中科大史济怀数学分析课件 75-76.pdf
1317.5 可积性理论 7.5 可积性理论 设f是有限闭区间,a b上的有界函数,1,:1,2,kkxxkn是,a b的分割,其分点为0ax12nxxxb.振幅 振幅 记11sup(,),inf(,),sup(,),inf(,)kkkkkkMfa bmfa bMf xxmf xx；称Mm为f在,a b上的振幅,kkkMm为f在1,kkxx上的振幅,1,2,kn.上和与下和 上和与下和 称11(,)()nkkkkS fMxx为f关于分割的上和；(,)S f 11()nkkkkm xx为f关于分割的下和；任取121(,),nkkkxx,(1,2,)kn,称11(,)()()nkkkkS ffxx 为f关于分割的 Riemann 和.显然成立(,)S f(,)S f(,)S f.定理 7.12定理 7.12 设f是有限闭区间,a b上的有界函数,是,a b的分割.若在的分点的基础上再添加l个分点而得到,a b的另一个分割,则有不等式(,)(,)(,)S fS fS fl；(,)(,)(,)S fS fS fl.作为推论,对于,a b的任意两个分割12,必有12(,)(,)S fS f.证:证:只需证明1l的情形.设的分点为012naxxxxb；的分点 为00011kknaxxxyxxb.11(,)()nkkkkS fmxx 00000111111()()()knkkkkkkkkkkk kmxxmxxmxx 132000000111111()()()()knkkkkkkkkkkkk kmxxmyxmxymxx 0000011111()inf(,)()inf(,)()kkkkkkkkkm xxfxyyxfy xxy 011()(,)nkkkk kmxxS f 00000111111()()()knkkkkkkkkkkk km xxMxxm xx 00001(,)()()kkkkS fMmxx(,)Sf.同理可证(,)(,)(,)S fS fS f.将12,的分点合起来得到,a b的另一个分割3,则有 1332(,)(,)(,)(,)S fS fS fS f.上积分和下积分 上积分和下积分 设f是有限闭区间,a b上的有界函数.称 ()inf(,):I fS f是,a b的分割 为f在,a b上的(Darboux)上积分；称 ()sup(,):I fS f是,a b的分割 为f在,a b上的(Darboux)下积分.显然,a b上有界函数f的上积分()I f和下积分()I f都存在,并且()()I fI f.定理 7.13(Darboux 定理)定理 7.13(Darboux 定理)若f是有限闭区间,a b上的有界函数,则 0lim(,)()S fI f,0lim(,)()S fI f.证:证:0,存在,a b的分割0使得0(,)()2S fI f.假定分割0 的小区间个数为1l.对于,a b的任意分割,将0和的分点合起 133来得到,a b的另一个分割.显然比最多只多出l个分点.于是,0(,)(,)(,)S fS fS fl,00(,)()(,)(,)22S fI fS fS fl.取021l,则当时便有0(,)()22S fI f.这说明0lim(,)()S fI f.同理可证 0lim(,)()S fI f.定理 7.14（可积性定理）定理 7.14（可积性定理）若f是有限闭区间,a b上的有界函数,则下述 3 个条件彼此等价.(1)0,存在,a b的分割,使得(,)(,)S fS f；(2)f在,a b上的上积分和下积分相等,即()()I fI f；(3)f在,a b上(Riemann)可积.证:证:(1)(2).0,取,a b的分割,使得(,)(,)S fS f,故0()()(,)(,)I fI fS fS f,从而()()0I fI f.(2)(3).对于,a b的分割,由(,)(,)(,)S fS fS f,()()I fI f,00lim(,)(),lim(,)()S fI fS fI f,便知存在有限极限 0lim(,)()baS ff x dx.