数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--4章.pdf

第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9g/。）3cm解解 球体积334rV=，每只球镀铜所需要铜的质量为 12.142=rrVmg。用定义证明，函数yx=23在它的整个定义域中，除了x=0这一点之外都是可微的。证证 当时，0 x=32xy=是x的低阶无穷小，所以yx=23在不可微。当时，0 x=0 x 3223333333322333()()(2(),3()yxxxxxxxxxxxx3)xxoxxxxxxxx=+=+=+所以yx=23在是可微的。0 x 57课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 4.2 导数的意义和性质 习 题 4.2 导数的意义和性质 1 设存在，求下列各式的值：fx()0 lim()(xf xxf x)x000；lim()()xxf xf xxx000；lim()()hf xhf xhh+000。解解(1)()()()(lim)()(lim0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx=+=。)()()(lim)()(lim0000000000 xfxxxfxxxfxxxfxfxxxx=+=。hhxfhxfh)()(lim000+)(2)()(lim)()(lim0000000 xfhxfhxfhxfhxfhh=+=。2 用定义求抛物线yxx=+2321的导函数；求该抛物线上过点(,)1 2处的切线方程；求该抛物线上过点(,)2 1处的法线方程；问该抛物线上是否有(,，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？)a b解解(1)因为xxxxxxxxxxy+=+=234)132(1)(3)(222，所以 34lim)(0+=xxyxfx。(2)由于1)1(=f，切线方程为1(1)(2)3yxx=+=。(3)由于5)2(=f，法线方程为17(2)155xyx+=+=。(4)抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可 58课后答案网 w w w.k h d a w.c o m知不存在x，使得，所以这样的点不存在。=)(xf(,)a b3设为上的可导函数，且在)(xf),(+0=x的某个邻域上成立)(8)sin1(3)sin1(xxxfxf+=+，其中)(x是当时比 高阶的无穷小。求曲线0 xx)(xfy=在处的切线方程。)1(,1(f解解 记)sin1(3)sin1()(xfxfxF+=，可得0)1(2)(lim0=fxFx，即。由0)1(=f00()8()limlim8xxF xxxxx+=与 000()(1 sin)(1)sin(1 sin)(1)sinlimlim3lim4(1)sinsinxxxF xfxfxfxfxfxxxxx+=，得到。于是曲线在处的切线方程为。2)1(=f)(xfy=)1(,1(f)1(2=xy4 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。（见图 4.2.5）证证 设椭圆方程为 012222=+babyax，焦点坐标为 22),0,(bacc=。假设为椭圆上任意一点，当时结论显然成立。现设),(00yx00=y00y，则过此点的切线斜率为0202tanyaxb=，与焦点),(00yx)0,(c连线的斜率为cxy+=001tan，此连线与切线夹角的正切为tantan1tantan11+=k。利用和222bac=1220220=+byax代入计算，得到 59课后答案网 w w w.k h d a w.c o m2002222222222000000222222000000000200()1yb xxca ya yb xcx ba bcx bbkyb xabx ya cyc x ya cycyxc a y+=+=。),(00yx与另一焦点连线的斜率为)0,(ccxy=002tan，此连线与切线夹角的正切为 2002222222222000000222222200200000200tantan1tantan()1b xya yxccx ba yb xcx ba bbkyb xabx ya cyc x ya cycyxc a y=+00=。由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。5证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为。xya=222a证证 假设为双曲线上任意一点，则，过这一点的切线斜率为),(00yx200ayx=002020 xyxayx=，切线方程为)(0000 xxxyyy=，易得切线与两坐标轴的交点为和。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为)2,0(0y)0,2(0 x2000022)2)(2(21ayxxyS=。6 求函数在不可导点处的左导数和右导数。y=|sin|x；yx=1cos；yx=e|；yx=+|ln()|1.解解（1）对，当y=()|sin|f xx=0=x时，60课后答案网 w w w.k h d a w.c o m1sinlim|0sin|sin|lim)0(00=+xxxxfxx，00|sin|sin0|sin(0)limlim1xxxxfxx =，所以是不可导点。