基于相关系数和标准差的专家权重确定及其灵敏度分析_赵娜.pdf

DOI:10 3969/j issn 1001-5337 2013 2 008*收稿日期:2012-04-12基金项目:国家自然科学基金项目(71171187);教育部人文与社科规划青年项目(No 10YJC630269);山东省高等学校科技计划项目(J10LG04)作者简介:赵娜，女，1988-，硕士生;研究方向:决策理论与应用 E-mail:zhaonawfxy163 com魏翠萍，女，1970-，博士，教授;研究方向:决策理论与应用，信息融合 E-mail:wei_cuiping yahoo com cn基于相关系数和标准差的专家权重确定及其灵敏度分析*赵娜，魏翠萍，毕艳昭(曲阜师范大学管理学院，276826，山东省日照市)摘要:针对方案属性值为实数的多属性群决策问题，首先利用单个专家对一组方案进行评价所得评价值的标准差和其评价值与其他每个专家评价值的相关系数，提出了一种客观的确定专家权重的方法;其次，对基于OWA 算子和 WA 算子的多属性群决策方法进行了灵敏度分析，研究了专家权重的变化范围，使群体给出的方案排序或最优方案保持不变;最后，通过空调系统选择实例说明了所提方法的合理性并进行了相关分析关键词:多属性群决策;灵敏度分析;标准差;相关系数中图分类号:C934文献标识码:A文章编号:1001-5337(2013)02-0025-081引言在多属性决策的过程中，为了尽可能避免单方面或人为的偏向性，降低决策中的失误率，通常采用群决策的方法 多属性群决策一般是指多个专家就多个属性对一组备选方案进行评价，建立决策矩阵，然后用一定的方法对决策矩阵进行集结，从而达到对备选方案进行排序和择优的目的1 在决策的过程中，各个专家的社会地位、知识结构、实践经验以及对方案的了解程度等的不同往往 导致其评价结果存在差异 因此，怎样合理的确定专家的权重至关重要 通常，用两种方法来确定专家的权重 可以根据专家的社会地位、实践经验以及对决策问题的熟悉程度等主观因素来确定专家的权重，这样确定的权重称为主观权重 当对专家有较高的熟知程度时，可以用主观权重法 当无专家任何主观信息时，可以根据各个专家给出的决策信息对专家进行赋权，这样确定的权重称为客观权重 目前对专家权重问题的研究已取得了丰富的成果针对专家对方案的偏好信息以互反判断矩阵形式给出的群决策问题，文 2 从个体判断矩阵的一致性程度和其列向量之间的偏差程度两方面来确定专家的权重;文 3 提出了一种基于信息熵的专家聚类赋权方法;文 4 通过求个体相对可信度权值和群体相对可信度权值来对专家进行赋权 针对专家给出的方案偏好信息为互补判断矩阵或区间互补判断矩阵的情形，文 5 和文 6 利用最小化个体判断矩阵与群体判断矩阵的总偏差的思想，建立二次规划模型，确定专家的权重;文 7 建立了基于先验权重和后验权重的组合赋权法 针对专家给出的判断矩阵为直觉判断矩阵的情形，文 8 提出基于熵和相似度的专家赋权方法针对方案在各属性下的属性值为确定数的多属性群决策问题，文 9 基于离差最大化思想，提出了一种客观的确定专家权重的方法;文 10 利用最小化各专家评价结果的距离的思想，提出了一种基于距离的专家赋权方法 文 11 针对专家给出的方案属性值为直觉模糊数的情形，利用最小化各专家评价结果的偏差或最小化专家评价结果与群体评价结果的总偏差的思想，建立非线性最优化模型，确定专家的权重;文 12提出了基于交叉熵和熵的专家权重确定方法 本文针对方案属性值为实数的多属性群决策问题，利用单个专第 39 卷第 2 期2013 年 4 月曲阜师范大学学报JournalofQufuNormalUniversityVol 39No 2Apr 2013家对一组方案进行评价所得评价值的标准差和其评价值与其他每个专家评价值的相关系数，提出了一种客观地确定专家权重的方法在多属性群决策的过程中，人们通常需要分析决策结果的稳定性，这就涉及到灵敏度分析问题 对一些变量进行灵敏度分析，便于我们合理的确定一些可控条件的变动范围;对没有把握确定的参数进行灵敏度分析，便于我们对那些敏感的条件采取更加谨慎的态度处理13 因此，对多属性群决策的灵敏度分析问题进行研究具有重要意义 目前，多属性决策中有关灵敏度分析的文献大多对属性值，属性权重和专家给出的方案的评价信息进行灵敏度分析13-17，很少对专家权重进行灵敏度分析 本文对使方案排序或最优方案保持不变的专家权重的变化范围进行研究 此项研究可以引导人们基于更高的层次做决策，不仅知道决策方案的好坏，还能确定专家权重的变化对方案排序或最优方案产生的影响2基本知识为了方便起见，令 M=1，2，m，N=1，2，n，D=1，2，d 定义 2118 设 WA:RmR，若WA(1，2，m)=mi=1ii，(1)其中 =(1，2，m)T为数据(1，2，m)的权重向量，i 