(3)(1).0,存在,a b的分割1,:1,2,kkxxkn,其分点为012naxxxxb,使得12(,)n ,1,kkkxx(1,2,)kn,都成立 11()()()()33nbbkkkaakf x dxfxxf x dx.134让1,kkkxx(1,2,)kn变动可得到 1111()()()()33nnbbkkkkkkaakkf x dxmxxMxxf x dx.于是,2(,)(,)3S fS f.定理 7.15 定理 7.15 若f是有限闭区间,a b上的单调函数,则f在,a b上可积.证:证:不妨设f在,a b上递增,()()f af b.0,取,a b的分割1,:1,2,kkxxkn,01naxxxb,使得()()f bf a.于是,11(,)(,)()nkkkkS fS fxx 111()()()nkkkkkf xf xxx 11()()nkkkf xf x ()()()()f bf af bf a.由定理 7.14 便知f在,a b上可积.定理 7.16 定理 7.16 若f是有限闭区间,a b上的连续函数,则f在,a b上可积.证:证:0,取,a b的分割1,:1,2,kkxxkn,01axx nxb,使得kb a(1,2,)kn.于是,11(,)(,)()nkkkkS fS fxx()baba.由定理 7.14 便知f在,a b上可积.练习题 7.5(练习题 7.5(283P)2,3,5.问题 7.5(问题 7.5(284P)2.1357.6 Lebesgue 定理 7.6 Lebesgue 定理 定义 7.2定义 7.2 设E是实数集.若0,总存在可数个开区间:nIn覆盖了E,并且满足1nnI,则称E是零测集或测度为零的集.注记 7.注记 7.2 将定义 7.2 中的“可数个开区间”换成“至多可数个区间”后,仍然能作为零测集的定义.证:证:假定实数集E能被至多可数个总长度可以任意小的区间所覆盖.因而,0,存在闭区间族,:abA(下标集A至多可数)覆盖 了E,并且()2Aba.选出可数个开区间:nIn覆盖住至多可 数集:aAbA,并且满足1()2nnIn.于是,可数个 开区间:nIn(,):abA便覆盖了E,其总长度 111()2222nnAnnbaI.命题 命题 至多可数个零测集的并集仍然是零测集；零测集的子集仍然是零测集.证:证:只需证明可数个零测集的并集仍然是零测集.设:nEn是可数个零测集.0,n,取可数个开区间,:n iIi覆盖住nE,并且满足,12n iniI.于是,可数个开区间,:,n iIn i覆盖了1nnE,并且满足,1112n inninI.例 1例 1 数轴上的空集、独点集、有限集和可数集都是零测集；长度不为零的区间不是零测集.定义 7.3定义 7.3 设f是区间I上的函数,xI.记(,)fx r为f在小区间 136(,)xr xrI上的振幅,称0()lim(,)ffrxx r 为f在x处的振幅.显然,12120()(,)sup()():,(,)ffxx rf yf yy yxr xrI.引理 7.1引理 7.1 设f是区间I上的函数,xI.那么,f在x处连续()fx 0.证:证:“”.假定f在x处连续.0,0r ,使得,yI yxr,成立()()2f yf x.故12,(,)y yxr xrI成立 12()()f yf y12()()()()22f yf xf yf x.于是,1212(,)sup()():,(,)fx rf yf yy yxr xrI,0()()0ffxx.“”.假定()0fx.0,0r ,使得(,)fx r.故yI,yxr,成立()()(,)ff yf xx r,即f在x处连续.Lebesgue 数 Lebesgue 数 若开区间族J覆盖了有限闭区间,a b,则0,使得区间,Ea b,E,必有J中的开区间IE.称为,a b的开区间覆盖J的 Lebesgue 数.证:证:(反证法)假定结论不成立,则n,区间,nEa b,1nEn,使得nE不能被J中的任何开区间所包含.n,取nnxE,便得到数列,nxa b,该数列有子列收敛于,xa b.因为开区间族J覆盖了,a b,故存在J中的某个开区间I,使得xI.取0使得(,)xxI成立.再取足够大的0n使得02nxx和0012nEn同时成立.0nyE,有 137yx0002nnny xxxE.这说明0(,)nExxI,从而得到矛盾.定理 7.17(Lebesgue 定理)定理 7.17(Lebesgue 定理)函数f在,a b上可积,当且仅当同时成立(1)f在,a b上有界；(2)f的不连续点的全体是零测集,即f在,a b上几乎处处连续.