数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--8章.pdf

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=+032cosexdxx133。（3）112xxdx+=dxx2223211+=31231211322xdx=+=+312arctan32x32。（4）当时，ba 122220()()xaxbdx+=0222222111dxbxaxab=baab22122)(2baab+；当时，ba=+0222)(1dxax+=02222222)(11dxaxxaxa)1(21202223+=axxdaa+=02223212axdxaa3342aa=34a=，268课后答案网 w w w.k h d a w.c o m此结果等于在时的结果中以ba ab=代入后的结果。（5）当时积分发散；当0a0p+=+=221)(ln11ln1ppxpdxxx1)2(ln11+pp。（7）令txtan=，则=+dxx2/32)1(1=22costdt2。（8）令，则 tex=120(ee)xxdx+=+=+=11222)1(21)1(tttdt41。（9）利用第六章第 3 节习题 1(10)的结果=+dxx114Cxxxxxx+)12arctan(42)12arctan(421212ln8222，即可得到=+0411dxx22。（10）=+dxxx021ln+dxxx1021lndxxx+121ln,对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换tx1=，则 dxxx+121lndttt+=1021ln，所以 01ln02=+dxxx。269课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：xxdx1201;1121xxdxlne;xxdx112;12101()xxdx;113211xxdxsin;20tan1dxx;解解（1）xxdx1201=10221)1(21xxd102)1(x=1=。（2）1121xxdxlne=e12)(lnln11xdx=ex1)arcsin(ln2。（3）令tx=1，则 xxdx112=+=102)1(2dtt38。（4）令tx=1，则 12101()xxdx=+=10212tdt2。（5）113211xxdxsin=01231sin1dxxx+10231sin1dxxx。10231sin1dxxx=1022)1(1sin21xdx102)1(cos21+=x，由于)1(cos21lim20 xx+极限不存在，所以积分10231sin1dxxx发散；同理积分01231sin1dxxx也发散。（6）令tx=tan，再利用上面习题 3（9），得到 20tan1dxx+=0412tdt2=。270课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 求极限lim!nnnn。解解 =nnnn!lnlim=nknnkn1ln1lim=101lnxdx,所以 ennnn1!lim=。计算下列反常积分：(1)lncosxdx02;(2)xxlnsin0dx。(3)20cotxdxx;(4)arcsin xxdx01;(5)ln xxdx1201。解解(1)令tx=2,再利用例 8.1.11，得到 lncosxdx02=20sinlntdt2ln2。(2)令tx=,由=0sinlnxdxx0sinlntdt0sinlntdtt,得到 =0sinlnxdxx0sinln2xdx=20sinlnxdx2ln22=。(3)20cotxdxx=20sinlnxxddxxxx=2020sinln)sinln(2ln2=。(4)令,得到 xtarcsin=10arcsindxxx20cottdtt2ln2=。271课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(5)=1021lndxxx10arcsinlnxxd10)arcsin(lnxx=10arcsindxxx2ln2=。求下列反常积分的 Cauchy 主值：(cpv)112+xxdx;(cpv)1214xdx;(cpv)ln/11 22xxdx。解解(1)(cpv)112+xxdx=+=+AAAxx)1ln(21arctanlim2。(2)(cpv)1214xdx=+=+)2(ln)2(lnlim21420 xx2ln。(3)(cpv)ln/11 22xxdx=+=+)ln(ln)ln(lnlim12/1210 xx0。说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。证证 设是一个无界函数反常积分，badxxf)(bx=是的唯一奇点)(xf（即在的左领域无界）。令)(xfbx=xbabt=，则 badxxf)(21)(tdttabbfab+=，等式右端就是一个无穷区间的反常积分。以为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性；+adxxf)(举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。