0，1，i M，mi=1i=1，R 为实数集，则称函数 WA 为加权平均算子，也称为 WA 算子定义 2219 设 OWA:RmR，若OWA(1，2，m)=mj=1j(j)，(2)其中 =(1，2，m)T是与函数 OWA 相关联的加权向量，j 0，1，j M，mj=1j=1，且(j)为一组数据(1，2，m)中第 j 大的元素，R 为实数集，则称函数 OWA 为有序加权平均算子，也称为 OWA 算子OWA 算子不仅具有单调性、有界性、幂等性、置换不变性等性质，而且当其权重 取特殊的值时可以变成以下几种特殊的算子:1 若 =(1，0，0)T，则 OWA(1，2，m)=maxj j，此时 OWA 算子为取大算子2 若 =(0，0，1)T，则 OWA(1，2，m)=minj j，此时 OWA 算子为取小算子3 若 =(1m，1m，1m)T，则 OWA(1，2，m)=1mmj=1j，此时 OWA 算子为算术平均算子4 若 =(，0，0，1 )T，则 OWA(1，2，m)=maxj j+(1 )minj j，此时 OWA 集结为 Hurwicz 集结对于 OWA 算子，一个很重要的问题就是 OWA 算子权重的确定 目前，确定 OWA 算子权重的方法有很多20 Wang 在文 21 中提出了用最小最大偏差法来客观的确定 OWA 算子的权重;OHagan22 采用最大熵值法来确定 OWA 算子的权重;Xu23 拓展了 OWA 算子的理论，提出了一种依赖于数据的赋权方法，避免了赋权之前对数据的排序 本文采用最小最大偏差法来确定 OWA 算子的权重 由文 21 知最小最大偏差法通过求解下列模型求得 OWA 算子的权重Mins t =Orness()=1m 1mj=1j(m j)，0 1，j j+1 0，j=1，2，m 1，j j+1+0，j=1，2，m 1，mj=1j=1，j 0，j M(3)62曲阜师范大学学报(自然科学版)2013 年其中 Orness()为态度测度，表示 OWA 算子的权重为 时的集结结果与最大值之间的接近程度 由文 24知，在决策过程中，我们可以用 Orness()表示决策者的态度 对于取大算子，=1 表示决策者最乐观;对于取小算子，=0 表示决策者最悲观;对于算术平均算子，=0 5 表示决策者中立的态度3专家权重的确定本文研究的多属性群决策问题描述如下:设专家集 E=e1，e2，ed，方案集 X=X1，X2，Xn，属性集 U=U1，U2，Um，属性权重信息完全未知 专家 ek(k D)对方案 Xi(i N)按属性 Uj(j M)进行评价，得到 Xi关于 Uj的属性值 akij，从而构成决策矩阵 Ak=(akij)n m对此多属性群决策问题，文 18 给出了基于 OWA 算子和 WA 算子的多属性群决策方法，其具体步骤如下:步骤 1对决策矩阵 Ak=(akij)n m进行规范化处理 处理后的规范化决策矩阵记为:Pk=(pkij)n m，其中pijk=akij ak minjak maxj ak minj，i N，j 1，k D，ak maxj akijak maxj ak minj，i N，j 2，k D，(4)1为效益型属性指标集，2为成本型属性指标集;ak maxj=maxi akij，ak minj=mini akij;步骤 2根据专家 ek(k D)提供的决策态度 Orness()=k，由模型(3)，求出专家 ek的 OWA 算子的权重向量*k=(*k1，*k2，*km)T;步骤 3利用 OWA 算子分别对方案进行集结，得到专家 ek(k D)对方案 Xi(i N)的个体评价值 yki:yki=OWA*k(pki1，pki2，pkim)=mj=1*kjpki(j)，(5)其中 pki(j)为数据(pki1，pki2，pkim)中第 j 大的元素;步骤 4设专家的权重向量为*=(*1，*2，*d)T，利用 WA 算子对个体评价值进行集结，得到方案 Xi(i N)的群体评价值:D(Xi)=WA(y1i，y2i，ydi)=dk=1*kyki;(6)步骤 5通过 D(Xi)(i N)的大小对方案进行优劣排序通过上述步骤，我们可以看出专家权重的确定在基于 OWA 算子和 WA 算子的多属性群决策过程中至关重要 下面将给出一种合理的确定专家权重的方法设由(5)式得到专家 ek的个体评价向量 Yk=(yk1，yk2，ykn)T，专家 el的个体评价向量 Yl=(yl1，yl2，yln)T，计算相关系数矩阵 R=(rkl)d d，其中，rkl=ni=1(yki 珋yk)(yli 珋yl)ni=1(yki 珋yk)2ni=1(yli 珋yl)槡2，k，l D，(7)珋yk=1nni=1yki，k D，(8)珋yl=1nni=1yli，l D(9)由相关系数的含义可以知道:rkl越接近于 1，表示专家 ek的评价结果与专家 