又由于函数y是周期为0=x的函数，所有不可导点为)(Zkkx=，且1)(=kf，1)(=+kf。（2）y=()1cosf xx=22sin2 sin22xx=，由（1）可知不可导点为)(2Zkkx=，且经计算得到 2(2)2fk=，2(2)2fk+=。（3）不可导点只有|()exyf x=0=x，且 11lim)0(0=+xefxx，11lim)0(0=xefxx。（4）()yf x=)1ln(+x不可导点只有0=x，且 00|ln(1)|ln1ln(1)(0)limlim1xxxxfxx+=，00|ln(1)|ln1ln(1)(0)limlim1xxxxfxx +=。7讨论下列函数在x=0处的可导性：=+;0,0,0)0(,sin|11xxaxyxa yxxaxbx=+200,;yxxaxxx=e,;002 yxxax=e,.2000,解解（1）10001|sin1limlimlim|sgn()sin0aaxxxxyxxxxxx+=，所以函数在可导。0=x（2）如果函数在可导，则必须在0=x0=x连续，由可得。当时，bff=+)0()0(0=b0=b00lim)0(20=+xxfx，axxafx=0lim)0(0，61课后答案网 w w w.k h d a w.c o m故当时函数在可导，其他情况下函数在0=ba0=x0=x不可导。（3）由于10lim)0(0=+xxefxx，)0(00lim)0(20+=fxxafx，故函数在不可导。0=x（4）当时函数在0a 0=x不连续，所以不可导；当时，0a 2000limlim0axxxyexx =，所以当0fx=0的小邻域中有，故，所以|(在0)(xf)(|)(|xfxf=)|f xx=0处也可导。当时，由于 0)0(=f|()|(0)|()(0)sgn00f xff xfxxx=，分别在x=0处计算左、右极限，得到|(在)|f xx=0处的左导数为，右导数为|，所以|(在|(0)f|(0)|f)|f xx=0处也可导的充分必要条件是。(0)0f=9设在,上连续，f x()a bf af b()()=0，且0)()(+bfaf，证明在(,至少存在一个零点。f x()a b证证 由题设知)(af+和同号，不妨设两者都为正数。由于)(bf()()()()limlim0 xaxaf xf af xfaxaxa+=，可知存在11()xaxbxf()()()()limlim0 xbxbf xf bf xfbxbxb =，可知存在212()xxxb，。由连续函数的零点存在定理，函数在之间有零点。0)(2a),(yx两条切线当且仅当在该抛物线的下方，即。同理当),(yxcbxaxy+2020)(|),(21+=ycbxaxayxS。过只可以作该抛物线一条切线当且仅当在该抛物线上，),(yx),(yx所以 0|),(22=+=ycbxaxyxS。由此得到 0)(|),()(2213=1，ux=()也是可微函数，利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分：f u g u h u()()()；f u g uh u()()()；h ug u()()；)(log)(uguh；)()(tanarcuhuf；122fuhu()()+.解解（1）()()()d f u g u h u()()()()()()()()()fu g u h uf u g u h uf u g u h u du=+()()()()()()()()()()fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dx=+。课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 82（2）()()()f u g udh u2()()()()()()()()()fu g uf u g u h uf u g u h uduh u+=2()()()()()()()()()()()fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dxh u+=。（3）()()g ud h u()ln()()ln()()ln()g uh ug uh uedueg uh udu=()()()()()ln()()()g uh uh ug ug uh ux dxh u=+。（4）()log()h udg u2ln()ln()ln()ln()ln()ln()ln()g ug uh ug uh udduh uh u=2()()ln()()()ln()()()()ln()h u g uh uh u g ug ux dxh u g uh u=。（5）()arctan()f udh u222()()()()()()()()()()1()f uh ufu h uf u h udux dxfuh uf uh u=+。（6）221()()dfuh u+2233222222()()()()()()()2()()()()fuh uf u fuh u h udux dxfuh ufuh u+=+。课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 求下列函数的高阶导数：yxxx=+3221,求y；yxx=4ln，求y；yxx=+21，求；y yxx=ln2，求y；y=sin3x，求、yy；yxx=3cos，求、；yyyxx=23e，求；y yxx=earcsin2y，求；yxx=32cos，求；y()80 yxx=+()s212h，求.y()99解解（1）,46,1432+=+=xyxxy6 =y。（2），。