第三章 函数 [兼容模式].pdf
第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数函数是一个基本的数学概念，应用的范围函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广很广，在计算机科学的理论中在计算机科学的理论中，如计算理如计算理很广很广，在计算机科学的理论中在计算机科学的理论中，如计算理如计算理论、编译理论、数据库理论、软件工程、论、编译理论、数据库理论、软件工程、计算机安全保密计算机安全保密，操作系统等都用到函数操作系统等都用到函数。计算机安全保密计算机安全保密，操作系统等都用到函数操作系统等都用到函数。函数-输入和输出间的关系。也叫变换、函数-输入和输出间的关系。也叫变换、映射。映射。具有分析具有分析、使用函数的能力在很多领域都使用函数的能力在很多领域都具有分析具有分析、使用函数的能力在很多领域都使用函数的能力在很多领域都是十分重要的。是十分重要的。第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数1.定义：X与Y集合，f是从X到Y的关系，如果1.定义：X与Y集合，f是从X到Y的关系，如果任何任何xXxX，都都存在唯一存在唯一yYyY，使得使得任何任何xXxX，都都存在唯一存在唯一yYyY，使得使得 f,x,yf,则称则称f f是是从从X X到到Y Y的函数的函数(变换变换、映映 f,x,yf,则称则称f f是是从从X X到到Y Y的函数的函数(变换变换、映映射)，记作f:X射)，记作f:XY.Y.如果f:XX是函数,也称f是X上的函数.如果f:XX是函数,也称f是X上的函数.f：NN，f(x)2x是从是从N到到N的函数，的函数，g：NN，g(x)2也是从也是从N到到N的函数。的函数。第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数2.自变元与函数值(像源与映像)2.自变元与函数值(像源与映像)：f:XY,如果f,称x是自变元(像f:XY,如果f,称x是自变元(像源源)，称称 y y是是x x 的函数值的函数值(x x的映像的映像)。源源)，称称 y y是是x x 的函数值的函数值(x x的映像的映像)。fx,yf y=f(x)y=f(x)f:Xf:XY Y fx,yf y=f(x)y=f(x)f:Xf:XY Y3.定义域、值域：f:XY,3.定义域、值域：f:XY,f的定义域，记作Df的定义域，记作Df f 即即D D=x|x=x|xXX，y(yYy(yY，f f)=X=XD Df f=x|x=x|xXX，y(yYy(yY，f f)=X=Xf f的值域的值域：记作记作C Cf f即即f f的值域的值域：记作记作C Cf f即即R Rf f=f(X)=y|yY，=f(X)=y|yY，x(xX，x(xX，f)f)第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数举例举例 判断下列关系是否为函数f判断下列关系是否为函数f1 1 x,x,x 是函数是函数1 1 1 1,y,y1 1,2 2,y,y2 2,3 3,y,y2 2 f f2 2x,是函数是函数不是函数不是函数?函数是特殊的二元关系。函数是特殊的二元关系。?函数的定义域为D函数的定义域为Df f，而不是它的真子集。，而不是它的真子集。?一个x只能对应唯一的y。一个x只能对应唯一的y。两个函数两个函数F F和和G G相等相等定满足下面两个条件定满足下面两个条件两个函数两个函数F F和和G G相等相等,一,一定满足下面两个条件定满足下面两个条件：（1）：（1）Df Dg（2 2）DD都有都有 f(f()g(g()（2 2）x Df Dg，都有都有 f(f(x)g(g(x)第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数例如例如函数F(函数F(x)()(x2 21)/(1)/(x+1)，G(+1)，G(x)x1不相等,因为1不相等,因为D D x|xRRx1 1 D DF F x|xRRx-1 1 D DG GRR显然显然D DD D所以两个函数不相等所以两个函数不相等显然显然，D DF FD DG G，所以两个函数不相等所以两个函数不相等。第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数函数的表示方法函数的表示方法函数的表示方法函数的表示方法枚举法枚举法、有向图有向图、矩阵矩阵、谓词描述法谓词描述法。枚举法枚举法、有向图有向图、矩阵矩阵、谓词描述法谓词描述法。函数的矩阵的特点：每行必有且只有一个1。函数的矩阵的特点：每行必有且只有一个1。特殊函数特殊函数1.1.常值函数常值函数：函数函数f:Xf:XY Y，如果如果 y y Y,Y,1.1.