924当崂出4时，S = S"mn- 1如图，当G在AC上时，t = 2, r)j-f qq, EK = EC<tan ZDCB = EC=二(4一，)= 3 一 一tCH 443 :.FK = 2-EK = -t-424；NL = -AD = ,FL3 当:</, 2 时，S = SmN - - S梯形MNLK = S梯形夕EKL _ S梯形夕EMN = 一万,+ 5 .FKL+/_'| ；34 Z 3 4O3如图，当G在CD上时，BC:CH = B，G:DH ,即9C:4 = 2:3,解得：BfC = -, 3/ EC = 4-t = BfC-2 = -, 310t ,3 BfN = -BfC = -(6-t) = 3-t 9222.GN = GB，-B，N = L 1,2当2<&此时, 3S = S梯形 gmw尸S»FKLS = S梯形 gmw尸S»FKL1 (1 1X 2 X / Idt如图，当好.,4时， 333331111vBfL = BfC = 6-t), EK = -EC = -(4-t) , BrN = -BfC = -(6-t), EM =-EC = -t),综上所述：4 当啖小凡时，34 当？4,2时，3当2却W时,3当竺vf,4时, 3S=-r,4c 1 .2S = 一一r +，一一8c 3 2S =r8S =1 H223+ 2/-*35图 图图图图 图9.解：(1)ZAO5 = 90。， ZB = 60°, . ZBAC = 30° ,4月，0), .£O = 1 ,NEM9 = 60。， NEO歹= 90。，s EO 273 卜卜=_-sin 60°3(2)存在，理由如下:如图1,作用。JLBC,AVPC 6,/ FO =， 3ZB = 60°ZB = 60°:.B、D =立,'3/. BBB、D _2 sin 60。-3如图2,.AE = 2,*/ BB】=EEX = x ,/. EM = (2 - x),+ (2-x).x = -x2+ x22 3363当2<x,此时，S为AAEF的面积， 3诉 |、j Q 1 _ _ 1 2a/3273Ht 以 S = EFAE = - xx 2 =,2233当竺<玉,4时，如图33AC = 33 ，/ AO = a/3 , OF =, 3/.CF = 3V3-j3- -=, 33此时即当gG过点/时工="，当 x此时，FM= (x-),在 RT及4MF 中,NM =43FM =-(x-) 333AB = 6 ,2 57GX HX221J3DB： = (6 x) 9 AD 2 (6 - x),:.S=-DA.DB. =-x-(6-x)x-(6-x) =22 22一*九2+竿武砌2)2G叫_ (2 < x,)综上可知s与x的函数关系式为：s = 4333g 2 5773 10公822 3百2 3G 96 小 区-x-x +-(4凡，6)V3 2 3G973qjCx h(4 用，6)822%2+x(m 2)6310 .解：(1)令 > =26，2a/3=a/3x-2V3 ,解得 = 4,贝 I04 = 4 3 = 1,/. C(4， 26), D( , 273)；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为匕1 = 9, 22令x = »,则 y = gx*_2/3 =，222顶点坐标为（|,与,设抛物线解析式为y = a（x-|y+*,把点既1, 26）代入得，a = 当, 二解析式为丁 =迪（工一9）2+且，An 273 9 10731473即 v =%2x + ,333设顶点£在直线上运动的横坐标为z ,则E（m，6加-2Gxm>0） 二可设解析式为 y = -(x-m)2 + >j3m - 2s/3 ,若G£=E尸时，FG = 2&,则/(0, 2日-25,代入解析式得：nr + yfirn 2a/3 = 2/3m 2/3 ,解得7 = 0 (舍去)，m = 32例题2. 如图，AABC中，ZACB = 90° , AB = 8cm,。是AB的中点.现将ABCD沿方向平移1。机, 得到郎;七，FG交AC于H ,则G”的长等于cm.解：.AA3C 中，ZACB = 90° , AB = Scm,。是 AB 的中点,/. AD = BD = CD = AB = 4cm ；2又AEFG由AfiCD沿BA方向平移1cm得到的, .GH/CD, GD = cm, . MGHAADC，GH AG nn GH 4-1DC AD 44解得，GH = 3cm；故答案是：3.例题3.如图，AABC和ADBC是两个具有公共边的全等三角形，AB = AC = 3cm. BC = 2cm,将ADBC沿射线3C平移一定的距离得到R4G，连接AC- BD如果四边形abac是矩形，那么平移的距离为 cm. .ZAEB = ZAEQ = 90° ,:.ZBAE+ZABC = 90° vAB = AC, BC = 2, . be = ce=Lbc = i,2 四边形A52G是矩形，. ABAC. =90。,此时所求的解析式为：y =3)21；322 ZABC + ZAC,B = 9G0 , .ZBAE = ZAQB, .ABEs/GBA,BE AB 9 AB BC,vAB = 3, BE = k 1 _ 3, 3 一而BQ =9,. Cq =BCBC = 9 2 = 7 ；即平移的距离为7.故答案为7.k例题4.如图，反比例函数y = 4(x>0)的图象和矩形ABC。在第一象限，AD/x轴，且AB = 2, AD = 4 , x点A的坐标为(2,6).若将矩形向下平移，使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则攵的值解：设矩形平移后A的坐标是(2,6-x), C的坐标是(6,4-x), A、C落在反比例函数的图象上，/. k = 2(6 -x) = 6(4 - x),解得x = 3 ,即矩形平移后A的坐标是(2,3),代入反比例函数的解析式得：A = 2x3 = 6.故答案为6.70例题5.已知：如图，在矩形ABCZ）中，AB = 5, AD = , AEA.BD,垂足是E.点尸是点E关于AB 3的对称点，连接AF、BF.若将AA的沿着射线班）方向平移，设平移的距离为加（平移距离指点5沿皮）方向所经过的线段长度）.