厦门大学《应用多元统计分析》附录I 矩阵代数基本知识.pdf

附录 I 矩阵代数基本知识 附录 I 矩阵代数基本知识 矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。一、一、向量矩阵的定义向量矩阵的定义 将个实数排成如下形式的矩形数表，记为 np111212122212,ppnnaaaaaaaaaLLLAnpL 111212122212ppnnnpaaaaaaaaa=ALLMMML 则称为阶矩阵，一般记为Anp()ijn pa=A1，称为矩阵A的元素。当时，称为阶方阵；若ijan=pAnp=，只有一列，称其为维列向量，记为 An 11211naaaM 若，A只有一行，称其为维行向量，记为 1n=p ()11121,paaaL 1当为阶方阵，称为的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵的非对角元素全为0，称为对角阵，记为 An1122,nnaaaLAAA11221122(,)nnnnaadiag aaaa=ALO 进一步，若11221nnaaa=L，称为阶单位阵，记为或。AnnI=AI 如果将np阶矩阵的行与列彼此交换，得到的新矩阵是Apn的矩阵，记为 112111222212nnppnaaaaaaaaap=ALLMMML 称其为矩阵的转置矩阵。A 若是方阵，且A=AA0，则称为对称阵；若方阵，当对一切i元素A()ij n nAa=jX AX，则称A与其相应的二次型是正定的，记为；若对一切0A0X，都有0XX A，则称与二次型是非负定的，记为。A0A记，表示AB0AB；记，表示AB0AB。正定阵和非负定阵有如下性质：1一个对称阵是正（非负）定的当且仅当它的特征根为正（非负）；2若，则；0A10A3若，则，其中为正数；0A0cAc4若，因它是对称阵，则必存在一个正交阵，使 0AT12(,)pdiag=T ATL 其中1，p为的特征根，T的列向量为相应的特征向量，于是 A=T AT 5若（），则存在0A0120A（），使得01122=AA A。称12A 9为的平方根。Aag实际上，因为是对称阵，所以存在正交矩阵T和对角矩阵 A=12(,)pdi L使得=ATT。有（）可知0A00i（），。令01,=,ipL1212(,pdiag,)=L，1122=AT T，则有 111111222222=AT TT T T TA A 由于12A的特征根0i（），01,ip=L，所以12A（）。0 十、矩阵的微商十、矩阵的微商 设1(,)pxx=xL为实向量，()yf=x为x的实函数。则()f x关于x的微商定义为：1()pfxffxxx?M 若 1111pnnpxxxx=XLMML 则定义 1111()pnnpffxxfffxx=XXLMML 由上述定义不难推出以下公式：1若1(,)pxx=xL，1(,)paa=AL，则 10 ()=xAAx 2若1(,)pxx=xL，则()2=xxxx 3若1(,)pxx=xL，()ijp pb=B对称阵，则 ()2=xBxBxx 4若(ytr)=X AX，式中为n阶阵，为XpAnn阶阵，则()()tr=XAXA+A XX 若为对称阵，则 A()2tr=X AXAXX 11