常值函数常值函数：函数函数f:Xf:XY Y ，如果如果 y y0 0Y,Y,使得对xX,有f(x)=y 使得对xX,有f(x)=y0 0,称f是常值函数。,称f是常值函数。2.恒等函数：恒等关系I2.恒等函数：恒等关系IX X是X到X函数，即是X到X函数，即I I:X:XX,X,称为恒等函数称为恒等函数。显然对于显然对于 x xXX，I IX X:X:XX,X,称为恒等函数称为恒等函数。显然对于显然对于 x xXX，有 I有 IX X(x)=x。(x)=x。第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数1.1.满射满射:f:X:f:XY Y是函数是函数，如果如果 R R=Y=Y,则称则称f f是是满射满射。1.1.满射满射:f:X:f:XY Y是函数是函数，如果如果 R Rf f=Y=Y,则称则称f f是是满射满射。2.2.内内射射:f:X:f:XY Y是函数是函数，如果如果 R Rf f Y Y 则称则称f f是是内内射射。2.2.内内射射:f:X:f:XY Y是函数是函数，如果如果 R Rf f Y Y 则称则称f f是是内内射射。3.单射:f:XY是函数，对于任意x3.单射:f:XY是函数，对于任意x1 1,x,x2 2X,如果X,如果1 12 2x x1 1xx2 2有f(x有f(x1 1)f(x)f(x2 2),(或者若f(x),(或者若f(x1 1)=f(x)=f(x2 2),则),则x x1 1=x=x2 2),),则称则称f f是是单射单射，也称也称f f是是一对一一对一的的。x x1 1=x=x2 2),),则称则称f f是是单射单射，也称也称f f是是一对一一对一的的。4.双射:f:XY是函数，如果f既是满射的，又是4.双射:f:XY是函数，如果f既是满射的，又是单射的，则称f是双射，也称f是一一对应的。单射的，则称f是双射，也称f是一一对应的。不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例a1a1b23b23c34c34单射单射不是函数不是函数a1a1a单射单射不是函数不是函数ab12b2ab12c34dc34dc3d4dd双射函数满射双射函数满射第三章第三章函函数数第三章第三章函函数数y=ax+by=x2y=2xy=ax+b y=xy=2双射内射内射，单射双射内射内射，单射 例:判断下面函数是否为单射、满射、双射的，例 判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么?(1)f：RR，f(x)=x2+2x 1(1)f：RR，f(x)=-x2+2x-1(2)f：Z+R，f(x)=ln x，Z+为正整数集：，(3)f：RZ，f(x)=x(4)f：RR，f(x)=2x+1分析分析()()（1）f 在在x=1取得极大值取得极大值0。既不是单射也不是满射的。既不是单射也不是满射的。分析分析（2）f 是单调上升的，是单射的，但不满射。是单调上升的，是单射的，但不满射。ran f=ln1,ln2,。（3）f 是满射的是满射的但不是单射的但不是单射的例如例如f(1 5)=f(1 2)=1（3）f 是满射的是满射的，但不是单射的但不是单射的，例如例如f(1.5)=f(1.2)=1。（4）f 是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ran f=R。常用函数常用函数常函数和恒等函数常用函数常函数和恒等函数常用函数常函数和恒等函数常函数和恒等函数 设f：AB，如果存在cB，使得对所有设f：AB，如果存在cB，使得对所有的xA都有f(x)c，则称f：AB是常函数。数。设f：AB，对所有的xA都有f(x)x，称 为 上的恒等函数。称f为A上的恒等函数。常用函数常用函数特征函数特征函数常用函数常用函数特征函数特征函数常用函数常用函数特征函数特征函数常用函数常用函数特征函数特征函数 设设A为集合为集合，对于任意的对于任意的A A，A 的特征的特征设设A为集合为集合，对于任意的对于任意的A A，A 的特征的特征函数函数A0 1定义为定义为 A :A0,1定义为定义为1，aA 0，aA A A (a)?举例:举例:A的每一个子集的每一个子集A都对应于一个特征函数，不同的子都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数集对应于不同的特征函数集对应于不同的特征函数集对应于不同的特征函数。例如。例如Aa,b,c,则有则有,，a,a,b,复合函数复合函数复合函数复合函数1.1.定义定义:f:X:f:XY,g:YY,g:YZ Z是函数是函数,则定义则定义1.1.定义定义:f:Xf:XY,Y,g:Yg:YZ Z是函数是函数,则定义则定义g g f=|xf=|x X X,z z Z Z,y(yy(y Y,Y,f f,y,zy,zg g?f=|xf=|x X X,z z Z Z,y(yy(y Y,Y,f f,y,z g)g)则称g则称g?f为f与g的复合函数。