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2005 年 3 月 系统工程理论与实践 第 3 期 文章编号：1000-6788(2005)03-0080-06 R/S 系列分析的非线性估计及应用 郝清民（天津大学管理学院，天津,300072）摘要：针对 R/S 系列分析方法在估计 H 参数时存在一定偏差，从而导致分析结论产生分歧的问题，提出用非线性估计方法提高 R/S 系列分析估计 H 参数的精确度，同时结合 ARFIMA 模型对估计精度进行了验证.最后应用非线性 R/S 方法揭示中国股市主要指数和个股收益序列中的长期记忆效应.关键词：长期记忆；非线性估计；ARFIMA 模型；R/S 系列分析 中图分类号：O212 文献标识码：A Non-linear Estimate and Its Application on R/S Series Analysis HAO Qing-min (School of Management,Tianjin University,Tianjin,300072,China)Abstract:Abstract:R/S series analysis is widely used as measures of long memory in time series.As H parameter estimated bias existed and the precision may be improved through using non-linear estimate as we proposed and verified with ARFIMA model.Finally long memory characters of Chinese stock index and stock samples are revealed by non-linear R/S analysis.Key words:Key words:long memory;non-linear estimate;ARFIMA;R/S series analysis 1 引言 传统资本市场理论主要是基于“线性范式”的“有效市场假说”，并假定股票市场收益率服从正态分布或对数正态分布.但多数经验研究表明，收益时间序列尽管是协方差平稳的，但多数表现出尖峰、胖尾、有偏和时变波动等非线性特性，预示着时间序列数据并非只是服从独立同分布或“鞅过程”.一旦时间收益序列中存在长期记忆性，基于线性范式思考方式和基于正态分布假设的分析方法将受到一定限制.R/S 分析是揭示金融时间序列长期记忆性主要方法之一，是由 Hurst1提出分析水库长期存储能力的一种稳健非参数方法，可用以揭示自然界中随机和非随机、趋势变化和循环持续等现象；Mandelbrot2将 R/S 分析应用到分形几何学中，并命名主要参数为 Hurst 指数，以此揭示股市的局部随机性和整体确定性；Peters3提出分形市场假说代替有效市场假说，采用 R/S 分析作为主要工具，用实证方法系统分析了美国股市道琼斯工业平均指数（DJIA）和标准普尔指数（S&P500），认为 DJIA 和 S&P500 收益序列中存在长期记忆性，约有近 4 年的非周期循环.Lo4认为如果时间收益序列中存在短期记忆时，用 R/S 估计方法会导致参数估计有偏.因此，Lo 对R/S 分析方法做了部分修正（简称 MR/S），主要是引进滞后因子对方差项的修正，并通过分析 DJIA 序列认为不存在长期记忆效应.而 Moody5认为 Lo 的统计方法本身就是有偏的，而且在试图修正时因为高频数据而产生了新的问题；其修正值对短期记忆又太过敏感，从而导致 H 指数估计失真，因此 Moody 提出相应的无偏估计方法，并对高频数据 DEM/USD 汇率进行分析，认为此汇率序列中不存在均值回复特性.Hauser6采用 MontCalo 方法对揭示长期记忆过程的参数和非参数估计方法(包括 R/S 分析)进行了比较研究，并分析了六个主要国家的 19851995 年的日汇率情况，认为序列中不存在长期记忆性.收稿日期：2004-04-26 作者简介：郝清民(1969)，男，河北赵县人，博士，主要研究方向：公司金融，Email: 第 3 期 R/S 系列分析的非线性估计及应用 81 我国多数学者7-8采用 R/S 系列方法分析了我国股市的长期记忆性，并得出我国股市收益序列具有持久特性和分形结构，从而推测当前股市是非有效的、具有记忆性和可预测性.林淑真9用 R/S 方法和 GM(1,1)模型分析了灾变时间过程中的长期记忆性，并结合灰色系统进行预测分析.