解解（1）保序性：设与收敛，且在+adxxf)(+adxxg)(),+a成立，则)()(xgxf+adxxf)(+adxxg)(；证明：由定积分的保序性，可知，再令。Aadxxf)(Aadxxg)(+A 272课后答案网 w w w.k h d a w.c o m区间可加性：设收敛，则对任意+adxxf)(),+ac，收敛，且+cdxxf)(+adxxf)(=cadxxf)(+cdxxf)(；证明：由定积分的区间可加性，可知，再令。Aadxxf)(=cadxxf)(+Acdxxf)(+A（2）设xxxgxfsin)()(=，则与收敛，但不收敛。+1)(dxxf+1)(dxxg+1)()(dxxgxf10.证明当时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 a 0+0lndxxxxaaxf+=01lndxxxaaxfa。证证+0lndxxxxaaxf+01lndxxxaaxfadxxaxxaaxflnln0+=+=dxxaxxaaxfalnln0dxxaxxaaxfalnln+，对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换tax2=，则当+ax:时，；且0:at=+xaaxtaat+，dttatdxxaxlnlnlnln=，于是由 dxxaxxaaxfalnln+dttattaatfalnln0+=，得到+0lndxxxxaaxf+01lndxxxaaxfa 0lnlnaxaxafdxaxx=+0lnln0atatafdtatt+=。273课后答案网 w w w.k h d a w.c o m11设收敛，且+adxxf)(Axfx=+)(lim。证明0=A。证证 用反证法。不妨设，则对0A021=A，aX，：Xx AAxf21)(。由 Badxxf)(=Xadxxf)(+BXdxxf)()(21)(XBAdxxfXa+，可知，与收敛发生矛盾。+=+BaBdxxf)(lim+adxxf)(同理也可证明不可能有0，aA 00,AAA：KdxxAA)(。于是 AAdxxf)(，aA 00,AAA：KdxxfAA)(。于是 AAdxx)(0)(1AAdxxfK，所以也发散。+adxx)(（2）设在,)a+上有0)(,0)(xxf，且0)()(lim=+xxfx。则当发散时，也发散；但当收敛时，可能收敛，+adxxf)(+adxx)(+adxxf)(+adxx)(278课后答案网 w w w.k h d a w.c o m也可能发散。例如21)(xxf=，)20(1)(=pxxp，则0)()(lim=+xxfx。显然有+1)(dxxf收敛，而对于，则当+1)(dxx21p时收敛，当时 10=pxxp，则+=+)()(limxxfx。显然有+1)(dxxf发散，而对于，则当+1)(dxx121p 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法）证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法）设在,)a+(,)0上恒有，f x()0K是正常数。若f xKxp()，且，则收敛；p1+adxxf)(若f xKxp()，且，则发散。p1+adxxf)(推论（Cauchy 判别法的极限形式）推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在,)a+(,)0上恒有，且 f x()0lim()xpx f xl+=，则 若0 1+adxxf)(279课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 若0 qpxxdxqp11+收敛，在其余情况下积分 xxdxqp11+发散。证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。f x()cpv(f x dx()+f x dx()+证证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。f x dx()+)cpv(f x dx()+0)(xf)cpv(f x dx()+f x dx()+由于收敛，可知极限)cpv(f x dx()+Alim=)(AF+AlimAAdxxf)(存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理，0，00A0,AAA：)()(AFAF，于是与，成立 0,AAA0,ABBAAdxxf)()()(AFAF 与 BBdxxf)(pppxxx1sin，而+11dxxp收敛，所以当时积分 1psin xxdxp1+绝对收敛；当时，因为有界，10p=AxdxAF1sin)(px1在单调，且),1+01lim=+pxx，由 Dirichlet 判别法，积分sin xxdxp1+收敛；但因为当时积分10p+1|sin|dxxxp发散，所以当10ppxxxarctansinpx2，而+11dxxp收敛，所以当时积分1p+1tanarcsindxxxxp绝对收敛；当时，因为有界，10p=AxdxAF1sin)(pxxarctan在单调，且),1+0arctanlim=+pxxx，由 Dirichlet 判别法，积分+1arctansindxxxxp收敛；但因为当时积分10p+1sinarctandxxxxp发散，所以当10 mnxxxqxpnmsin)()(2xK，可知当时积分1+mn+anmxdxxqxpsin)()(绝对收敛。