数理统计课件 52-2 两因素方差分析.pdf
二、两因素等重复试验的方差分析 二、两因素等重复试验的方差分析 在上面的讨论中，由于只对 A,B 两个因素的每一种组合水平进行了一次试验，所以不能分析 A,B 两因素间是否存在交互作用的影响.下面讨论在每一组合水平 在上面的讨论中，由于只对 A,B 两个因素的每一种组合水平进行了一次试验，所以不能分析 A,B 两因素间是否存在交互作用的影响.下面讨论在每一组合水平(,)ijA B下等重复试验情形的方差分析问题.设有两个因素 A 和 B，因素 A 有下等重复试验情形的方差分析问题.设有两个因素 A 和 B，因素 A 有r个不同水平个不同水平12,rA AA?，因素 B有，因素 B有s个不同水平个不同水平12,sB BB?，在每一种组合水平，在每一种组合水平(,)ijA B 下重复试验 下重复试验t次，测得试验数据为次，测得试验数据为ijkX（1,2,ir=?，1,2,js=?，1,2,kt=?）.将它们列成表（表 5.12）.表 5.12 ）.将它们列成表（表 5.12）.表 5.12 1B 2B sB 1(0.03)A 2(0.04)A?3(0.05)A 11111211,tXXX?21121221,tXXX?11121,rrr tXXX?12112212,tXXX?22122222,tXXX?21222,rrr tXXX?1 11 21,ssstXXX?2 12 22,ssstXXX?12,rsrsrstXXX?假定假定ijkX服从正态分布服从正态分布2(,)ijN （1,2,ir=?，1,2,js=?，1,2,kt=?），且所有），且所有ijkX相互独立，相互独立，ij 可以表示为 可以表示为 ijijij=+，1,2,ir=?，1,2,js=?其中 其中111rsijijrs =，11()siijjs=，1jr=1ri=()ij ，()ijijij=.因素 B 因素 A 容易证明下列各式成立 容易证明下列各式成立 10rii=，10sjj=，10riji=，10sijj=，1,2,1,2,ir js=?从而得两因素等重复试验方差分析的数学模型为 从而得两因素等重复试验方差分析的数学模型为 ijkijijijkX=+=+，2(0,)ijkN ，（5.18），（5.18）1,2,1,2,1,2,ir js kt=?=?，其中，其中ijk 相互独立，相互独立，i 称为因素称为因素A在水平在水平iA 的效应，的效应，j 称为因素 B在水平称为因素 B在水平jB的效应，的效应，ij 称为因素称为因素,A B在组合水平在组合水平(,)ijA B 的交互作用效应.因此，要判断因素 A,B 以及 A 与 B 交互作用 AB 的影响是否显著，分别等价于检验假设 的交互作用效应.因此，要判断因素 A,B 以及 A 与 B 交互作用 AB 的影响是否显著，分别等价于检验假设 01121112:0:,rrHH =?中至少有一个不为 0.中至少有一个不为 0.02121212:0:,ssHH=?中至少有一个不为 0.中至少有一个不为 0.031311:0,1,2,1,2,.:,ijrsHir jsH=?=?中至少有一个不为0的问题.为了导出上述三个假设检验的统计量，仍采取离差平方和分解的办法.令 中至少有一个不为0的问题.为了导出上述三个假设检验的统计量，仍采取离差平方和分解的办法.令 1111rstijkijkXXrst=，11tijijkkXXt=i i，111stiijkjkXXst=ii ii，111rtjijkikXXrt=i ii i 于是有 于是有 TQ=2111()rstijkijkXX=111()()rstijijkXXXX=+iii iiii i 2()()ijijijijkXXXXXX+iiiii iiiiii i 22111111()()rstrstijijkijkXXXX=+iii iiii i 22111111()()rstrstijijijijkijkijkXXXXXX=+iiiii iiiiii i BABAEQQQQ+（5.19）其中 （5.19）其中 2211112211112B1112112111()(),()(),()(),(),rstrAiiijkirstsBjjijkirstijAijijkrsijijijrstijEijkijkQXXstXXQXXrtXXQXXXXtXXXXQXX=+=+=+=+=i ii iiiiiii iiiii iiiii ii iiiiiii iiiii iiii （5.20）称 （5.20）称AQ为因素 A 引起的离差平方和，为因素 A 引起的离差平方和，BQ为因素为因素B引起的离差平方和，引起的离差平方和，BAQ为因素为因素A与与B的交互作用的交互作用A B引起的离差平方和，引起的离差平方和，EQ为误差平方和.