陈梦根10采用 MR/S 方法检验了代表我国股市总体的股价指数，认为我国股市不具有长期记忆效应，而个股收益序列差异较大，只有少数个股存在长期记忆行为，从而判定中国股市总体上已经达到弱式有效.自此，国内外采用 R/S 系列方法分析金融时间序列中是否存在长期记忆效应的争论性论文大量出现（见表 1）.表 1 国内外对金融时间序列长期记忆性的探讨 主要研究者(时间)研究样本 主要工具 简要结论 Peters(1991,1994)DJIA,S&P500 R/S 有长期记忆效应，近 4 年非周期循环 Lo(1991)DJIA MR/S 无长期记忆效应 Cheung&Lai(1993)DJIA MR/S,谱回归 无长期记忆效应 Crato(1994)DJIA 最大似然估计 无长期记忆效应 Moody J,Wu L(1996)DEM/USD 汇率 MR/S 再修正 有轻微的趋势，无均值回复 Hauser M(1997)六国的每日汇率 Monte Carlo 无分形协整现象 Barkoulas(2000)希腊股市 R/S 有较小的长记忆效应 Skjeltorp(2000)挪威 OSE，DJIA R/S,Levy 分布 长记忆现象，无确定循环 Anning Wei(2000)芝加哥纽约期货 R/S,R/S,ARFIMA糖期货有长期依赖和时变波动性，其它五种无Panes(2001)雅典个股 R/S 存在长期记忆 Sourai(2002)埃及 IFC 周收益 ARFIMA,FGARCH 存在长期记忆 Kyrtson(2002)巴黎 CAC40 GPH,L.E 有短期记忆，超流动性 Andreadis(2000)S&P500 测度论，功率谱 持续性 Andreadis(2002)DJIA 多重分形 持续性,具有随机多分形混沌结构 洪茂蔚等(1998)美元兑新台币汇率 ARFIMA 缓长记忆，实施期增强，改制后减弱仍显著 史永东，王明涛(2000)沪深股指收益率 R/S 存在持久性特性和分形结构 伍海华(2001)个股收益率 R/S 存在持久性特性 林淑真等（2002）9 种不同记忆灾变序列 GM(1,1)，R/S 灾变时间序列具有长期记忆效应 陈梦根(2003)股价指数，样本股 MR/S,ARFIMA 股市及总体指数无长期记忆,只有少数个股有李亚静（2003）沪深港三市 自相关系数 收益率、波动性具有长期记忆性 杨一文等（2003）上证指数周收益 模糊神经网络 R/S长期记忆性，短期可预测性 从表 1 可见，对于股市时间序列是否存在长期记忆效应的研究并未有统一定论，即使采用相似样本，近似的工具（多数采用 R/S 系列分析），也会得到不同结论.除了样本不同外，还有一个主要原因为：在通过 R/S 系列分析得到数据序列 R(n)/S(n)和序列 n 后，将理论关系式 R(n)/S(n)cnH转化为对数形式log(R(n)/S(n)=log(c)+Hlog(n)，再采用线性回归方法得到 Hurst 参数值.但是非线性公式向线性形式的转换是具有一定前提的，纯粹为了简化计算的线性转化过程会导致有偏的参数估计11.表 1 中大多数文献存在此类问题.而H指数变动范围本来就限定较小（H(0,1)），有偏估计很容易影响结论.本文拟采用非线性方法估计H指数，与文献3中线性估计方法进行比较，并采用 ARFIMA 模型估计 d 值，间接计算出H值，验证非线性估计精度.并利用非线性 R/S 分析方法分析我国股市的长期记忆性.本文其余部分结构如下，第二部分为 R/S 系列工具在H参数估计时产生偏差的主要原因分析；第三部分结合中国股指和个股时间收益序列，进行长期记忆性定量分析；最后是主要结论.2 长期记忆效应及其分析 长期记忆效应在本文中定义为股票价格的波动具有一种持久性和长期依赖关系.可以运用 Hurst 指 82 系统工程理论与实践 2005 年 3 月 数的相应函数来描述.H的范围与时间序列性质的关系为：当 0H0.5 时，序列倾向于反持久性、遍历性，表现出均值回复倾向，比随机序列具有更多的突变性和波动性；H=0.5 时，系统近似高斯独立过程，具有随机性和正态分布，变量间是相互独立的；当 0.5H1 时，序列存在长期记忆性、持续性，变量间具有相关性，表现出趋势追随倾向.通过估计时间收益序列的 H 参数值，根据 H 参数处于的不同区间范围可以判定序列的不同特性.2.1 R/S 分析及修正的 R/S 分析 分析时间序列长期记忆效应的方法之一是采用 R/S 分析来估计序列的H参数.R/S 分析的具体描述为：设有一时间序列tX，Tt,2,1?=，重标极差 R/S 分析是先将时间总长度T分为nk个区间，对可变长度为n的序列计算累积极差R(n)和标准差S(n).21112111)(1)(),()()(minmax=kjnjjjnkkjjnkXXnnSXXXXnR （1）随着时间段 n 值的逐步变化，可以计算出相应各个子样本的 R(n)/S(n)值.