8复系数与实系数多项式的因式分解 [兼容模式].pdf
1多项式函数多项式函数余数定理余数定理1.7 多项式函数多项式函数小结 作业小结 作业第一章第一章多项式多项式n次多项式的根不能多于次多项式的根不能多于n个个PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2多项式函数多项式函数 是是P中数中数,称为当称为当x=时的值时的值,是是Px中多项式,中多项式,设设0111)(axaxaxaxfnnnn+=L(3)在在(3)中用中用 代替代替x 得得0111)(aaaafnnnn+=L故多项式故多项式f(x)就定义了一个数域就定义了一个数域P上的函数.上的函数.易知若易知若)()()(1xgxfxh+=)()()(2xgxfxh=则则)()()(1gfh+=)()()(2gfh=多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3定理定理 8(余数定理余数定理)所得余式是一个常数所得余式是一个常数,用用(x-)去除去除 f(x),于是于是证明证明余式为一常数余式为一常数c,若若f(x)在在x=时函数值时函数值f()=0,则则 称为称为f(x)的一个的一个根根用多项式用多项式(x-)去除多项式去除多项式 f(x),这个常数等于函数值这个常数等于函数值f().设商为设商为q(x),f(x)=q(x)(x-)+c,用用 代替代替x 得得f()=c.或或零点零点.推论推论 是是f(x)的的根根 充要条件 是充要条件 是(x-)|f(x).多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4定义定义 9 因式因式.如果如果(x-)是是f(x)的的k 重重当当k1,称为称为f(x)的的k重根重根,当当k=1时时,称为称为f(x)的的单根单根.定理定理 9Px中中n次多项式次多项式(n00)在数域在数域P中的根中的根重根按重数计算重根按重数计算.称为称为f(x)的的重根重根.不可能多于不可能多于n个,个,多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式证明证明 n=0定理显然成立定理显然成立.n0时时,把把f(x)分解成不可约多项式的乘积分解成不可约多项式的乘积.推论推论 是是f(x)的的根根 充要条件 是充要条件 是(x-)|f(x).由由推论推论和根的重数的定义和根的重数的定义,显然显然f(x)在在P中根的个数中根的个数等于分解式中一次因式的个数等于分解式中一次因式的个数,其不超过其不超过f(x)的次数的次数n.PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5定理定理 10而它们而它们有相同的值有相同的值,若多项式若多项式f(x),g(x)的次数都不超过的次数都不超过n,对对n+1个不同的数个不同的数1,2,L,n+1证明证明由条件得由条件得,故故f(x)-g(x)=0,即即f(i)=g(i),即多项式即多项式f(x)-g(x)有有n+1个不同的根个不同的根,i=1,2,L,n+1,则则 f(x)=g(x).f(i)-g(i)=0,i=1,2,L,n+1.即即f(x)=g(x).多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 61.多项式函数多项式函数.2.余数定理余数定理.小结小结3.n次多项式的根不能多于次多项式的根不能多于n个个.多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 7p46作业作业21.22.23.24.多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 8定义定义若若(x-)是是f(x)的的k 重因式重因式.当当k1,称为称为f(x)的的k重根重根,当当k=1时时,称为称为f(x)的的单根单根.称为称为f(x)的的重根重根.多项式函数多项式函数第一章第一章多项式多项式注注要特别注意要特别注意p46习题习题21和习题和习题23是否彼此产生矛盾是否彼此产生矛盾!推论推论 是是f(x)的的根根 充要条件 是充要条件 是(x-)|f(x).不可约多项式不可约多项式p(x)是多项式是多项式f(x)的的k重因式重因式 p(x)是是f(x),f(x),L,f(k-1)(x)的因式的因式,但但不是不是f(k)(x)的因式的因式.是是f(x)的的k重根重根 是是 f(x),f(x),L,f(k-1)(x)的根的根,不是不是f(k)(x)的根的根.定义定义 是是f(x)的的根根,若若 f()=0.?不可约不可约p(x)称称f(x)的的k重因式重因式,若若pk(x)|f(x),pk1(x)|f(x).PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 9代数基本定理代数基本定理复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理1.8 复系数与实系数复系数与实系数小结 作业小结 作业第一章第一章多项式多项式实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理多项式的因式分解多项式的因式分解PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 10代数代数基本基本定理定理在复数域中在复数域中每个次数1的复系数多项式每个次数1的复系数多项式复系复系数多项式因式分解定理数多项式因式分解定理在复数域中在复数域中即有标准分解:即有标准分解:等等价地说价地说:在复数域中有一根.在复数域中有一根.每个次数1的复系数多项式每个次数1的复系数多项式有一个一次因式.有一个一次因式.每个次数1的复系数多每个次数1的复系数多项式项式都可唯一地分解成一次因式的乘积.都可唯一地分解成一次因式的乘积.slsllnxxxaxf)()()()(2121=L其中其中是不同的复数是不同的复数,s,21Lslll,21L是正整数是正整数.复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解第一章第一章多项式多项式将来利用复变函数论中的结论可简单地证明.将来利用复变函数论中的结论可简单地证明.证明证明n次次复系复系数多项式数多项式恰恰有有n个个复复根根(重根按重数计算重根按重数计算).PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 11则则的的两边取共轭数有两边取共轭数有结结论论:对实系数多项式对实系数多项式f(x),事实上,事实上,其系数为实数.其系数为实数.由假设由假设若若是是f(x)的复根的复根,共轭复数也是共轭复数也是f(x)的复根的复根.设设,)(0111axaxaxaxfnnnn+=L,0)(0111=+=aaaafnnnnL,0)(0111=+=aaaafnnnnL也也是是f(x)的根的根.即即复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 12在实数域中在实数域中即有标准分解:即有标准分解:实系实系数多项式因式分解定理数多项式因式分解定理每个次数1的实系数每个次数1的实系数多项式多项式都可唯一分解地成一次因式与都可唯一分解地成一次因式与其中其中全是实数,全是实数,是正整数.是正整数.二次因式的乘积.二次因式的乘积.=)(xfrskrrklslnqxpxqxpxcxcxa)()()()(2112111+LL,1scc L,1rpp Lrqq,1L,1sll Lrkk,1L并且并且iiqxpx+2),2,1(riL=是不可约的,也即适合条件是不可约的,也即适合条件,042iiqpri,2,1L=复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 13其中其中全是实数,全是实数,是正整数.是正整数.=)(xfrskrrklslnqxpxqxpxcxcxa)()()()(2112111+LL,1scc L,1rpp Lrqq,1L,1sll Lrkk,1L并且并且iiqxpx+2是不可约的.是不可约的.证明证明设设是是f(x)的根的根,若若是实数是实数,则则)()()(1xfxxf=其中其中f1(x)是实系数多项式是实系数多项式.若若不是实数不是实数,则 也是则 也是f(x).的根的根且且于是于是).()()(2xfxxxf=显然显然+=xxxx)()(2实系实系数不可约的数不可约的.从从而而f2(x)是是实系实系数多项式数多项式,由由归纳法归纳法即得即得.复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解第一章第一章多项式多项式PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 141.每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根.每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根.2.复系数多项式因式分解定理.复系数多项式因式分解定理.小结小结3.复根总是成对出现.复根总是成对出现.第一章第一章多项式多项式复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解4.实系数多项式因式分解定理.实系数多项式因式分解定理.PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 15p46作业作业25.26.第一章第一章多项式多项式复实系数多项式因式分解复实系数多项式因式分解PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建