证:证:“仅当”.假定f在,a b上可积.已知(1)成立.由引理 7.1,f的不连续点的全体恰为11,:()0,:()ffjjxa bxxa bx.故为了证(2),只要证1,:()fjxa bx是零测集.由定理 7.14,0,a b 的分割1,:1,2,kkxxkn,0ax 1nxxb,使得11()(,)(,)nkkkkxxS fS fj.对于1,:()fjxa bx中的点x,若它不是的分点,则必存在 某个k使得1(,)kkxxx.由1()fkjx便知11(,)kjkkxxx,从而 11101,:()(,),kjfkknjxa bxxxx xx.于是,1,:()fjxa bx能被有限个区间所覆盖,而这有限个区间的 总长度 111111()()()kkjjnkkkkkkkkkxxjxxjxx.这说明1,:()fjxa bx是零测集.“当”.假定f在,a b上有界,并且f的不连续点的全体是零测集,要证f在,a b上可积.不妨设f在,a b上的振幅0.0,存在可数个开区间:jUj覆盖了零测集,:()0fxa bx,并且12jjU.对于f的连续点,xa b,取包含 x 的开区间xV,使得 f 138在区间,xVa b上的振幅sup(,)inf(,)xxf Va bf Va b 2()ba.于是,开区间族,:,()0jxfUVjx覆盖了,a b.令 0是 这 个 开 区 间 覆 盖 的 Lebesgue 数,再 取,a b的 分 割1,:1,2,kkxxkn,01axxnxb,使得.由于每个小闭区间1,kkxx能包含在某个jU 或xV 中(Lebesgue 数的性质),故 11(,)(,)()nkkkkS fS fxx 1111,()()jkkxkkkkkkkkUxxVxxxxxx 111()2()njkkjkUxxba()22()baba.这说明f在,a b上可积(定理 7.14).例 2例 2 Dirichlet 函数1,;()0,xD xx 在有限闭区间,a b上不可 积,这是因为 Dirichlet 函数D处处不连续.例 3例 3 Riemann 函数()R x01,xpxqqq，；是既约分数,0在有限闭区间 ,a b上可积,这是因为 Riemann 函数R的不连续点的全体恰为,而可数集是零测集.推论 1推论 1 若,a b上有界函数f的不连续点的全体至多可数,则f在,a b上可积.推论 2推论 2 若函数f在,a b上可积,则f也在,a b上可积.反之可能不 成立.(例如1,()1,xa bf xxa b；)139推论 3推论 3 若函数 f 在,a b 上可积,c da b,则 f 在,c d 上可积.推论 4推论 4 设 f 是,a b 上的函数,(,)ca b.若 f 分别在,a c 和,c b 上 可积,则 f 也在,a b 上可积.推论 5推论 5 若函数,f g 在,a b 上可积,则 fg也在,a b 上可积；当g处处不取零值,并且fg在,a b 上有界时,fg也在,a b 上可积.练习题 7.6(练习题 7.6(291P)1,2.问题 7.6(问题 7.6(291P)2.第 1 章至第 7 章主要内容的回顾 第 1 章至第 7 章主要内容的回顾 可用微分与积分(主要矛盾)、离散与连续(次要矛盾)、逐点与一致(一般矛盾)这三条线将所有内容串联起来,见图示.数列的极限数列的极限(实数完备性或连续性的七个等价命题,比较原理,Stolz 定理等)极限极限函数的极限函数的极限(单调函数的单侧极限,Cauchy 收函数的连续函数的连续(一致连续性定理,最大敛原理,比较原理,LHospital法 值和最小值的可达性定 则,符号 o,O 等)理,介值定理等)导函数 导函数(几何、物理意义,中值定理,微分的概念,Taylor 定理,介值定理,用于函数单调性、极值和凸性的研究等)Riemann 积分 Riemann 积分 (几何、物理背景,积分中 原函数原函数(基本、分部和换元积分法,有理函数的原函数)值定理,Taylor 定理,可积 性定理,Lebesgue 定理)微积分基本定理或 Newton-Leibniz 公式 微积分基本定理或 Newton-Leibniz 公式
