(完整)2016.9.20初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案-推荐文档.pdf

第二章第二章 二次函数二次函数一、二次函数概念：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数0a bc，的定义域是全体实数2.二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：2yaxc上加下减。3.的性质：2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小yx0 x y值00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大yx0 x y值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小yx0 x y值c0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大yx0 x y值c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值04.的性质：2ya xhk三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk，保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得2ya xhk2yaxbxc到前者，即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，六、二次函数六、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，0a 向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值k0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值k当时，随的增大而减小；2bxa yx当时，随的增大而增大；2bxa yx当时，有最小值2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，0a 2bxa 2424bacbaa，2bxa 随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值yx2bxa yx2bxa y244acba七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x240bac解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大0a aa2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴）ab 3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元240bac x1200A xB x，12()xx12xx，二次方程的两根.200axbxca 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题一、选择题一、选择题1.二次函数的顶点坐标是()247yxxA.(2,11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2.把抛物线向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）22yx A.B.C.D.22(1)yx 22(1)yx 221yx 221yx 3.函数和2ykxk在(0)kykx同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:a,b 同号;2(0)yaxbxc a当和时,函数值相等;当时,的值只能取 0.其中正1x 3x 40ab2y x确的个数是()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbxc a图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（x20axbxc121.3xx和）.B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示，则点在（）2yaxbxc(,)ac bcA第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为（）222xxxA.0 个 B.1 个 C.2 个.3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA.B.22yxx22yxx C.或 D.或22yxx22yxx 22yxx 22yxx二、填空题二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。23yxbx2x b 10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当0 时，函数值随自变量的增大而xyx增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。12抛物线的顶点为 C，已知直线过点 C，则这条直线与两坐标轴所围22(2)6yx3ykx 成的三角形面积为 。13.二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 22241yxx22yxbxc个单位得到的,则 b=,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14).三、解答题：三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).30 xy52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值随 x 的增大而增大?y第 15 题图16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式（0t2），其2012hv tgt中重力加速度 g 以 10 米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交2yxbxc3yx点 A、B，此抛物线与轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.x（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使：5：4 的点 PAPCSACDS的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由二次函数应用题训练二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0 x30).（1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上.问矩形 DEFG 的最大面积是多少?FEBGDCA3、如图,ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?最大面积是多少?BQCPA4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.4 m(0,3.5)3.05 mx yO5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数对应练习试题参考答案二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、9 10-3 11如4b x等（答案不唯一）224,24yxyx 121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为,由2bxcyax题意可得解得 所以15,3,22abc 215322yxx(2)或-5 (2)1x 3x 16（1）由已知得，解211520102tt得当时不合题意，舍去。所以123,1tt3t 当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（2）由题意得，可知顶点的2520htt 25(2)20t横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹2t 点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17（1）直线与坐标轴的交点3yxA（3，0），B（0，3）则解得9303bcc 23bc 所以此抛物线解析式为（2）抛物线的顶点223yxxD（1，4），与轴的另一个交点 C（1，0）.设xP，则2(,23)a aa.化简得211(423):(4 4)5:422aa 2235aa当0 时，得223aa2235aa P（4，5）或 P（2，5）4,2aa 当0 时，即223aa2235aa，此方程无解综上所述，满足2220aa条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）32652baabcc 18（1）=60（吨）（2）5.71024026045，化简得：260(100)(457.5)10 xyx（3）23315240004yxx 24000315432xxy23(210)90754x 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元（4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额)5.71026045(xxW来说，23(160)192004x 当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大当x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元；而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元1732518000，当月利润最大时，月销售额 W 不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案二次函数应用题训练参考答案1、（1）0 x13，13x30；（2）59；（3）13.2、过 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=16cm.222012设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由ADGABC,故,即,故ANDGAMBC161624xDGDG=(16-x).32y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-3232(x-8)2+96,32从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形DEFG 的最大面积是 96cm2.3、设第 t 秒时,PBQ 的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm;又 BQ=2t.y=PBBQ=(6-t)2t=(6-t)1212t=-t2+6t=-(t-3)2+9,当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).5.3,0,2.0,5.15.105.3,5.3,022cbacbacab得抛物线的表达式为 y=0.2x2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m,h+2.05=0.2(2.5)2+3.5,h=0.2(m).5、解：(1)依题意得鸡场面积 y=.350312xx y=x2+x=(x250 x)3135031=(x25)2+,313625当 x=25 时，y最大=,3625即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为m2.3625(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.nx50y=x=x2+xnx50n1n50=(x250 x)=(x25)2+,n1n1n625当 x=25 时，y最大=,n625即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 m2.n625结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m.6、解：(1)y=2x2+180 x2800.(2)y=2x2+180 x2800=2(x290 x)2800=2(x45)2+1250.当 x=45 时，=1250.y最大每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元.