当 n时，二者关系趋向于QnR(n)/S(n)cnH，其中c为常数，H为 Hurst 指数.但是当序列中包含较多的短期记忆时，可能导致有偏的 Hurst 指数.因此 Lo 将短期相依性包容在分母标准差中，主要对S(n)项进行了修正，具体参见文献4.Moody 的研究则认为，Lo 的方法对时间序列中的短期记忆太过敏感，因此提出无偏估计方法：当时间区间足够长时，通过在标准差中加入自协方差来纠正偏差；时间区间较短时，通过加入新的估计误差对S减少偏差.另外还可以采用 Parzen 等方法对方差进一步进行修正，因篇幅有限在此就不一一赘述.2.2 对 R/S 系列工具估计产生偏差的原因分析 虽然R/S分析与MR/S分析估计 H 参数的方法不完全相同，但其共性为：通过变换n的步长计算出随n变化的QnR(n)/S(n)值，根据理论公式QnR(n)/S(n)cnH，计算不依赖时间变化的参数H.具体估计方法是将上述非线性形式公式转换成线性关系式 ln(Qn)=lnC+Hln(n)，再通过最小二乘法估计线性方程中近似解H值，然后根据 H 值所处范围判断序列性质，揭示时间收益序列中更深层含义.但是，对非线性回归的线性近似方法是建立在期望曲面平坦性假设以及参数坐标均匀性假设的基础上的11.一般对于非线性方程 R(n)/S(n)cnH来说，并不完全满足上述假设.将非线性方程转化成线性方程过程中变量的变换引起随机扰动的变动，从而影响到随机扰动项假设条件，进而影响参数估计统计性质.参数H本身取值范围较小，有偏估计必然影响其估计结果，从而影响相关结论.因此，对于非线性方程有必要采用非线性最小二乘法或非线性最大似然法更准确的估计参数值.为了验证非线性估计精度，本文选用 ARFIMA 模型，估计差分因子d，并通过d=H-0.5 的代数关系验证非线性估计精度.2.3 ARFIMA 模型 ARFIMA 模型是 Hosking 就 ARIMA（p,d,q）模型中的差分因子d由整数扩展到实数时（包括分数值）得到的自回归分形积分移动平均过程.该模型能以分形噪声的方式反映时间序列的持续性或反持续性，并能够在长期记忆过程中描述短期记忆的 AR 或 MA 过程，所以具有一定的描述股票市场时间序列的潜力.关于该模型的详细描述参见文献12.ARFIMA(p,d,q)模型的估计方法比较复杂，而且差分算子d的估计方法也很多，本文主要使用Doornik13采用的GPH 法以及 GSP 法，通过相应计算过程14-15估计 ARFIMA 模型参数d值.因为分形差分算子d与 Hurst 指数之间具有d=H-0.5 的代数关系，因而可以将 ARFIMA 模型中的参数和R/S系列分析模型估计参数联系起来.并通过对同一个时间序列分别估计相应的d和H参数，以此验证非线性方法对 Hurst指数估计的精确性.2.4 估计精度的对比分析 基于数据的一致性和可比性原则，本文仍采用文献3中数据 DJIA5 日收益时间系列为样本.采用经典的和修正的R/S系列方法以及非线性估计方法估计 H 指数；并通过对同一时间序列建立 ARFIMA 模型估计相应的d参数，用公式dH0.5 推算出H指数作为对比，从而验证非线性估计的精度，具体计算结果如表 2 所示.从表 2 中计算的相应数据结果比较可见，用非线性方法估计的H参数值较线性转换方法估计值更精第 3 期 R/S 系列分析的非线性估计及应用 83 确，并与用 ARFIMA 模型的两种方法估计的 H 值（0.526 和 0.523）较为相近，相差只有 2；而与线性转换方法估计值 0.572 相差约 12，非线性估计方法精度明显提高.表 2 用 DJIA5 数据计算的 Hurst 指数 线性转换法估计值非线性方法估计值 R/S（Peters）0.572 0.516 MR/S（Lo.）0.535 0.530 MR/S（Moody）0.534 0.523 ARFIMA(GPH)-d 推算的 H 0.026+0.5=0.526 ARFIMA(GSP)-d 推算的 H 0.023+0.5=0.523 数据来源:文献3作者网站 http:/ 实证分析 鉴于非线性 R/S 分析方法对 H 估计的精确性，可以利用其对中国股市指数和个股的长期记忆特性进行分析，以揭示我国股市本身深层的经济意义.样本的选取为个别股票指数以及 1993 年以前上市的部分公司股票，数据来源选用分析家系统数据，以每日收盘价为基准并进行了相应除权处理.并随机抽取 16 个公司样本股票，时间区间为1990年到2004年尽可能长的时间序列约3000天的每日收益序列.