中科大史济怀数学分析课件 125.pdf

22412.5 Fourier 积分和 Fourier 变换12.5 Fourier 积分和 Fourier 变换 背景背景 若()f x是(,)l l上绝对可积的可导函数,则(,)xl l ,有 01()(cossin)2nnnannf xaxbxll 111()()cos)cos2llllnnnf t dtf ttdtxllll 1()sin)sinllnnf ttdtxlll 111()()cos()2llllnnf t dtf ttx dtlll.考虑l 的情形.设()f x是上绝对可积的可导函数,则0l,(,)xl l,记 nnul,便有 1111()()()cos()()2llnnnllnf xf t dtf tu tx dt uul 01()cos()()f tu tx dt dul.(未严格证明)或x,有 011()()cos)cos()sin)sinf xf tutdtuxf tutdtux du.Fourier 积分 Fourier 积分 设()f x是上的绝对可积函数,令 1()()cosa uf tutdt,1()()sinb uf tutdt 则称 0()cos()sina uuxb uux du 为函数()f x的 Fourier 积分,记为 0()()cos()sinf xa uuxb uux du.定理 12.16定理 12.16 若()f x是上的绝对可积函数,则函数 1()()cosa uf tutdt 和 1()()sinb uf tutdt 都在(,)上一致连续.证:证:由含参变量积分的性质(第 20 章).225定理 12.17(Dirichlet 积分)定理 12.17(Dirichlet 积分)设()f x在上绝对可积,1()()cosa uf tutdt,1()()sinb uf tutdt,则 0()()cos()sinSxa uuxb uux du 01sin()()(0)tf xtf xtdtt.证:证:()cos()sina uuxb uux1()cos()f tu tx dt,故 0()()cos()sinSxa uuxb uux du 01()cos()f tu tx du dt (含参变量积分的性质)1()sin()f ttx dttx 1()sin()f xssdsstxs 01sin()()(0)sf xsf xsdss.定理 12.18(局部化定理)定理 12.18(局部化定理)若()f x是上的绝对可积函数,则它的Fourier 积分在0 x 处的收敛性质由()f x在0 x附近的性质所唯一确定.证:证:设0是固定的常数.0,可取0M 足够大使得 001sin()()2Mtf xtf xtdtt；再取00,使得0成立 001sin()()2Mtf xtf xtdtt；(定理 12.1)于是 00001sin()()()tSxf xtf xtdtt 001sin()()tf xtf xtdtt.定理12.19(Dini判别法)定理12.19(Dini判别法)设()f x是上的绝对可积函数,0,0 x.226若存在常数S使得00()()2()f xtf xtSg tt在(0,)上绝对可积,则()f x的 Fourier 积分在0 x处收敛到S.证:证:0()SxS0001sin()()2 tf xtf xtSdtt 0001()()2sinf xtf xtStdtt 001sin()()tf xtf xtdtt2sinStdtt 0().推论 12.1推论 12.19 若()f x是上绝对可积的可导或阶 Lipschitz 函数(01),则()f x的 Fourier 积分处处收敛到自己.推论 12.1推论 12.19 设()f x是上的绝对可积函数,0 x,那么有如下三个结论:(1)若()f x在0 x处可导,则()f x的 Fourier 积分在0 x处收敛到0()f x；(2)若()f x在0 x处左、右可导,则()f x的 Fourier 积分在0 x处收敛到0()f x；(3)若()f x在0 x处具有左、右极限0(0)f x 和0(0)f x,并且广义左、右导数000()(0)limtf xtf xt 和000()(0)limtf xtf xt 存在,则()f x 的 Fourier 积分在0 x处收敛到001(0)(0)2f xf x.推论 12.1推论 12.19 若()f x是上绝对可积的分段可导函数,则()f x的Fourier 积分处处收敛到1(0)(0)2f xf x.注记 1注记 1 类似地,也能定义无穷积分在 Cesro 意义下的收敛性.于是,与 Fourier 级数完全一样,Fourier 积分的 Fejr 判别法、Fejr 定理和唯一性定理等都成立.227定义 12.7定义 12.7 设函数()f x在上绝对可积,称复值函数 1()()2iutf uf t edt 为()f x的 Fourier 变换,它与()f x的 Fourier 积分中的()a u和()b u有如下关系 2()()()f ua uib u.定理12.20定理12.20 设函数()f x和()fx都在上绝对可积,并且lim()0 xf x,则 ()()()fuiu f u.证:证:11()()()()22iutiutfuft edtedf t 1()()()22iutiutiuef tf t edtiu f u.命题(反变换公式)命题(反变换公式)若()f x是上绝对可积的可导函数,其 Fourier 变换为()f u,则 1()()2iuxf xf u e du.证:证:由定理 12.19,并注意到()f x的 Fourier 积分中的()a u是偶函数,()b u是奇函数,便得到 0()()cos()sinf xa uuxb uux du 1()cos()sin2a uuxb uux du 1()cos()sin2a uuxb uux du 1()cos()sin2ib uuxa uux du 1()()2iuxa uib u e du 2281()2iuxf u e du.注记 2注记 2 常见函数的 Fourier 变换及其反变换有手册可查.定义 12.8定义 12.8 若()f x和()g x都是上的平方可积函数,则可定义它们的 卷积为 1()()()(),2fgxf xs g s dsx.定理 12.21定理 12.21 ()()()()fg uf u g u.证:证:1()()()()2iutfg uf ts g s ds edt 1()()2iutg sf ts edt ds (含参变量积分的性质)()1()()2iu s vg sf v edv ds ()()()()2iusf ug s edsf u g u.例例 求n阶非齐次线性常微分方程 ()(1)1()()()()nnnfxc fxc f xg x 的解,其中()yf x是未知函数,()g x是已知函数,12,nc cc是常数.解:解:两边同时作 Fourier 变换,便有 11()()()()()()nnniuf uc iuf uc f ug u,11()()()()nnng uf uiuc iuc,故 111()()()()2iuxnnng uyf xe duiuc iuc.练习题 12.5(练习题 12.5(67P)1(1,2),4(1,2).