33ln4xxxy+=222227ln1234ln12xxxxxxxy+=+=（3）2232121432 112(1)xxxxxxyxx+=+，3122225323(46)(1)(43)(1)3822(1)4(1)xxxxxxxyxx+8+=+。（4）3321ln21ln2xxxxxxy=，44315ln6)ln21(32xxxxxxy=。（5），3223cos3)3(cosxxxxy=3432323sin9cos6)3)(sin(3cos6xxxxxxxxxy=+=，33233436cos6 sin(3)36sin9cos(3)yxxxxxxxx=2x3 33654sin(276)cosxxx=x。（6）xxxxxxxxxysin21cos3)21)(sin(cos325232=+=，83课后答案网 w w w.k h d a w.c o m3522215116 cos3(sin)sin(cos)4222yxxxxxxxxxx=+322111(6)cossin44xxxx=x，13222133111(6)cos(6)(sin)sincos248422xxyxxxxxxxxx=+312215157(6)cos()sin888xxxx=+x。（7），xxxexxxexxey32323)32()3(2+=+=xxxexxxexxexy32323)2129()3()32()62(+=+=，xxxexxxexxexy32323)185427()3()2129()1218(+=+=。（8）222)11arcsin2()(arcsinarcsin)(22xxxexxxxexexy+=+=，;)1()34(arcsin)12(2)1()2()21(12arcsin2)11arcsin2)(2()11arcsin2()11arcsin2()(222222322223222222xxxxxexxxxxexxxxxexxxxexxxexxxxy+=+=+=（9）(80)3(80)12(79)2(78)3(77)808080cos23cos26 cos26cos2yxxCxxCxxCx=+80379278772cos280 23sin23160 26 cos282160 26sin2xxxxxx=+x 80222(4740)cos2(12061620)sin2x xxx=+xx。（10）(99)2(99)1(98)2(97)9999(21)sh4 sh4shyxxCxxC=+2(21)ch 99 4 sh4851 4ch xxxx=+x 2(219405)ch396 shxxx=+x。求下列函数的 阶导数：n()ny 84课后答案网 w w w.k h d a w.c o myx=sin2；yxx=2 ln；yxx=e；yxx=+1562；yexx=cos；yxx=+sincos44.解解（1）)22cos(2)2cos1(211)()(+=nxxynnnn 112sin(22nnnx)=+。（2）()()()0(2)(ln)nnkxn kkxnkyC=(1)11ln 2 2 ln2 ln2knnxkxn knkxCx=+11(1)(1)!2ln 2 lnln2knxnkn knkkkxCx=+。（3）=+=nkkkxknnkkknxknnxkeCxeCy010)()()(!)1(1)(10!)1(+=kknkknxxkCe。（4）由于2131=xxy，()()()1132nnnyxx=1111(1)!(3)(2)nnnnxx+=01110(2)(3)1(1)!(1)!(3)(2)(2)(3)nkn knnnknnn kkxxnnxxxx=+=1k+。（5）)(0)()()cos()(knkknxknnxeCy=0cos()2nxkn kknkkeCx=+。（6）xxxxy22222cossin2)cos(sin+=211sin 22x=131(1 cos4)44cos44xx=+，所以()14cos(4)2nnnyx=+。研究函数 xxxf2)(=0=n()0,0,()0nxfxx=不存在，。4设任意次可微，求 f x()()f x2；1fx；(ln)fx；ln()f x；()f ex；)tan(arc xf.解解（1），)(2)()(2222xxfxxfxf=)(2)(4)()2()(2)(2222222xfxfxxfxxxxfxf+=+=，2222222232()4()()(4)()2()()8()12()2f xx fxxxfxfxxx fxxfx=+=+。（2）21111fff1xxxxx=，2243111111112ffff1fxxxxxxxxx=+x，6554111412161fffffxxxxxxxx=x 86课后答案网 w w w.k h d a w.c o m26111166fxfx fxxx=+x。（3）()()xxfxxfxfln)(lnln)(ln=,()()()()22lnln)(ln)(lnln)(lnxxfxfxxxfxxxfxf=。（4）)()()(lnxfxfxf=,()()()()()(ln22xfxfxfxfxf=。（5）)()()(xxxxxefeeefef=2()()()()()()()xxxxxxxxxxf eefeeefeefeefe=+x,22()()()()()()()()()xxxxxxxxxxf eefeeefeefeeefe=+x 32()3()()xxxxxefeefeefe=。（6）2(arctan)(arctan)(arctan)(arctan)1fxfxfxxx=+,2222(1)(arctan)(arctan)(1)(arctan)(arctan)(1)xfxxxffxx+=+x 22(arctan)2(arctan)(1)fxxfxx=+。