为了计算的方便和一致，本文按照常规对初始数据进行了预先处理.3.1 描述性统计 图 1 收益序列分布曲线和正态分布曲线 在上述理论分析的基础上，经过计算出的各个样本基本特性的描述性统计结果见表 3，各个统计检验结果均显著：各样本序列的 JB 统计量均显著表现出非正态性；P-P 检验和 KPSS 检验分别表明所有样本序列均在显著水平下拒绝单位根的原假设，预示样本收益序列的平稳性.为了更形象的说明问题，将峰度最小的 600690 号样本收益分布曲线以及对应的正态曲线绘制成图 1.表 3 中国股市部分样本计算结果 序列 样本数 均值 标准差 偏度 峰度 JB 统计 kpss1 pp0.01ARFIMA H GPH-d GSP-d000001 3154 0.00058 0.022 3.289 56.253783500.430-52.6030.0590.569 0.073 0.0571A0001 3205 0.00085 0.029 5.874 136.552.4E+060.318-53.6820.0620.604 0.071 0.0691A0002 3188 0.00086 0.034 3.977 166.253.5E+060.289-58.3510.0010.501 0.013 0.0081B0006 1943 0.00031 0.025 0.755 186.382.7E+060.220-52.048-0.115 0.457-0.137-0.113000002 3177 0.00049 0.026 0.460 14.0516282.10.053-55.2150.0240.525 0.032 0.029000016 2849 0.00027 0.030 0.296 15.5218661.90.225-52.839-0.014 0.566-0.04-0.035000026 2544 0.00038 0.029 0.970 23.2443807.30.126-52.934-0.040 0.567-0.05-0.049000507 2597-0.0002 0.033 1.018 15.5417471.20.154-49.4050.0330.52 0.036 0.033399001 3149 0.0004 0.025 0.522 18.1230135.80.117-53.2970.0630.603 0.082 0.07399106 2917 0.0005 0.024 0.885 17.40255980.173-51.6620.0520.574 0.066 0.059399107 2220 0.0002 0.042 0.225 520.412.4E+070.098-67.794-0.201 0.552-0.153-0.118600606 2836 0.0006 0.049 7.983 218.095.5E+060.105-54.0290.0060.595 0.032 0.012600631 2638-0.0002 0.026 0.618 9.344582.540.147-51.0800.0030.559-0.008-0.001600640 2606 4.5E-05 0.032 0.996 13.3111972.80.133-51.2990.0050.536 0.014 0.012600663 2545 0.00028 0.029 1.703 18.6927339.20.136-49.8350.0210.536 0.014 0.017600690 2444 0.00039 0.022 0.022 8.583346.780.352-47.6820.0150.618 0.003-0.013 84 系统工程理论与实践 2005 年 3 月 从图 1 和表 3 中综合分析可以看出，各个样本都比相应的正态分布表现出不同程度的尖峰（峰度均大于 3，最大的达 520.41，最小的 8.58）、胖尾和右偏（偏度均大于 0）现象，这些特性通常是由非线性随机过程产生的长期记忆系统的证据.说明某些大事件出现的概率明显比按照正态分布出现的概率要多.中国股票市场的收益序列分布并非简单的正态分布，基于正态分布的线性分析方法与现实之间具有一定的差距.因此有必要采用非线性的方法如非线性 R/S 方法进一步分析我国股市的特性.以此判断我国股市的持续性和长期记忆性，进而揭示我国股市更深层的经济含义.3.2 Hurst 指数的计算 本文采用非线性的R/S分析方法和 ARFIMA 模型方法，对我国股票指数和个股进行了分析，计算出各个样本的 Hurst 参数值(见表 3).虽然通过多种方法计算的参数值不完全相同，但可以从总体上反映出各个样本序列的基本特性.多数时间序列的 H 参数大于 0.5（d值大于 0），尤其是代表股市总体的指数类参数值多大于 0.5，说明我国股票市场指数具有一定长期记忆性和持久性，其他几种样本股票也具有与指数相同的特性，暗示着我国股市非有效性.