令 为误差平方和.令 1111rstijkijkrst =，1ijt=i i1tk=ijk，11siijjs =iiiiii，11rjijir =i iii ii 则可得 则可得 21212B112111()()()()riAiisjBjirsijijAijijrstijEijkijkQstQrtQtQ=+=+=i iiiii iiiii iiiii iiii （5.21）（5.21）22122122B112()(1),()(1),()(1)(1),()(1).rAiisBjirsAijijEE QrstE QsrtE QrstE Qrs t=+=+=+=+=+=+=（5.22）令 （5.22）令 1AAQQr，AQ称为因素 A 引起的平均离差平方和，称为因素 A 引起的平均离差平方和，1BBQQs，BQ称为因素 B 引起的平均离差平方和，称为因素 B 引起的平均离差平方和，BB(1)(1)AAQQrs=,BAQ称为因素 A 与 B 的交互作用引起的平均离差平方和，称为因素 A 与 B 的交互作用引起的平均离差平方和，(1)EEQQrs t=，EQ称为平均离差平方和.于是 称为平均离差平方和.于是 221(),1rAiistE Qr =+=+221(),1sBjjrtE Qs =+=+22B11(),(1)(1)rsAijijtE Qrs =+=+2().EE Q=当 当01H成立时，成立时，()AE Q()EE Q，否则，否则，()AE Q()EE Q;当;当02H成立时，成立时，()BE Q()EE Q，否则，否则()BE Q()EE Q;当;当03H成立时，成立时，()A BE Q()EE Q，否则有，否则有()A BE Q()EE Q，令，令 AAEQFQ=，BBEQFQ=，BBAAEQFQ=，则当，则当010203,HHH不成立时，不成立时，B,ABAFFF都有偏大的趋势，因此都有偏大的趋势，因此B,ABAFFF可分别作为检验假设可分别作为检验假设010203,HHH的统计量，下面导出的统计量，下面导出,ABFF及及BAF的概率分布.在的概率分布.在0102,HH和和03H都成立的条件下，有离差平方和分解公式（5.20）得 都成立的条件下，有离差平方和分解公式（5.20）得 22111111()()rstrstTijkijkijkijkQXX =2211()()rsijijstrt=+iii iiii i 2211111()()rsrstijijijijkijijkt=+iiii iiiiii ii，上式两边同除以，上式两边同除以2 后，左边后，左边21TQ 是自由度为是自由度为1rst 的的2 变量，而右边各项的自由度分别是：变量，而右边各项的自由度分别是：21AQ 的自由度为的自由度为1r ；21BQ 的自由度为的自由度为1s；21A BQ 的自由度为的自由度为(1)(1)rs ；21EQ 的自由度为的自由度为(1)rs t .由于右边各项自由度之和等于左边.由于右边各项自由度之和等于左边2 变量的自由度，故由柯赫伦因子分解定理知：变量的自由度，故由柯赫伦因子分解定理知：221(1)AQr ，221(1)BQs ，221(1)(1)A BQrs，221(1)EQrs t ，且它们相互独立.从而由 F 分布的定义知当，且它们相互独立.从而由 F 分布的定义知当0102,HH和和03H成立时 成立时 AAEQFQ=服从自由度为（服从自由度为（1r，(1)rs t）的 F 分布；）的 F 分布；=BBEQFQ服从自由度为（服从自由度为（1s，(1)rs t）的 F 分布；）的 F 分布；BBAAEQFQ=服从自由度为（服从自由度为（(1)(1)rs ，(1)rs t）的 F 分布.给定的显著性水平）的 F 分布.给定的显著性水平，查 F 分布表可得，查 F 分布表可得 1,(1)F rrs t，1,(1)F srs t 和 和(1)(1),(1)Frsrs t 的值，由一次抽样后所得的样本值算得 的值，由一次抽样后所得的样本值算得 AF，BF和和BAF的值.若 的值.若 1,(1)AFF rrs t，则拒绝，则拒绝01H，则认为因素 A 对试验结果有显著影响，否则，接受，则认为因素 A 对试验结果有显著影响，否则，接受01H，即认为因素 A 对试验结果无显著影响.若 ，即认为因素 A 对试验结果无显著影响.若 1,(1)BFF srs t，则拒绝，则拒绝02H，则认为因素 B 对试验结果有显著性影响，否则，接受，则认为因素 B 对试验结果有显著性影响，否则，接受02H，即认为因素 B 对试验结果无显著影响.若 ，即认为因素 B 对试验结果无显著影响.