el的评价结果分布越相同;相反，rkl越接近于 1，表示专家 ek的评价结果与专家 el的评价结果分布越不同 因此，dl=1(rkl+1)越大，应赋予专家 ek的权重越大;相反，应赋予专家 ek的权重越小72第 2 期赵娜，等:基于相关系数和标准差的专家权重确定及其灵敏度分析设 珋yk=1nni=1yki(k D)，对个体评价向量 Yk，定义 Yk的标准差:k=1nni=1(yki 珋yk)槡2，k D(10)由标准差的含义可以知道:k(k D)越大，说明专家 ek(k D)对各个方案的评价值相差越大，因此应赋予此专家的权重越大;相反，应赋予此专家的权重越小通过上述分析定义专家 ek(k D)的权重k=Dkdj=1Dj，(11)其中Dk=kdl=1(rkl+1)(12)4灵敏度分析文 26 对基于 WA 算子的多属性决策方法中的属性权重进行了灵敏度分析 用同样的分析方法，我们给出专家 ek(k D)的权重 k的范围，使 k在此范围内变化时，群体给出的方案排序或最优方案保持不变 由于这样的范围不是唯一的，因此假设所有的权重以相同的比例变化，即:k*k(1 )，*k(1+)(k D)，其中*k(k D)通过(7)(12)式求得设由 D(Xi)(i N)的大小得到的方案排序为:Xi1 Xi2 Xin，且当 k*k(1 1)，*k(1+1)(k D)时，群体给出的方案排序保持不变 由方案排序 Xi1 Xi2 Xin可得 D(Xi1)D(Xi2)D(Xin)，因此Duv=D(Xu)D(Xv)=dk=1k(yku ykv)=dk=1(mj=1*kj(pku(j)pkv(j)k 0，(13)这里 u=is，v=is+1，s=1，2，n 1 要使当 k(k D)取*k(1 1)，*k(1+1)中任意值时 Duv0，只需令k=*k(1 1)，mj=1(*kj(pku(j)pkv(j)0，*k(1+1)，mj=1(*kj(pku(j)pkv(j)0，k D则(13)式变为Duv=dk=1(mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*k 1dk=1mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*k 0，这里 u=is，v=is+1，s=1，2，n 1 解得1dk=1(mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*kdk=1mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*k，u=is，v=is+1，s=1，2，n 1，即1 mindk=1(mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*kdk=1mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*ku=is，v=is+1，s=1，2，n 1，则 1的最大值为82曲阜师范大学学报(自然科学版)2013 年*1=mindk=1(mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*kdk=1mj=1*kj(pku(j)pkv(j)*ku=is，v=is+1，s=1，2，n 1(14)即当k*k(1 *1)，*k(1+*1)(k D)(15)时，群体给出的方案排序保持不变假设 k*k(1 2)，*k(1+2)(k D)时，群体给出的最优方案 Xi1保持不变 此时，只需取*2=mindk=1(mj=1*kj(pki1(j)pkv(j)*kdk=1mj=1*kj(pki1(j)pkv(j)*kv=1，2，n，v i1(16)即当k*k(1 *2)，*k(1+*2)(k D)(17)时，群体给出的最优方案保持不变实例分析27 假设空调系统在选择的过程中有 5 个备选方案(M1，M2，M3，M4，M5)可供选择，有 3 位专家(e1，e2，e3)参与决策，需要考虑8 种属性:u1(购买成本(元)，u2(运行成本(元)，u3(效果(0 1 标度)，u4(噪声水平(分贝)，u5(维修便利(0 1 标度)，u6(可靠性(百分比标度)，u7(灵活性(0 1 标度)，u8(安全性(0 1 标度)属性 u1，u2，u4是成本型属性，其余 5 个属性是效益型属性 假设 3 位专家给出的决策矩阵分别如表 1 表 3 所示，给出的决策态度分别为:1=0 5，2=0 7，3=0 4表 1专家 e1给出的决策矩阵 A1u1u2u3u4u5u6u7u8M15007000 8036000 6094 00050080M22006000 5072000 5076 00080060M36006000 7064000 7084 