f为f与g的复合函数。注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合.注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合.g g f f:X:XZ,Z,即即 g g f f 是是X X到到Z Z的函数的函数.这样写这样写g g?f f:X:XZ,Z,即即 g g?f f 是是X X到到Z Z的函数的函数.这样写这样写是为了是为了照顾数学习惯:g照顾数学习惯:g?f(x)=g(f(x)f(x)=g(f(x)复合函数的计算方法同复合关系的计算.复合函数的计算方法同复合关系的计算.常用函数常用函数常函数和恒等函数常用函数常函数和恒等函数常用函数常函数和恒等函数常函数和恒等函数 设f：AB，如果存在cB，使得对所有设f：AB，如果存在cB，使得对所有的xA都有f(x)c，则称f：AB是常函数。数。设f：AB，对所有的xA都有f(x)x，称 为 上的恒等函数。称f为A上的恒等函数。复合函数复合函数复合函数复合函数例例1 f:XY,g:YZX=1,2,3 Y=1,2,3,4,Z=1,2,3,4,5,f=f ,g=,f 1 32 53 24 1 1 22 43 1 g?f=,?,=,3,3用有向图复合:用有向图复合:X Y Z1X Zg?ffg。2。1。2。1。3。2。1。2。1。3。2。1。3。3。4。4。5。3。4。5复合函数复合函数复合函数复合函数例2 令f和g都是实数集合R上的函数,如下:例2 令f和g都是实数集合R上的函数,如下:f=|x,yRy=3x+1 f=|x,yRy=3x+1 g=|x,yRy=xg=|x,yRy=x2 2 +x+xg=|x,yRy=g=|x,yRy=x x2 2+xx分别求 g分别求 g?f、ff、f?g、fg、f?f、gf、g?g gg g?f(x)=g(f(x)=(3x+1)f(x)=g(f(x)=(3x+1)2 2+(3x+1)=9x+(3x+1)=9x2 2+9x+2+9x+2f f g(x)=f(g(x)=3(xg(x)=f(g(x)=3(x2 2+x)+x)+1=3x+1=3x2 2+3x+1+3x+1f f?g g (x)=f(g(x)=3(x(x)=f(g(x)=3(x2 2+x)+x)+1=3x+1=3x2 2+3x+1+3x+1f f?f(x)=f(f(x)=3(3x+1)+1=9x+4f(x)=f(f(x)=3(3x+1)+1=9x+4g g?g(x)=g(g(x)=(xg(x)=g(g(x)=(x2 2+x)+x)2 2+(x+(x2 2+x)=x+x)=x4 4+2x+2x3 3+2x+2x2 2+x x+2x+2x2 2 +x x可见复合运算不满足交换性。可见复合运算不满足交换性。反函数反函数反函数反函数定义：设f:XY是定义：设f:XY是双射双射的函数，f的函数，fC C:YX 也:YX 也是函数是函数,称之为称之为f f 的逆函数的逆函数，或者反函数或者反函数。是函数是函数,称之为称之为f f 的逆函数的逆函数，或者反函数或者反函数。并用并用f f-1-1代替代替f fC C。f f-1-1存在存在，也称也称f f可逆可逆。并用并用f f 代替代替f f。f f 存在存在，也称也称f f可逆可逆。显然，f显然，f-1-1也是也是双射双射的函数。的函数。由此可知，一个函数存在反函数的条件是由此可知，一个函数存在反函数的条件是此函数是一一对应的此函数是一一对应的此函数是一一对应的此函数是一一对应的反函数反函数反函数反函数R是是A到到B的关系的关系，其逆关系其逆关系RC是是B到到A的关的关R是是A到到B的关系的关系，其逆关系其逆关系RC是是B到到A的关的关系。系。RC=|R f:XYfC:YX 是否是个函数是否是个函数？请看下面请看下面f:XY fC:YX,是否是个函数是否是个函数？请看下面请看下面的子：的子：f:X YfC:Y X。2。1。b。a。2。1。b。a显然显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双不是函数。可见如果一个函数不是双射的射的，它的逆就不是函数它的逆就不是函数。3。c。3。c射的射的，它的逆就不是函数它的逆就不是函数。例 设 f：RRg：RR 例 设 f：RR,g：RR23()23xxf xx=23()2xg xx=+求fg，gf。如果 f 和 g 存在反函数，求出它们的反函数它们的反函数。解:gfRR?解223()03xxgf xx+=?g：RR是双射的，它的是双射的，它的反函数是反函数是203:xfg RR?反函数是反函数是g 1RRg 1(x)=x 22(2)1()21xxfg xx+=?g1：RR，g1(x)=x 2