当点尸分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的，的值；设平移中的三角形为 A笈尸，如答图2所示: 由对称点性质可知，N1 = N2.设平移中的三角形为 A笈尸，如答图2所示: 由对称点性质可知，N1 = N2.BF = BF' = 3.当点尸落在上时，.AB/A笈, Z3 = N4, Z3 = N2,.BB = BE = 3,即加=3；当点尸落在45上时， AB/A8 , N6 = N2, .N1 = N2, N5 = N1, Z5 = N6,又易知 8斤。为等腰三角形，.BD=BF = 3,:.BBf = BD-BfD = -3 = ,即16m = 一3例题6.已知二次函数y = -；Y+|x的图象如图.将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与九轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若NAC5 = 90。，求此时抛物线的解析式.I;“八解：由 > =工2+21得：X =42%0(3,0)；如图，设平移后的抛物线的解析式为=则 C(0,Z),即 OC = 3令 y = 0 ,即-x2 + x + Z: = 0 , 42解得：% =3 +可 + 9 ， x? =3-J4- + 9 , 4(3 j4表 + 9 , 0) , 3(3 +J4Z + 9 ， 0),6=(心 + 9+3-3 + + 9)2 =16L + 36 ,AC2 + BC2 =廿 + (3 - ，41 + 9)2 + / + © + 可 + 刀=2k2 + 8攵 + 36 ,. AC2 + BC2 = AB2 ,艮|J222+8Z + 36 = 16Z + 36,解得：用=4, k2 =0 (舍去)，抛物线的解析式为y =【巩固练习】.在直角坐标系中，一直线。向下平移3个单位后所得直线b经过点A(0,3),将直线b绕点A顺时针旋转60。后所得直线经过点5(-6, 0),则直线。的函数关系式为 L.若二次函数y=2 (x+1) 2-1是由二次函数>2=加+法+c先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 的，贝1J， b-， c-.1 .已知点P是二次函数y = -V+3x图象在 > 轴右侧部分上的一个动点，将直线> =一21沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、。两点.若以CD为直角边的APC。与AOCD相似，则点尸的坐标为x.如图，直线 > 与双曲线> = A(x>0)交于点A.将直线y = ±x向右平移？个单位后，与双曲线3x32若4 = 2,则女= BC若4 = 2,则女= BC.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2,4),直线x = 2与x轴相交于点3,连结3,二次函数y = Y图象从点o沿(加方向平移，与直线x = 2交于点P,顶点加到A点时停止移动.(1)求线段所在直线的函数解析式；(2)设二次函数顶点的横坐标为相，当相为何值时，线段形最短，并求出二次函数的表达式;(3)当线段依最短时，二次函数的图象是否过点。(64-1),并说理由.如图，在平面直角坐标系中，直线y = 2x + 4与y轴交于A点，与x轴交于3点，抛物线G : > =-工人2+法+。过a、B两点,与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线解析式及。点坐标；求抛物线C的表达式;X)求抛物线C的表达式;X)2 .如图，已知抛物线经过点A(l,0)、8(3,0)、。(0,3)三点.(1)该抛物线解析式为；顶点坐标为(2)将该抛物线向下平移3个单位长度，再向右移动次>0)个单位长度使得抛物线的顶点在AA3C内部(不包括边界)，试求及的取值范围;备用图备用图.已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC, ZB = 90°, AD = 2, BC = 6, AB = 3. E 为 BC 边 上一点，以BE为边作正方形BEFG,使正方形皮尸G和梯形A5CD在3c的同侧.（1）当正方形的顶点E恰好落在对角线AC上时，求班的长；（2）将（1）问中的正方形Bb6沿向右平移，记平移中的正方形跳户C为正方形笈及G,当点石与 点。重合时停止平移.设平移的距离为，正方形8£FG的边£尸与AC交于点连接8。，BM , DM,是否存在这样的/,使笈DM是直角三角形？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形夕£FG与AAOC重叠部分的面积为S,请直接写出S与1之间的 函数关系式以及自变量/的取值范围.3 .如图，有一张直角三角形纸片A5C, ZACB = 90° , NB = 60。，BC = 3,直角边AC在x轴上，3点在 第二象限，A（6 0） , AB交y轴于石，将纸片过石点折叠使班与£4所在的直线上，得到折痕族（方 在x轴上），再展开还原沿£F剪开得到四边形BCEE,然后把四边形3c正从石点开始沿射线£4方向 平行移动，至3点到达A点停止（记平移后的四边形为旦G耳耳）.在平移过程中，设平移的距离3耳=x ,四边形BCFE与AA£F重叠的面积为S.（1）求折痕EF的长；（2）平移过程中是否存在点月落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由;（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.VABC = 2a/3 ,直线顶点为点石(顶点在y 若存在，请求出此时抛.如图，在平面直角坐标系my中，矩形ABCD的边AB在X轴上，且AB = 3,y =2道经过点C,交y轴于点G.(1)求C,。坐标；(2)已知抛物线顶点丁 =瓜-26上，且经过点C, O的抛物线的解析式.(3)将(2)中抛物线沿直线)，= -26平移，平移后的抛物线交y轴于点产，轴右侧).平移后是否存在这样的抛物线，使以EQEG的AEFG为等腰三角形? 物线的解析式；若不存在，请说明理由.