00090070M47005000 8042000 8091 00070080M55007000 7054000 6096 00060090表 2专家 e2给出的决策矩阵 A2u1u2u3u4u5u6u7u8M16007000 8038000 4097 00060050M23006000 7076000 7072 00070060M36005000 6070000 9083 00070070M45006000 8045000 9587 00090070M54008000 9055000 8091 00040090表 3专家 e3给出的决策矩阵 A3u1u2u3u4u5u6u7u8M14007000 9043000 7095 00050060M25008000 6075000 5082 00090080M37006000 7078000 9087 00095070M48007001 0049000 8096 00070060M56005000 8062000 9093 0006009092第 2 期赵娜，等:基于相关系数和标准差的专家权重确定及其灵敏度分析步骤1:利用(4)式将个体决策矩阵 Ak=(akij)5 8(k=1，2，3)分别进行规范化处理，得到规范化决策矩阵Pk=(pkij)5 8(k=1，2，3)，如表 4 表 6 所示表 4规范化决策矩阵 P1u1u2u3u4u5u6u7u8M10400001 001000 330 90000067M21000500 000000 000 00075000M30200500 670220 670 40100033M40001001 000831 000 75050067M50400000 670500 331 00025100表 5规范化决策矩阵 P2u1u2u3u4u5u6u7u8M10000330 671000 001 00040000M21000670 330000 550 00060025M30001000 000840 910 44060050M40330670 670821 000 60100050M50670001 000550 730 76000100表 6规范化决策矩阵 P3u1u2u3u4u5u6u7u8M11000330 751000 500 93000000M20750000 000090 000 00089067M30250670 250001 000 36100083M40000331 000830 751 00044000M50501000 500461 000 79022100步骤 2:用 MATLAB 求解模型(3)得到专家 e1的 OWA 算子的权重*1=(0 1250，0 1250，0 1250，0 1250，0 1250，0 1250，0 1250，0 1250)T，专家 e2的 OWA 算子的权重*2=(0 2417，0 2083，0 1750，0 1417，0 1083，0 0750，0 0417，0 0083)T，专家 e3的 OWA 算子的权重*3=(0 0667，0 0833，0 1000，0 1167，0 1333，0 1500，0 1667，0 1833)T步骤 3:利用 OWA 算子分别对方案进行集结，得到专家 ek(k=1，2，3)对方案 Mi(i=1，2，3，4，5)的个体评价值，如表 7 所示表 7各专家对方案的个体评价值e1e2e3M11 0725129800 9595M21 1600127140 8530M30 9863115100 9285M41 0913127440 9307M51 0038122310 9878步骤 4:由(7)(12)式求得专家 ek(k=1，2，3)的权重为:*1=0 3930，*2=0 3466，*3=0 2604步骤 5:由(6)式得到方案的群体评价值:D(M1)=1 1212，D(M2)=1 1187，D(M3)=1 0283，D(M4)=1 1129，D(M5)=1 0757 则方案排序为 M1 M2 M4 M5 M3，方案 M1为最优方案在步骤 4 中得到的专家权重是依据决策信息而得到的客观权重 下面将本文中所提的确定专家权重的03曲阜师范大学学报(自然科学版)2013 年方法与文 9 中所提的基于离差最大化思想的专家权重的确定方法进行比较 对表 7 中的各专家对方案的个体评价值用文 9 中所提的确定专家权重的方法，得到各专家的权重:1=0 4011，2=0 3202，3=0 2878 从中可以看出，用本文所提的方法求得的专家权重与用文 9 中的方法求得的专家权重相一致 但因为两种方法从不同的角度对专家赋权，所以由两种方法得到的专家权重略有不同为了了解专家的权重对群体给出的方案排序或最优方案产生的影响，我们将对专家的权重进行灵敏度分析，表 8 显示了对专家权重进行灵敏度分析的具体细节表 