此结果与我国学者（李亚静、杨一文）研究结论基本相同.4 结束语 对于我国股市中存在长期记忆性，可以解释为：我国股市的发展处于计划经济向市场经济转型期，必然受到计划经济体制下“看不见的手”的影响，国家对新兴股票市场的种种关怀以及监管政策必然影响股市市场机制的自我调节和完善，尤其某些重大政策的出台对股市的长期记忆性影响短期内很难消失.投资者中机构投资者的缺乏以及“黑庄”、“羊群效应”等非理性因素，也会导致股市收益序列之间具有一定的相关性和群集性，对散户的影响短期内难以消除.股市基础面的不稳定，上市公司业绩差、虚假报表、内幕交易以及制度的不完善等，导致长期投资预期的下降，短期投机现象严重，进一步导致股市中短期交易频繁，长期价值投资减少，增加了我国股市的复杂程度.所有这些因素在一定程度上导致了我国股票市场缺乏有效性.总之，无论是经验分析还是实证检验都说明我国股市收益序列目前具有长期记忆效应.当然上述参数估计对时间区间具有一定敏感性，同时关于揭示时间序列长期记忆效应的估计方法有待进一步研究.参考文献:1 Hurst H Long Term storage capacity of reservoirsJ.Transactions of the American Society of Civil En-gineers,1951(116):770-799.2Mandelbrot.Pareto-levy law and the distribution of incomeJ.International Economic Review,1960(1):76-106.3 Peters E.Fractal Market Analysis:Applying Chaos Theory to Investment and EconomicsM.John Wiley.1994.4 Lo A W,Long-term memory in stock market pricesJ.Econometrica,1991,(59):1279-1314.5 Moody J.Improved estimates for Rescaled Range and Hurst exponentsA.Neural Networks in Financial Engineering,Proceedings of the Third International ConferenceC.London,October 1995.6 Hauser M.Semiparametric and nonparametric testing for long memory:A monte carlo studyJ.Empirical Economics,1997(22):247-271.7 李亚静,何跃.中国股市收益率与波动性长记忆性的实证研究J.系统工程理论与实践,2003,23(1):9-15.Li Ya-jing,He Yue.The empirical analysis of the long memory properties of stock market returns and volatilities in ChinaJ.Systems Engineering-Theory&Practice,2003,23(1):9-15.8 杨一文,等.基于模糊神经网络和 R/S 分析的股票市场多步预测J.系统工程理论与实践,2003,23(3):70-76.Yang Yi-wen etal.Stock market multi-step forecasting based on fuzzy neural networks and R/S analysisJ.Systems Engineering-Theory&Practice,2003,23(1):9-15.9 林淑真.灾变灰序列长记忆效应预测分析OB/NL,http:/www.stic.gov.tw/ejournal/YearBook/88/chi/4-16.pdf Lin Shu-zhen.Prediction analysis of long-term memory effect for calamity grey series.OB/NL,http:/www.stic.gov.tw/ejournal/YearBook/88/chi/4-16.pdf 10 陈梦根.中国股市长期记忆效应的实证研究J.经济研究,2003(3):70-78.Chen Meng-gen.Empirical study on long memory in ChinaJ.Economic Research,2003,(3):70-78.