((完整版))解三角形知识点归纳(附三角函数公式)-推荐文档.pdf

高中数学必修五高中数学必修五 第一章第一章 解三角形知识点归纳解三角形知识点归纳1 1、三角形三角关系：、三角形三角关系：A+B+C=180A+B+C=180；C=180C=180(A+B)(A+B)；2 2、三角形三边关系：、三角形三边关系：a+bc;a+bc;a-bca-bc3 3、三角形中的基本关系：、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC4 4、正弦定理：在、正弦定理：在中，中，、分别为角分别为角、的对边，的对边，为为的外的外CAabcACRCA接圆的半径，则有接圆的半径，则有2sinsinsinabcRCA5 5、正弦定理的变形公式：、正弦定理的变形公式：化角为边：化角为边：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC化边为角：化边为角：，；sin2aRA sin2bR sin2cCR；:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA6 6、两类正弦定理解三角形的问题：、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）注意解的情况（一解、两解、三解）)7 7、余弦定理：在、余弦定理：在中，有中，有等，变形：等，变形：CA2222cosabcbcA等，等，222cos2bcabcA 8 8、余弦定理主要解决的问题：、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）已知三边求角）9 9、三角形面积公式：、三角形面积公式：=2R=2R2 2sinAsinBsinC=sinAsinBsinC=111sinsinsin222CSbcabCacAA=Rabc42)(cbar)()(cpbpapp1010、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设成边的形式或角的形式设、是是的角的角、的对边，则：的对边，则：abcCAAC若若，则，则；若若，则，则；若若，则，则222abc90C 222abc90C 222abc90C 1111、三角形的四心：、三角形的四心：垂心垂心三角形的三边上的高相交于一点三角形的三边上的高相交于一点 重心重心三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为 2:12:1）外心外心三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心内心三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12 同角的三角函数之间的关系（）平方关系：（）平方关系：（）倒数关系：（）倒数关系：（）商的关系：（）商的关系：sincoscot,cossintan特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值三角函数值030456090sin02122231cos12322210tan0333不存在三角函数诱导公式：三角函数诱导公式：“（）”记忆口诀:“奇变偶不变，符号看象限”，是指（2k），kZ 的三角函数值，当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、2k余割也同样）;当 k 为偶数时，函数名函数名不变。然后符号符号与 将 看成锐角时原三角函数值的正负号一致。三角函数的图像与性质：1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyx有关函数有关函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是BAAB 2T2f，初相是；x其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都)(2ZkkxBy 是该图象的对称中心。函数函数y ysin(sin(xx)的图象与函数的图象与函数y ysinsinx x的图象的关系的图象的关系:由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。（先相位变换，再周期变1换）途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向1右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。（先周期变换，再相位变换）|对称轴与对称中心：对称轴与对称中心：定义域RR值域 1,1 1,1R周期性 22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性上为增22,22kk函数；上为减223,22kk函数（）Zk；上为增函2,12kk 数12,2kk上为减函数（）Zk 上为增函数（）kk2,2ZkxysinZkkxRxx,21|且xytanxycos的对称轴为，对称中心为；sinyx2xk(,0)kkZ的对称轴为，对称中心为；cosyxxk2(,0)ky=tan x 图像的对称中心是（，0），无对称轴。2k诱导公式(以下 kZ)公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一 三角函数的值相等：sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan 公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan公式三：任意角 与-的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tan公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tan公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tan sin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan 同同角角三三角角函函数数基基本本关关系系同角三角函数的基本关系式商的关系：sin/costan平方关系：sin2cos21两两角角和和差差公公式式 两角和与差的 三角函数公式sin（）sincoscossin sin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsintan（）(tan+tan)(1-tantan)tan（）(tantan)(1tantan)二二倍倍角角公公式式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()tan22tan/1tan2()半半角角公公式式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2(/2)(1cos)2cos2(/2)(1cos)2tan2(/2)(1cos)(1cos)另也有 tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos)万万能能公公式式万能公式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)三三倍倍角角公公式式 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3cos34cos33costan3（3tantan3）（13tan2）和和差差化化积积公公式式 三角函数的 和差化积公式sinsin2sin()/2cos()/2sinsin2cos()/2sin()/2coscos2cos()/2cos()/2 coscos2sin()/2sin()/2 积积化化和和差差公公式式 三角函数的积化和差公式sin cossin()sin()/2cos sinsin()sin()/2cos coscos()cos()/2sin sincos()cos()/2