天津大学10112工科数学分析第二阶段考试试卷答案.pdf
2010 2011 学年第 2 学期第二阶段考试试卷 工科数学分析 答案 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。1.设是关于u的奇函数，D是由x围成的平面区域，则)(uf(1,13yxy所D3)d dxf xyx y 27 .2.设是圆周，则Lxyx222ddLy xx y 2 .解：根据格林公式，得2)1(1 222xyxLdxdyxdyydx 3.的散度为 kxyzjxzyiyzxA)()()(222222xyz .4.二重积分dxdyyxaayx222222 332a .二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题 4 分，共分，共 24 分）请把正确选项填入题后的括号内。分）请把正确选项填入题后的括号内。1.设)(x为 区 间上 的 正 值 连 续 函 数，与为 任 意 常 数，区 域 1,0ab1,0),(yxyxD，则Ddxdyyxybxa)()()()(（D ）（A）；（B）b；（C）aba；（D）ba 21。2.设2222(,)x y z xyza，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（B ）（A）22d,d dxSxy外z.（B）2d,d dx Sxyz外.（C）d,d dx Sx y外z.（D）d,d dxy Sy z x外.解：解：因为关于（即因为关于（即0 x yOz平面）对称，平面）对称，x和和xy是是x的奇函数，而的奇函数，而2x是是x的偶函数，故第一类曲面积分的偶函数，故第一类曲面积分d0,dx S0 xyS，4322d24dRxSxS半；1而第二类曲面积分而第二类曲面积分22232224d d2d d2d d3yzRRx y zx y zRyzy z外上侧上半，.类似地，有，.类似地，有34d d2d d3Ry z xy z x外前侧前半.2d d0 xy z 外10,10,10zyx表面外侧，在)(zf1,0上连续，则 3.：正方体dxdyzf)(（D）(A)(B)(C)0(f)1(f)0()1(ff (D)0()1(ff 4.设为下半圆周，则（C）L)0(222yRyxLdsyx)2(A)(B)02)sin2(cosdtttR02)cos2(sindtttR(C)(D)02)sin2(cosdtttR02)cos2(sindtttR 5.计算球面与柱面所围成的立体的体积，则正确的 22224azyxaxyx222解法为 （D ）（A）V=cos20222042adrrard （B）V=cos20222044adrrad（C）V=cos20222048adrrard （D）V=cos20222242adrrard 6.设是球面的内侧（），2222azyx0a 为所围空间闭球，则按高斯公式曲面积分xdzdxydxdy333dydzz可表示为 （C ）（A）（B）dva23dva23（C）（D）ddrdrrsin322ddrdrrsin322 三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 8 分，共分，共 40 分）分）1.计算yyxyyxyxeyxyIddded121212141.解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到 2e21e83d)e(ededdedded1211211212121412xxyxxyxyIxxxxyyyxyyxy.2.计算，其中为锥面2z dxdydz2z222zxy和平面所围成的闭区域.解：2222400325zDz dxdydzz dzdxdyz dzd 3.已知曲线是平面与球面的交线，计算曲线积分 L()0zyx2222Rzyx22Lxyzl.解法 1 解法 1 由于曲线的方程中的变量Lzyx,具有轮换对称性，所以 LLLdlzdlydlx222，LLLzdlydlxdl，因此32222223432)(32)(RdlRdlzyxdlyxLLL，0031)(31LLLdldlzyxzdl，从而 3222234)()(RzdldlyxdlzyxLLL.解法 2解法 2 直接化成定积分进行计算。曲线：在L22220Rzyxzyxyx平面的投影曲线是一椭圆，其方程是2222Ryxyx，即2223222Ryxx。令 tRyxtRxsin22,cos223，20 t，则曲线的参数方程为 L 3,cos6sin2,cos6sin2,cos32tRtRztRtRytRx20t，所以 RdtdttRtRtRtRtRdl222cos2sin6sin6cos2sin32.从而22022232)(cos32RRdttRdlxL，2202232)cos6sin2(RRdttRtRdlyL，0)cos6sin2(20RdttRtRzdlL，因此 33322223403232)(RRRzdldlydlxdlzyxLLLL.4.已知2()d()dxayxy yxy为某二元函数的全微分，则求：（1）的值（2）求出这样的 a二元函数.解：设2)yx(ayx),(yxP2)yx(y),(yxQ，yPxQ得=2 a210011(,)ln()()lnlnlnlnxyyyu x ydxdyxydxxyxyyyxxyxxyxyxy 5.设：，1S224yxzz的部分，求2.14SdSz 解：6 4四、计算下列各题（每小题四、计算下列各题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分）5S1.计算曲面积分，其中是旋转曲面dxdyzyzdzdxdydzzxIS)1(24)32(2222yxez)2ez 1(的下侧.解：解：添加平面：上侧，使之成为封闭曲面 1s2ez 2042044)1(22)1(22211edzdddxdyedVIeessDs 20244242)32(4)1(8)1(4)1(8)(4eeeeedee 2.计算222222()d()d()LdIyzxzxyxy z，其中是平面与柱面L2xyz1xy的交线，从轴正向看去，为逆时针方向.zL解：设为平面2xyz上由所围成部分的上侧，LxyD是在xOy面上的投影 域，则的 法 向 量 的 方 向 余 弦 为1coscoscos3，:xyDx 1y，的曲面面积元素d3d dSxyd.由 Stokes 公式，得 222222()d()d()LIyzxzxyxy z 111333222222dSxyzyzzxxy1(444)d3xyzS 44()d2 3d d33xyDxyzSxy xyD1111yx28d d8(2)16xyDx y .