第 3 期 R/S 系列分析的非线性估计及应用 85 11 李子奈,叶阿忠.高级计量经济学M.北京：清华大学出版社.2000.Li Zi-nai,Ye A-zhong.Advanced EconomicesM.Beijing:Tsinghua Press.2000.12 Hoosking J R M.Fractional differencingJ.Biometrika.1981(68):165-176.13 Doornik J A.Object-oriented Matrix Programming Using OxM.Timberlake Consultants Press and Oxford,2002.14 Doornik J A.A Package for Estimating,Forecasting and Simulating Arfima ModelsM,Oxford.1999.15 James Davidson.Time Series ModellingOB/NL,2003,http:/www.cf.ac.uk/carb/econ/davidsonje.（上接第 12 页）5 5 结语 综上所述，本文讨论了一种导致证据理论合成产生悖论的原因，并给出了一种悖论消除的方法，该方法简单易行、含义清晰，通过一个例子说明这种方法的应用；最后用文献5中的几个实例证明了该方法的合理性与科学性.参考文献:1 刘大有，李岳峰.广义证据理论的解释J.计算机学报，1997.20(2)：158-164.Liu Da-you，Li Yue-feng.The interpretation of generalized evidence theoryJ.Chinese J Computers,1997,20(2):158-164.2 Yager R R.On the D-S framework and new combination rulesJ.Information Sciences,1987,41(2)：93-138.3 孙全，叶秀清，顾伟康.一种新的基于证据理论的合成公式J.电子学报，2000，28（8）：117-119.Sun Quan,Ye Xiu-qing,Gu Wei-kang.A new combination rule of evidence theoryJ.ACTA ELECTRONICA SINICA 2000，28（8）：117-119.4 李弼程，王波，魏俊,等.一种有效的证据理论合成公式J.数据采集与处理，2002，17(1)：33-36.Li Bi-cheng,Wang Bo,Wei Jun.An efficient combination rule of evidence theoryJ.Journal of Data Acquisition&Processing,2002,17(1)：33-36.5 张所地，王拉娣.Dempster-Shafer 合成法则的悖论J.系统工程理论与实践，1997，17(5)：82-85.Zhang Suo-di,Wang La-di.Absurdities about dempter-shafers rule of combination of evidenceJ.Systems Engineering-Theory&Practice.1997,17(5)：82-85.6 Dempster A.P.Upper and low probabilities induced by a multi-valued mappingJ.Annuals of Mathematical Statistics，1967,38：325-339.7 Shafer G.A.Mathematical Theory of EvidenceM.Princeton University Press，Princeton.1976.19-63.8 邵志平，沈威力.D-S 理论在指挥自动化系统效能评估中的应用J.哈尔滨工业大学学报,2001.31(5)：693-696.Shao Zhi-ping,Shen Wei-li.Implementation of evidence theory in efficacy evaluation of C3IJ.Journal of HARBIN of Technology,2001,31(5):693-696.9 段新生.证据理论与决策.人工智能M.北京：中国人民大学出版社.1993.14-64.Duan Xin-sheng.Evidence Theory,Decision and Artificial IntelligenceM.Beijing:China Renmin University Press.1993.14-64.