8专家权重的灵敏度分析方案排序对方案使方案排序保持不变的比例(1，2)M1M20 0360(2，3)M2M40 1186(3，4)M4M50 5562(4，5)M5M31 0000由(14)式我们得*1=0 0360 由(15)式得到相应的权重区间:1 0 3789，0 4071，2 0 3341，0 3591，3 0 2510，0 2698，即当专家权重在上述区间内变化时，群体给出的方案排序保持不变，始终为 M1 M2 M4 M5 M3 由表 8 我们可以看出，当 10 0360 时，方案 M1与 M2之间的排序改变了;当 10 1186 时，方案 M2与 M4之间的排序改变了;方案 M4，M5与 M3之间的排序是不变的，除非 10 5562同理，由(16)式求得*2=0 0360 由(17)式得到相应的权重区间:1 0 3789，0 4071，2 0 3341，0 3591，3 0 2510，0 2698，即当专家权重在上述区间内变化时，群体给出的最优方案保持不变，始终为方案 M15结论本文利用单个专家对一组方案进行评价所得评价值的标准差和其评价值与其他每个专家评价值的相关系数，提出了一种客观地确定专家权重的方法 该方法既考虑了专家个体评价结果与其他每个专家评价结果的相关性，又考虑了专家对各个方案评价值的差别性，从而较好的避免了专家权重主观给定的不足，提高了群决策的有效性和科学性 本文还对专家的权重进行了灵敏度分析，以确保群体给出的方案排序或最优方案的稳定性参考文献:1 宋光兴，邹平 多属性群决策中决策者权重的确定方法 J 系统工程，2001，19(4):83-89 2 徐泽水 群组决策中专家赋权方法研究 J 应用数学与计算数学学报，2001，15(1):19-22 3 周漩，张凤鸣，惠晓滨等 基于信息熵的专家聚类赋权方法 J 控制与决策，2011，26(1):153-156 4 梁樑，熊立，王国华 一种群决策中专家客观权重的确定方法 J 系统工程与电子技术，2005，27(4):652-655 5 Xu Z S，Cai X Q Group consensus algorithms based on preference relations J Information Sciences，2011，181:150-162 6 Xu Z S Consistency 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University，276826，Rizhao，Shandong，PRC)Abstract:For the multiple attribute group decision-making problems in which attribute values of alternativesare real numbers，this paper firstly proposes a method to determine expert weights objectively by using the standarddeviations of evaluation values given by the single expert to the alternatives and the correlation coefficient betweenthe evaluation values and the evaluation values given by other experts;Secondly，this paper does the sensitivity anal-ysis to the multiple attribute group decision-making method based on OWA and WA operators and studies the rangeof expert weights to make the alternatives ranking or the optimum alternative given by the group remaining thesame;Last，this paper chooses an air-condition system selection problem to show the effectiveness of the proposedmethods and does the related analysisKey words:multiple attribute group decision-making;sensitivity analysis;standard deviations;correlation coef-ficient23曲阜师范大学学报(自然科学版)2013 年