当时，因为有界，且当 充分大时，1+=mn=AxdxAF1sin)(x)()(xqxpnm单调且0)()(lim=+xqxpnmx，由 Dirichlet 判别法可知+anmxdxxqxpsin)()(收敛；但由于当+x时，)()(xqxpnmxa，易知+1sin)()(dxxxqxpnm发散，所以当时，积分1+=mn+anmxdxxqxpsin)()(条件收敛。当时，由1+mnAxqxpnmx=+)()(lim，A为非零常数、+或，易知积分+anmxdxxqxpsin)()(发散。设在只有一个奇点f x(),a bxb=，证明定理 8.2.和定理8.2.。3 5定理 8.2.（定理 8.2.（Cauchy 判别法）判别法）设在,上恒有，若当 3)a bf x()0 x属于 的某个左邻域时，存在正常数b,b )b0K，使得 f xKbxp()()，且p 1，则收敛；f x dxab()f xKbxp()()，且，则发散。p 1f x dxab()证证（1）当时，积分p，0，),0(,：Kdxxbbbp)(1。由于)(bbdxxf，0，),0(,：Kdxxbbbp0)(1。由于)(bbdxxf0)(bbpdxxbK，所以发散。f x dxab()推论（推论（Cauchy 判别法的极限形式）判别法的极限形式）设在,上恒有，且)a bf x()0lim()()xbpbxf xl=，则 若0 +l，且p 1，则收敛；f x dxab()若0 +l，且，则发散。p 1f x dxab()证证（1）由（lim()()xbpbxf xl=+，),(bbx：pxblxf)(1)(+，再应用定理 8.2.的（1）。3（2）由（lim()()xbpbxf xl=+，),(bbx：pxblxf)(2)(，再应用定理 8.2.的（2）。3定理 8.2.定理 8.2.若下列两个条件之一满足，则收敛：5f x g x dxab()()284课后答案网 w w w.k h d a w.c o m （Abel 判别法判别法）收敛，在,上单调有界；f x dxab()g x()a b （Dirichlet 判别法判别法）在=badxxfF)()(,0(ab 上有界，g x在上单调且(),)a b0)(lim=xgbx。证证（1）设，因为收敛，由 Cauchy 收敛原理，Gxg|)(|f x dxab()0，0，),(,bbAA：GdxxfAA2)(。由积分第二中值定理，AAdxxgxf)()(+AAdxxfAgdxxfAg)()()()(+AAdxxfGdxxfG)()(=+22。（2）设MF|)(|，于是),baAA，有MdxxfAA2)(，0，),(bbx，有Mxg4)(。由积分第 二中值定理，AAdxxgxf)()(+AAdxxfAgdxxfAg)()()()(|)(|2|)(|2AgMAgM+=+22。所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有收敛的结论。+adxxgxf)()(讨论下列非负函数反常积分的敛散性：112301xxdx();ln xxdx2011;12202cossinxxdx;102cosxxdxp;|ln|xdxp01;xxdpq11011()x;1011|ln|)1(dxxxxqp.解解（1）因为32)1(1xx321x)0(+x，32)1(1xx31)1(1x)1(x，285课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以积分112301xxdx()收敛。（2）因为1lnlim21xxx21=，且对任意10 xxxx11ln2，所以积分ln xxdx2011收敛。（3）因为xx22sincos121x)0(+x，xx22sincos12)2(1x)2(x，所以积分12202cossinxxdx发散。（4）因为pxxcos1221px)0(+x，所以当3p时积分102cosxxdxp收敛，当时积分3p102cosxxdxp发散。（5）首先对任意的10 xxxp1lnp|ln|xdxp011p时，积分发散。|ln|xdxp01（6）11)1(qpxxpx11)0(+x，11)1(qpxxqx1)1(1)1(x，所以在时积分收敛，在其余情况下积分 0,0qpxxdpq11011()xxxxdpq11011()发散。（7）|ln|)1(11xxxqpqx)1(1)1(x，且 0|)ln|)1(lim11210=+xxxxqppx，即当充分小时，有 0 x21111ln)1(pqpxxxxqp时积分收敛，在其余情况下积分发散。1011|ln|)1(dxxxxqp1011|ln|)1(dxxxxqp 286课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 讨论下列反常积分的敛散性：xxxdxpq1101ln();+Rqp,112230 x xxdx()()+;ln()10+xxdxp;+0tanarcdxxxp;2/0tandxxxp;xdpx+10ex;10 xxdxpq+;+2ln1dxxxqp.