5利用 Leibniz 公式计算：()(0)nyxytanarc=；yx=arcsin。解解（1）由222)1(2,11xxyxy+=+=，令0 x=，可得0)0(,1)0(=yy。在等式两边对 求 阶导数（），得到 1)1(2=+xyxn1n=+=+nkkknknxyC0)(2)1(0)1(，注意到，上式简化为 0 )1(2=+x 87课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(1)2()(1)(1)(1)2202nnnn nyxnyxy+=，以 代入，得到递推公式 0=x)0()1()0()1()1(+=nnynny，从而得到 12()(1)(1)!,;(0)0,nnnnyn=为奇数为偶数。（2）由133222222221(1),()(1)(1)(1)21xyyxyxxxxx=，令，0=x可得，且。在等式两边对求 阶导数（），得到 0)0(,1)0(=yy)1(2yxxy=)1(2yxxy=xn1n=+=+=nkkknknnkkknknxyCxyC0)(2)2(0)()1()1()(，即)()1()(2)2()()1()1(2)1(nnknnnynnxnyxynyxy=+(1)()(2)2(1)()(1)2(1)nnnnnxynyyxxnyn ny+=，以代入，得到递推公式 0=x)0()0()(2)2(nnyny=+，从而得到 2()(2)!(0)0nnnyn=，为奇数；，为偶数。6 对下列隐函数求22d ydx：ex yxy220+=;0)tan(=+xyyx;20yxxysinln+=;3330 xyaxy+=.解解（1）在等式两边对 求导，有 x 88课后答案网 w w w.k h d a w.c o m02)2()()(22222=+=+yxxyyxeyxyxeyxyx，再对 求导，得到 x)=2222()(2)(2)(2xyxyexyxyexyxyx y+2222(2)(2)240 xyxyexyeyyxyx y+=+，从而解出 22222)(44224 xeyxyxeyxyyyxyx+=+，其中222)(2xeeyxyyxyx=+。（2）在等式两边对 求导，有 xx0)1)(sec)()(sec22=+=+xyyyyxxyyxyx，再对 求导，得到 222sec()tan()()(1)sec()(1)()xyxy xyyxyyyxy+2222sec()tan()(1)sec()2 xyxyyxy yyxy=+0=，从而解出)(sec2)1)(tan()sec(2 22yxxyyyxyxy+=，其中)(sec)(sec22yxxyyxy+=。（3）在等式两边对 求导，有 x0lncos2sin2=+yyxyxyxy，再对 求导，得到 x0)(2sin2cos4sin 222=+yyxyyxyyxyxyxy，89课后答案网 w w w.k h d a w.c o m从而解出 xyxyyxyyxyyxyysin2)(2cos4sin2 2223+=，其中xyxyyxyysin2lncos22+=。（4）在等式两边对 求导，有 xx0333322=+axyayyyx，再对 求导，得到 0 36 3)(6622=+axyayyyyyx，从而解出 222)(22 yaxayyyxy+=，其中axyxayy=22。7 对下列参数形式的函数求d ydx22：xatybt=23,xattyatt=cos,sin,xttytt=(sin)cos,1,xaybtt=e,e,xtyt=+=11,=.cos,sinbtyatx 解解（1）tabatabtatbtatatbtatbtdxyd2323223232243)2()2)(3()2)(6()()()()()(=。（2）223(sin)(cos)(sin)(cos)(cos)d yattattattattdxatt=90课后答案网 w w w.k h d a w.c o m33222233(2 cossin)(cossin)(sincos)(2 sincos(cossin)(2)(sincos)2(cossin)(cossin)atatt atattatattatattatttttttatttattt)+=+=。（3）223(cos)(1 sin)(cos)(1 sin)(1 sin)d yttttttttdxtt=323(2sincos)(1 sincos)(cossin)(2cossin)(1 sincos)22sincos(1 sincos)tttttttttttttttttttttt+=+=。（4）223()()()()()tttttd ybeaebeaedxae=32322ttttttbe ebe ebea ea=。（5）223(1)(1)(1)(1)(1)d yttttdxt+=+3323311(2 1)2(1)4(1)(2 1)2(1)4(1)tttttt=+=+。（6）223(cos)(sin)(cos)(sin)(sin)d ybtatbtatdxat=23(sinsincoscos)cosbaatbtbatbtaat=23(sinsincoscos)cosb aatbtbatbtaat+=。8 利用反函数的求导公式dxdyy=1，证明 322)(yydyxd=;d xdyyy yy33253=()().证证（1）221()()d xddxddydy dydy y=222111()()()()dydy dxyyydyydx dyyyy=。3（2）()32332()d xdd xdydydy dydyy=3413()()dyydyydyydy=+223434113()13()3()()()()()dy dxydy dxyyyy yydx dyydx dyyyyyy=+=+=。