若 B(1)(1),(1)AFFrsrs t 则拒绝 则拒绝03H，则认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果有显著性影响，否则，接受，则认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果有显著性影响，否则，接受03H，即认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果无显著影响.将整个分析过程列成双因素方差分析表如下（见表 5.13）.，即认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果无显著影响.将整个分析过程列成双因素方差分析表如下（见表 5.13）.表 5.13 方差来源 离差平方和 自由度 平均离差平方和F 值 显著性 表 5.13 方差来源 离差平方和 自由度 平均离差平方和F 值 显著性 因素 A 因素 A AQ 1r 1AAQQr=AAEQFQ=因素 B 因素 B BQ 1s 1BBQQs=BBEQFQ=交互作用交互作用A B BAQ (1)(1)rs(1)(1)A BA BQQrs=BBAAEQFQ=误差 误差 EQ (1)rs t (1)EEQQrs t=总和 总和 TQ 1rst 表中离差平方和 表中离差平方和 AQ，BQ，BAQ，EQ，TQ也可用如下公式计算，令 也可用如下公式计算，令 111rstijkijkTX=，21PTrst=，21111()rstijkijkUXst=，21111()srtijkjikVXrt=，21111()rstijkijkRXt=，2111rstijkijkWX=，则可得，则可得,ABQUP QVP=BAQRUVP=+,ETQWR QWP=.（5.23）.（5.23）例 5.6 例 5.6 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率 A和总拉伸倍数 B.A 和 B 各取 4 种水平，每种组合水平重复试验两次，得数据见表 5.14 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率 A和总拉伸倍数 B.A 和 B 各取 4 种水平，每种组合水平重复试验两次，得数据见表 5.14 表 5.14 460(表 5.14 460(1B)520（)520（2B）580（）580（3B）640（）640（4B）0（0（1A）4（）4（2A）8（）8（3A）12（）12（4A）71，73 73，75 76，73 75，73 72，73 76，74 79，77 73，72 75，73 78，77 74，75 70，71 77，75 74，74 74，73 69，69）71，73 73，75 76，73 75，73 72，73 76，74 79，77 73，72 75，73 78，77 74，75 70，71 77，75 74，74 74，73 69，69 试问收缩率和总拉伸率倍数分别对纤维弹性有无显著影响？收缩率与总拉伸倍数之间的交互作用是否影响显著？（试问收缩率和总拉伸率倍数分别对纤维弹性有无显著影响？收缩率与总拉伸倍数之间的交互作用是否影响显著？（0.05）解 依题意有0.05）解 依题意有4rs=，2t=.,ABFF和和BAF值的计算按如下双因素方差分析表进行（表 5.15）.由值的计算按如下双因素方差分析表进行（表 5.15）.由 0.05，查 F 分布表0.05，查 F 分布表0.050.05(3,16)3.24,(9,16)2.54FF=比较知 比较知 0.0517.53.24(9,16)AFF=，0.052.13.24(3,16)BFF=，故合成纤维收缩率对弹性有显著影响，总拉伸倍数对弹性无显著影响，而收缩率和总拉伸倍数的交互作用对弹性有显著影响.，故合成纤维收缩率对弹性有显著影响，总拉伸倍数对弹性无显著影响，而收缩率和总拉伸倍数的交互作用对弹性有显著影响.因 素 B 因 素 A 表 5.15 方差 来源 离差平 方和 自由度 均方误差 F 值 显著性 表 5.15 方差 来源 离差平 方和 自由度 均方误差 F 值 显著性 拉伸 率 A 总拉伸倍数 B 交互作用AB 误差 总和 70.594 8.594 79.531 21.500 180.2191 3 3 9 16 31 拉伸 率 A 总拉伸倍数 B 交互作用AB 误差 总和 70.594 8.594 79.531 21.500 180.2191 3 3 9 16 31 223.531AS=22.865BS=28.837A BS=21.344ES=17.5AF=2.1BF=B6.6AF=*
