天津大学10112工科数学分析第一阶段考试试卷答案.pdf
2010 2011 学年第 2 学期第一阶段考试试卷 工科数学分析 答案 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。1.设22),(yxyxyxf，则(3,4)xf 25 .2.2sin),(yxyxf，在点(0处的全微分d(,1)0,1)f dx .3.函 数在 点处 的 沿 从 点到 点yxz2e)0,1(P)0,1(P)1,2(Q方 向 的 方 向 导 数 为 12 .4.，则qpbyaxz)()(p qpqzxy !p q .5.200limxyyxy 不存在 .二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题 4 分，共分，共 12 分）请把正确选项填入题后的括号内。分）请把正确选项填入题后的括号内。1.函数(,)f x y在点00(,)xy连续是二重极限存在的（A ）A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 200(,)(,)f x yxyy（C ）A yyxfyyxxfy),(),(lim00000 B xyxfyxxfx ),(),(lim00000C yyxfyyxfy),(),(lim00000 D yyyxfy),(lim000 3.下列命题正确的是（B ）A 两个累次极限存在且相等，则二重极限必存在 B 重极限与累次极限均存在，则它们必相等 C 重极限存在，则累次极限一定存在 D 重极限不存在，则累次极限也不存在 1三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 7 分，共分，共 49 分）分）1.设具 有 连 续 偏 导 数，且),(yxf(1,1)1,(1,1)2,(1,1)3.xyfff 如 果),)(xx(,(xfxf，求)1(.解 ()()(,()(,()dxffdy xx y xx y xdxxydx，其中，()(,)y xf x x()(,)(,)dy xffx xxdxxyx.由于，以(1)(1,1)1yf1x 代入上述等式，得到(1)1,1)(1,1xyff(1,1)(1,1)(xyff)17.2.设20(,)dxytf x yet，求222222yfxyyxfxfyx.解 22x yfyex，22x yfxey，222322x yfxy ex，22222222x yxfex y ey x y，222322x yfx yey.所以222222yfxyyxfxfyx222yxe.3.在马鞍面xyz 上求一点，使得这一点的法线与平面093zyx垂直，并写出此法线的方程.解 马 鞍 面 的 法 向 量(,1)y x与平 行，所 以(1,3,1)1131yx，即，于 是 该 点 为(31,3,3yxzxy ,1,3)，在 该 点 处 的 法 线 方 程 为 3)1(313zyx.4.设，),(vuxfw),(zygu),(yxhv，求zwywxw,.解 wffvxxvxxvxff h,wfufvyuyvy uyvyf gf h,uzwfuf gzuz.25.已知可微，求(,),(,zf xy xyf u v)2,zzxx y.解：xz=yff21yz=xff21,22122112)(xyffyxffyxz 6.求的极值.22442),(yxyxyxyxf解：先求驻点。由，两式相减，可解得33422422xyfxxyfyxy000,1xy，即驻点为，三点。再由)0,0()1,1()1,1(2122xxfx，2xyf，2122yyfy可知.224(61)(61)4Hxy驻点，满足，所以是极值点，再根据)1,1()1,1(0Hxxf的符号，可知函数在，两点取极小值.)1,1()1,1(2在点，有，且)0,0(0H(0,0)0f.由于22(,)2(2)f x xxx，4(,)2f xxx，可知函数在点附近变号，所以不是极值点.)0,0()0,0(7.设 椭 球 面上 点处 指 向 外 侧 的 法 向 量 为n，求 函 数632222zyx)1,1,1(Pzy228xu6在点P处沿方向的方向导数.n解 曲面的单位法向量为(4,6,2)(4,6,2)xyzxyzn，将点的坐标代入，得到)1,1,1(P(2,3,1)14n=。于是，函数在点处沿方向n的方向导数为 uP 68(2,3,1)1,147141414uuuunxyzn1),(yxfz.四、计算下列各题（第四、计算下列各题（第 1 题题 10 分，第分，第 2 题题 9 分，共分，共 19 分）分）1.设具有二阶连续偏导数，写出2222yzxz在坐标变换 xyvyxu2,22下的表达式.解 zzuzvxuxv x22zzxyuv，222)v2222(zzzuzxxuuxv u x2222()zuz vyu vxvx 32222222484zzzxxyyuuv u 2zv，zzuzvyuyv y =22zzyxuv，222)vy2222(zzzuzyyuuyv u 2222()zuzvxu vyvy 2222222484zzzyxyxuuv u 2zv2).由于，所以 224224222(uvxx yyxy2222yzxz2222224()()zzxyuv)(4222222vzuzvu.2.原点到曲线221xyzxyz的最大距离和最小距离.解：设P（x,y,z）为曲线上任意点，则目标函数为222),(zyxzyxd，约束条件为221xyzxyz，建立拉格朗日函数：)1()(22222zyxzyxzyxL 由 0100202202222zyxzyxzyyxx得驻点：32,231,231和32,231,231，根据实际情况必有最大值和最小值，359;359minmaxdd.4