解解（1）xxxdxpq1101ln=2101lndxxxp2101lndxxxq+12111lndxxxxqp。当，时积分0p0q2101lndxxxp与积分2101lndxxxq显然收敛，且当时，1x=xxxqpln11()()()1(1ln1)1(11)1(111+xxxqpqpxxqp=1)1)(，即12111lndxxxxqp不是反常积分，所以积分xxxdxpq1101ln收敛。（2）=+032)2()1(1dxxxx1032)2()1(1dxxxx+2132)2()1(1dxxxx+232)2()1(1dxxxx。因为 32)2()1(1xxx313121x)0(+x，32)2()1(1xxx32)1(1x)1(x，所以积分1032)2()1(1dxxxx收敛；287课后答案网 w w w.k h d a w.c o m因为 32)2()1(1xxx32)1(1x)1(+x，32)2()1(1xxx313)2(121x)2(x，所以积分2132)2()1(1dxxxx收敛；因为 32)2()1(1xxx313)2(121x)2(+x，32)2()1(1xxx341x)(+x，所以积分+232)2()1(1dxxxx收敛。由此可知积分112230 x xxdx()()+收敛。（3）=+0)1ln(dxxxp+10)1ln(dxxxp+1)1ln(dxxxp。由pxx)1ln(+11px)0(+x，可知当2p0)1ln(lim213=+ppxxxx，即当充分大时，有 0 x2131)1ln(p，可知当时，积分1p+1)1ln(dxxxp收敛，当时，积分1p+1)1ln(dxxxp发散；288课后答案网 w w w.k h d a w.c o m综上所述，当时，积分21p+0)1ln(dxxxp收敛，在其余情况下积分+0)1ln(dxxxp发散。（4）+0tanarcdxxxp=10tanarcdxxxp+1tanarcdxxxp。由pxxarctan11px)0(+x,可知当2p+1tanarcdxxxp收敛。所以当时积分21p+0tanarcdxxxp收敛，在其余情况下积分+0tanarcdxxxp发散。（5）2/0tandxxxp=4/0tandxxxp+2/4/tandxxxp。由pxxtan211px)0(+x，可知当23p时积分4/0tandxxxp收敛，当23p时积分4/0tandxxxp发散；由pxxtan122()2ppx)2(x，可知积分2/4/tandxxxp收敛。所以当23pxdpx+10ex0p时积分发散。xdpx+10ex 289课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（7）10 xxdxpq+=101dxxxqp+11dxxxqp。当qp=时，显然积分10 xxdxpq+发散；当qp 时，由于 qpxx+1),min(1qpx)0(+x，qpxx+1),max(1qpx)(+x，所以当1),min(qp10 xxdxpq+收敛，其余情况下积分10 xxdxpq+发散。（8）设，则对任意的，当 充分大时，有1pqx211ln1+p，可知积分+2ln1dxxxqp收敛。设，则对任意的，当 充分大时，有1pqpxxx，因为121p1,1=qp+2ln1dxxxqp收敛，在其余情况下积分+2ln1dxxxqp发散。讨论下列反常积分的敛散性：xxdxp+1201;xxxdxqpsin11+();p0+0sincosedxxxpx;+0sin2sinedxxxpx;290课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(5)1021cos1dxxxp；(6)+11sindxxxxp ().0p解解（1）xxdxp+1201+=10211dxxxp+1211dxxxp。由211xxp+px11)0(+x，211xxp+px31)(+x，可知当时积分20pxxdxp+1201收敛，在其余情况下积分xxdxp+1201发散。（2）当时，由1pqqppqxxxx+11|sin|，可知积分xxxdxqpsin11+绝对收 敛。当pqp1时，因为有界，当 充分大时=AxdxAF1sin)(xpqxx+1单 调减少，且01lim=+pqxxx，由 Dirichlet 判别法，积分+11sindxxxxpq收敛；但因为积分+11|sin|dxxxxpq发散，所以当pqp1时积分sin xxdxp1+条 件收敛。当pq 时，由于时n22sin1qnpnxxdxx+不趋于零，可知积分 xxxdxqpsin11+发散。（3）+0sincosedxxxpx=10sincosedxxxpx+1sincosedxxxpx。由pxxxecossinpx1)0(+x，可知当1p时积分10sincosedxxxpx收敛，在其余情况下积分10sincosedxxxpx发散。当时，易知积分1p+1sin|cos|edxxxpx发散；当0p时，易知积分 291课后答案网 w w w.k h d a w.c o m+1sincosedxxxpx发散。当时，因 为10p1cos1sinexdxeAx，px1单 调 减 少，且01lim=+pxx，由 Dirichlet 判别法；可知积分+1sincosedxxxpx收敛。