教案21：角的概念的推广和弧度制.docx
教案21：角的概念的推广和弧度制一、角的概念的推广【问题探讨】角的概念与记法问题思考一：1 .初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？2 .如果你家的时钟慢了 5分钟，你将怎样把它调整准确？假如它快了 1. 25小时，你应当怎样 将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？3,体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度？正角：.负角：零角：记法：“角a ”或“乙a ”，也可以简记作“ a ” .象限角问题思考二：4.能否以同一条射线为始边作出下列角：210°, -45°, -150°?象限角：210°角是第 象限角；-45°角是第 象限角；150°角是第 象限角.0°角呢？ 180°角呢？ 锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？终边相同的角问题思考三：5.在直角坐标系中标出210°, -150°的角的终边，你有什么发现?它们有怎样的数量关系? 330°, -30°, -390°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系？ 终边相同的角：所有与a终边相同的角，连同角a在内，可以构成一个集合S =终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.【典型例题】例1.在0°360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.(1) 3000°(2) 950°12'小结：先估计3000°、-950°12'大致是360°的几倍，然后再具体求解.例2.写出终边在y轴上的角的集合.变式练习：.(1)写出终边在x轴上的角的集合.(2)写出终边在坐标轴上的角的集合.例3.写出终边在直线y = x上的角的集合S,并把S中适合不等式3600工尸 720°的元 素月写出来.例4.写出终边分别在下列象限的角的集合第一象限第二象限第三象限第四象限 思考：以上的解答形式唯一吗？尤其是第四象限的角。a例5.若a是第一象限的角，则一是第几象限的角？若a分别是第二、三、四象限的角呢?2二.弧度制问题思考四：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？ 我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量 是否也能用不同的单位制呢？ 1孤皮(Trad)的角定义：例1.下列四个命题中，不正确的有A.半圆所对的圆心角是B. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径C周角的大小是2乃D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度角度制与弧度制的互化(1)互化公式：例2.试将下列各角化为弧度制 0° (2) 30°(3) 45°(4) 60° (5) 90°(6) 360°(7) -15° (8) -225°例3.将下列用弧度制表示的角化为2壮+戊(%£乙0二2<2乃)的形式，并指出它们所在157r327r的象限：一二"2。43变式练习：.1 .试用弧度制分别表示四个象限角的集合；7T 27r47r5 yr2 .已知0<夕<2，且夕与7<9相同，求a (8 = 、兀、.)3333例4.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示).(2)(3)(2)角与实数的对应关系扇形的弧长与面积公式公式：例5.一个扇形的周长为求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.变式练习：%冗.已知一个扇形的周长为一+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积。9【课后练习】.下列转化结果错误的是CB."兀化成度是400。37TD.土化成度是15。123A. 67。30'化成弧度是一兀8C. 120。化成弧度是*兀6.已知扇形的周长是6。72,面积是2c加2,则扇形的圆心角的弧度数为A. 1B. 4C. 1 或4D. 2或42R + aR- 6解：设扇形的圆心角为a,半径为Ran,贝ij 1 ,，解得1 = 1或。=4.R【a=22 k/ jr.设集合M = a|o =,keZ1, N = a-7r<a<7r,则A/nN =kTT4R解：由一万竺一上 可得：一一<%< ,左£Z,.% = 1,0,1,2,2333即° = 9»，工，工，空，则Mp|N = (万，工，工，网!63 6 31 63 6 3 J.己知名/都是锐角，且a +尸的终边与-280。角的终边相同，二-尸的终边与670。角 的终边相同，求角a,£的大小.解：由题意可知,。+夕=一280。+/360。，Z£Z.Va,4都是锐角，0。<。+4<180。.取攵=1,得。+4=80。.。一夕=670。+攵360。，kGZ, :a,夕都是锐角，一90。<1一夕<90。.取左=一2,得夕一夕=一50。.由,得 q=15。，6=650.4 .已知角a的集合M=a|o = 30° + h90°,Z£Z,回答下列问题：集合M有几类终边不相同的角？集合M中大于-360。且小于360。的角是哪几个？写出集合中的第二象限角p的一般表达式.解：(1)集合M的角可以分成四类，即分别与一150。，-60°, 30。，120。的终边相同的角.人nr 13,11(2)令-360°<30° + 90°<360°，贝U < 攵 < 一，33又因为 k£Z,所以攵=一4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,所以集合M中大于一360。且小于360。的角共有8个，分别是：-330, -240°, -150, -60°, 30°, 120°, 210°, 300.(3)集合M中的第二象限角与120。角的终边相同，所以夕=120。+攵.360。，kZ.6 .已知角月的终边在直线氐 y = 0上.写出角夕的集合S；(2)写出S中适合不等式360Y / < 720°的元素.解：(1)因为角£的终边在直线瓜-y = 0上，且直线氐-y = 0的倾斜角为60。，所以角6的集合S= .b=60。+4180。, keZ.(2)在5=夕b=60。+女180。,攵£Z中，取攵=2,得用=300。； 取左=1,得夕= 120。；取攵=0,得夕=60。；取攵=1,得夕=240。； 取攵=2,得夕=420。；取攵=3,得夕=600。.所以S中适合不等式一360。<夕<720。的元素分别是：-300°, -120°, 60°, 240°, 420°, 600°.7 .某中学校园内拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角<9 （弧度）,（1）求8关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分 的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花 坛的面积与装饰总费用之比为y,求y关于尤的函数关系式. 解：（1）由题可知30=火10 +乃+ 2（10功，所以<9=10 + 2% xw（o 10）,.10 + x（2）花坛的面积为；火10二一炉）=（5 + 乃（10-%）= -炉 + 5% + 50（0<x<10）,装饰总费用为98（10 + %） + 8（10 -x） = 170 + 10%,所以花坛的面积与装饰总费用之比为丁= X十,十170 + lOx8.用一根长为10根的绳索围成一个圆心角小于"且半径不超过3帆的扇形场地，设扇形的 半径为xm，面积为S(1)(2)(1)(2)解：写出S关于X的函数表达式，并求出该函数的定义域；当半径x和圆心角。为多大时，所围扇形的面积S最大，并求出最大值.（1）设扇形弧长为/,则/ = 10 2x, .-.S = -/x =（5-x）x = -2+5x ,由0<x<3,得0 < 10-2x < 7ix0<x<3,得0 < 10-2x < 7ix'10<71 + 2,3 ，从而S = 一厂+ 5x, x e9(5(2 ) S = -x2+5x = - x 25+ 一4% 7T + 2，从而当x 时，225/5Smax = SSmax = S,此时，/ = 5,圆心角。=上=2,答：当扇形半径为士，圆心角为225 时，所围扇形场地面积最大，最大面积为一.4