5 91课后答案网 w w w.k h d a w.c o m9 求下列函数的高阶微分：,tan3xxy=求；d y2 yxx=4e，求；d y4yxx=+12，求；d y2 yxx=sec21，求；d y2yxx=sin3，求；d y3 yxx=，求；d y2yxx=ln，求d；yn yxxn=cos2，求.d yn解解（1）2231(tan)(1 sec)3dyxxx dx=2231(tan)tan3xxx=dx，522223321(tan)(1 sec)(tan)(2tan sec)93d yxxxxxxx dx=22 422532tan6sectan(tan)9(tan)xxx xxdxxx+=。（2）444()(4)440()()kkxkkd yCxedx=444404!(1)(4)!kkkkCxek=4xdx 4234)24967216(dxexxxxx+=。（3）dxxxdxxxxxxdy222221111)2(121+=+=，2223332223222223212(1)(1)xxd ydxdxxxxxxx+=+=+2。（4）2133222222tan sec1 sec(2)sec(1)tan2(1)(1)(1)xxxxx xxxdydxdxxxx=，222322sec tan(1)tansec 2 tan(1)sec1(1)xx xxxxxxxxd yx+=2 225223 sec(1)tan(2)2(1)x xxxxdxx 92课后答案网 w w w.k h d a w.c o m222222522sec(1)(12tan)2(1)tan21(1)x xxx xxxdxx+=。（5）33327(sin3cos3)(sin3)3(sin3)d yxxxxdx=+xxx d=+x。（6），dxxxdxxededyxxxxx)ln1()ln1(lnln+=+=2221()(1 ln)(1 ln)(1 ln)xxxd yxxxxdxxxdxx=+=+。（7）nnkknkknndxxxCyd=0)()()1()(ln 1111(1)!(1)!()!ln(1)(1)!()!nnkn knkknnknknn kxdxxk nkxx+=+11(1)!1lnnnnnknxdxxk+=。（8）nnkkknnknndxxxCyd=0)()()2(cos)(0!()2 cos(2)!()!2nkkknnknxxdk nkk=+x 2202cos(2)2(!)(!)()!kknnkkxxndknkx=+=。10求，其中 2()xdex是自变量;)(tx=是中间变量.解解（1），dxedxeedxxx=)()(222)()()(dxedxedxededxxxx=。（2），dttedxedxeedtxxx)()()()(=2()()2()()()xttded et dtetdt=()22()()tett=+dt。11设，任意次可微，且。f u()g u()g u()0 当xutan=时，求d；f2 当u=v、vx=ln时，求；d g2 93课后答案网 w w w.k h d a w.c o mdf u g u2()()；dg u2ln()；)()(2ugufd；解解（1），xdxxfdxxuufdf2sec)(tan)()(=222()()()()d ffu u xdxfu ux dx=+22 42(tan)sec2(tan)sectan fxxfxxx d=+x。（2）xvuln=，111()(ln)2 ln2lndg du dvdgdxg udxgxdxdu dv dxxxxx=，222()()(2ln)2ln(2ln)du dvgug uxxdv dxd gdxxxxx=22211()2 ln2()()2 ln(2ln)(2ln)g uxxguxxdxxxxx+=2322(ln)ln(ln)(12ln)4lngxxgxxdxxx+=。（3）duugufugufugufd)()()()()()(+=，222)()()()()()()()()()(duugufugufudugufugufugufd+=22()()()()()()2()()()()fu g uf u g u d ufu g ufu g uf u gu du=+。（4）duugugugd)()()(ln=，222222()()()()()()ln()()()()()g ug ug ugu g ug udg ud udud udug ug ug ugu=+=+2。（5）duugugufugufugufd)()()()()()()(2=，94课后答案网 w w w.k h d a w.c o m22222)()()()()()()()()()()()(duugugufugufudugugufugufugufd+=22()()()()()fu g uf u g ud ugu=+2223()()()()()2()()()2()()()fu guf u g u gufu g u g uf u g udug u+。12.利用数学归纳法证明：xnnnxnexex11)(11)1(+=。证证 当时，1=nxxxnxnexxeeex1211)(111)1()()(=，命题成立。假设时命题都成立。则当时，kn1+=kn()()11111()11()()()kknnkkkxxxxxex ekxex ex=+()111112(1)1(1)(1)()kkkkkkxxxkkk xexekeexx+1x=11111112(1)(1)(1)1(1)()kkkxxxkkkkkekeexxxxx+=+=12kxe，命题也成立。由数学归纳法，可知本命题对所有正整数都成立。95课后答案网 w w w.k h d a w.c o m