综上所述，当时，积分10p+0sincosedxxxpx条件收敛，在其余情况下积分+0sincosedxxxpx发散。（4）+0sin2sinedxxxpx=10sin2sinedxxxpx+1sin2sinedxxxpx。由pxxxe2sinsin12px)0(+x，可知当2p时积分10sin2sinedxxxpx收敛，在其余情况下积分10sin2sinedxxxpx发散。当时，显然积分21p+1sin|2sin|edxxxpx收敛；当时，易知积分1p+1sin|2sin|edxxxpx发散；当0p时，易知积分+1sin2sinedxxxpx发散。当时，因为，可知10p+=)1(sin02sinkkxxdxeAxxdxe0sin2sin有界，且px1单调减少，01lim=+pxx，由 Dirichlet 判别法，可知积分+1sin2sinedxxxpx收敛。综上所述，当时积分21p+0sin2sinedxxxpx绝对收敛，当时积分10p+0sin2sinedxxxpx条件收敛，在其余情况下积分+0sin2sinedxxxpx发 292课后答案网 w w w.k h d a w.c o m散。（5）令21xt=，则=1021cos1dxxxptdttpcos121123+。于是可知当1p时积分1021cos1dxxxp绝对收敛；当时积分31pppxxxx11sin+，可知积分+11sindxxxxp绝对收敛。当时，因为102321，而级数=+11npn2发散，所以积分+11sindxxxxp发散；又因为=+dxxxxp1)1sin(dxxxxxxp+1sin1coscos1sin，注意到当 充分大时，xpxx1sin与pxx1cos都是单调减少的，由 Dirichlet 判别法可知积分+11sindxxxxp收敛，所以积分+11sindxxxxp条件收敛。10证明反常积分收敛。+04sinsinxdxxx 293课后答案网 w w w.k h d a w.c o m证证 对任意AAA，由分部积分法，=4sinsinAAxdxxx42)(cos4sinAAxdxx 244cossinAAxxx=+244coscosAAdxxxx342sincosAAdxxxx。显然，当时，等式右端的三项都趋于零，由 Cauchy 收敛原理，可知反常积分收敛。+A+04sinsinxdxxx11设单调，且当f x()x+0时f x()+，证明：收敛的必要条件是。f x dx()01lim()xxf x+=00证证 首先由的单调性，对于充分小的f x()10，Ax，有1)(成立)()(2xfxf。因为积分绝对收敛，于是由比较判别法，+adxxf)(积分收敛。fx dxa2()+15 若收敛，则称在,fx dxa2()+f x()a+上平方可积（类似可定义无界函数在,上平方可积的概念）。a b 对两种反常积分分别探讨平方可积与的反常积分收敛之间的关系；f x()f x()对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。解解（1）收敛不能保证收敛，例如：+adxxf)(fx dxa2()+xxxfsin)(=，则收敛，但发散；+1)(dxxf+12)(dxxffx dxa2()+收敛不能保证收敛，例如：+adxxf)(xxf1)(=，则+12)(dxxf收敛，但发散。+1)(dxxf 295课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（2）收敛不能保证绝对收敛，例如：fx dxa2()+adxxf)(xxxfsin)(=，则收敛，但不是绝对收敛的；+12)(dxxf+1)(dxxf+adxxf)(绝对收敛不能保证收敛，例如：fx dxa2()+=其他01,)(23nnnnxnxf，则绝对收敛，但发散。+1)(dxxf+12)(dxxf（3）由)(1 21)(2xfxf+，可知收敛保证绝对收敛；badxxf)(2badxxf)(但绝对收敛不能保证收敛，例如：badxxf)(badxxf)(2xxf1)(=，则 10)(dxxf绝对收敛，但发散。102)(dxxf16.证明反常积分 sinsinxxxdxp+1 当p 12时发散，当1211 证证 当时，对充分大的，有p1xxxxpsinsin+px2，由于积分+12dxxp 收敛，可知积分sinsinxxxdxp+1绝对收敛。当时，利用等式 10p)sin(sinsinsinsin2xxxxxxxxxpppp+=+。这时积分+1sindxxxp收敛；积分+12)sin(sindxxxxxpp当121p时收敛，当210 p发散。当121p时，由于+434sinsinnnpdxxxx1)1(122+ppn，因为级数1)1(11+=ppnn发散，所以积分+1sinsindxxxxp发散。296课后答案网 w w w.k h d a w.c o m综上所述，当121p时，积分sinsinxxxdxp+1条件收敛；当210162，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sinsinxxxdxp+1发散。297课后答案网 w w w.k h d a w.c o m