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理科数学试卷 A 型 第 1 页（共 5 页）2016 年普通高等学校招生全统一考试年普通高等学校招生全统一考试理科数学理科数学祝考试顺利第第卷卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合，则0342xxxA032xxBBA（A）（，）（B）（，）（C）（，）（D）（，）323323123233（2）设，其中,是实数，则yixi1)1(xy yix（A）1 （B）（C）（D）223（3）已知等差数列前 9 项的和为 27，则 na810a100a（A）100 （B）99 （C）98 （D）97（4）某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A）（B）（C）（D）31213243（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则的取值范围132222nmynmxm是 （A）（，）（B）（，）（C）（，）（D）131303（，）03（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是328（A）17 （B）18 （C）20 （D）28（7）函数在的图象大致为xexy2222，理科数学试卷 A 型 第 2 页（共 5 页）是否nyynxx,213622 yx输入nyx,输出yx,开始结束1 nnxxxxyyyyO-221O-221O-221-221O（A）（B）（C）（D）（8）若，则1 ba10 c（A）（B）ccba ccbaab（C）（D）cbcaabloglogccbaloglog（9）执行右图的程序框图，如果输入的,，则输0 x1y1n出的值满足yx,（A）（B）（C）（D）xy2xy3xy4xy5（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点，交的准线于,两点已CCA BCDE知，则的焦点到准线的距离为24AB52DEC（A）2 （B）4 （C）6 （D）8（11）平面过正方体的顶点，平面，平面，1111DCBAABCD A11DCBmABCD 平面，则所成角的正弦值为nAABB11nm,（A）（B）（C）（D）23223331（12）已知函数，为的零点，为图)sin()(xxf)2,0(4x)(xf4x)(xfy 象的对称轴，且在单调，则的最大值为)(xf)365,18(（A）11 （B）9 （C）7 （D）5第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分。第本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(13)(21)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(22)(24)(24)题题为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。理科数学试卷 A 型 第 3 页（共 5 页）FEABCD9 91 10 01 11 18 8频频数数更更换换的的易易损损零零件件数数4020O（13）设向量，且，则 )1,(ma)2,1(b222babam（14）的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）5)2(xx 3x（15）设等比数列满足，则的最大值为 na1031 aa542 aanaaa21（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg，用 3 个工时.生产一件 A 产品的利润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）的内角的对边分别为，已知.ABCCBA,cba,cAbBaC)coscos(cos2（）求；C（）若，的面积为.求的周长.7cABC233ABC（18）（本小题满分 12 分）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，FEDCBA,ABEFFDAF2，且二面角与二面角90AFDEAFD都是 60.FBEC（）证明：平面平面；ABEFEFDC（）求二面角的余弦值.ABCE（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：理科数学试卷 A 型 第 4 页（共 5 页）以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的频率，记表X示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.n（）求的分布列；X（）若要求，确定的最小值；5.0）（nXPn（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用19n20n哪个？（20）（本小题满分 12 分）设圆的圆心为，直线 过点且与轴不重合，交圆于015222xyxAl)0,1(BxlA两点，过作的平行线交于点.DC,BACADE（）证明为定值，并写出点的轨迹方程；EBEA E（）设点的轨迹为曲线，直线 交于两点，过且与 垂直的直线与圆交于E1Cl1CNM,BlA两点，求四边形面积的取值范围.QP,MPNQ（21）（本小题满分 12 分）已知函数有两个零点.2)1()2()(xaexxfx（）求的取值范围；a（）设是的两个零点，证明：.21,xx)(xf221 xx请考生在第（请考生在第（2222）、（2323）、（2424）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.OAB120AOBOOA21（）证明：直线与相切；ABO（）点在上，且四点共圆，证明：DC,ODCBA,CBAOD理科数学试卷 A 型 第 5 页（共 5 页）.CDAB（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，).在以坐标原xOy1C,sin1,costaytaxt0a点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.x2Ccos4（）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；1C1C（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点3C002tan01C2C都在上，求.3Ca（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数.321)(xxxf（）在答题卡第（24）题图中画出的图像；)(xfy（）求不等式的解集.1)(xfxy11o理科数学试卷 A 型 第 6 页（共 5 页）2016 年全国卷年全国卷高考数学（理科）答案与解析高考数学（理科）答案与解析一、选择题一、选择题【答案】（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B（11）A （12）B【解析】（1），310342xxxxxA23032xxxxB323xxBA（2）即，解得：，yixi1)1(yixix1yxx111yx222yxyix（3），2792292)(955919aaaaS35a810a1510510aad989010100daa（4）如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，理科数学试卷 A 型 第 7 页（共 5 页）根据几何概型，所求概率21401010p（5）表示双曲线，则，132222nmynmx0)3)(22nmnm223mnm22224)3()(42mnmnmcc解得，12m31n（6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图，表面积是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，172413248722S（7），排除 A；，排除 B；08.288)2(22ef17.288)2(22ef时，当时，0 xxexxf22)(xexxf4)()41,0(x在单调递减，排除 C；0441)(0exf)(xf)41,0(故选 D（8）对 A：由于，函数在上单调递增，因此，A 错误；01ccyxR1ccabab 对 B：由于，函数在上单调递减，110c 1cyx1,，B 错误111ccccababbaab 对 C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需logbaclogabclnlnacblnlnbcalnlncbblnlncaa和lnbblnaa构造函数，则，在上单调递增，因此 ln1f xxx x ln110fxx f x1,110lnln0lnlnf af baabbaabb又由得，C 正确01cln0c lnlnlogloglnlnabccbcacaabb对 D：要比较和，只需比较和logaclogbclnlncalnlncb理科数学试卷 A 型 第 8 页（共 5 页）而函数在上单调递增，故lnyx1,111lnln0lnlnababab 又由得，D 错误01cln0c lnlnlogloglnlnabccccab故选 C【2用特殊值法，令得，排除 A；，排除 B；21,2,3cba21212321213223，C 正确；，排除 D；选 C】2log221log33221log21log23（9）如下表：输出，23x，满足，故选 C6y 4yx（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：22ypx0p 222xyr设，0,2 2A x,52pD点在抛物线上，0,2 2A x22ypx082px点在圆上，,52pD222xyr2252pr点在圆上，0,2 2A x222xyr2208xr循环节运行次数12nx xxy yny判断2236xy是否输出1n nn运行前01/1第一次01否否2第二次122否否3第三次326是是F理科数学试卷 A 型 第 9 页（共 5 页）联立解得：，焦点到准线的距离为4p 4p 2【如图，设抛物线方程为，圆的半径为 r,22ypx交轴于点，则，即点纵,AB DEx,C F2 2AC A坐标为，则点横坐标为，即，由勾2 2A4p4OCp股定理知，2222DFOFDOr，即2222ACOCAOr，解得，即的22224(5)()(2 2)()2pp4p C焦点到准线的距离为 4】（11）如图所示：，若设平面平面，则11CB D平面11CB D 1ABCDm1mm又平面平面，结合平面平面ABCD1111ABC D11B DC 111111ABC DB D，故111B Dm11B Dm同理可得：1CDn故、的所成角的大小与、所成角的大mn11B D1CD小相等，即的大小11CD B而（均为面对交线），因此1111BCB DCD，即113CD B113sin2CD BAA1BB1DCC1D1理科数学试卷 A 型 第 10 页（共 5 页）（12）由题意知：则，其中12+4+42kk 21kkZ在单调，()f x 5,18 365,123618122T接下来用排除法若，此时，在递增，在递减，不11,4()sin 114f xx()f x 3,18 443 5,44 36满足在单调；()f x 5,18 36若，此时，满足在单调递减9,4()sin 94f xx()f x 5,18 36二、填空题二、填空题【答案】（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000【解析】（13）由已知得,，)3,1(mba2222222222113)1(mmbaba解得2m理科数学试卷 A 型 第 11 页（共 5 页）2得，解得222bababa0211m2m（14）的展开式的通项为(，1，2，5)，令5(2)xx555255C(2)()2Crrrrrrxxx0r 得，所以的系数是532r4r 3x452C10（15）设等比数列的公比为，解得，na)0(qq5105103112114231qaqaqaaaaaa2181qa故，当421nna4492721)7(214)2()3(212212121nnnnnaaa）（时，取得最大值43或nnaaa216426（16）设生产 A 产品件，B 产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造xy线性规则约束为*1.50.51500.3905360000 xyxyxyxyxNyN目标函数2100900zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在处取得最大值，(60,100)210060900 100216000z 三、解答题三、解答题理科数学试卷 A 型 第 12 页（共 5 页）（17）解：解：（I）由已知及正弦定理的，CABBACsin)cossincos(sincos2即，CBACsin)sin(cos2故，CCCsincossin2可得，21cosC3C（II）由已知，233sin21Cab又，3C6ab由已知及余弦定理得，7cos222Cabba故，从而，1322ba25)(2ba的周长为ABC75（18）解：解：（I）由已知可得 AFDF，AFFE，AF平面 EFDC又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC（II）过 D 作 DGEF，垂足为 G，由()知 DG平面ABEF，以 G 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，为单位长，|建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz由()知DFE 为二面角的平面角，故=60，则，可得，|=2，|=3(1,4,0)，(-3,4,0)，(-3,0,0)，(0,0,3)由已知，ABEF，AB平面 EFDC，又平面 ABCD平面 EFDC=CD，故 ABCD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，CEF=60，从而可得 C(-2,0,),3，=(1,0,3)，=(0,4,0)，=(-3,-4,3)，=(-4,0,0)设是平面 BCE 的法向量，则即,可取=(,)=0，=0，?x+3z=04y=0?理科数学试卷 A 型 第 13 页（共 5 页），=(3,0,3)设是平面 ABCD 的法向量，则同理可取，=0，=0，?=(0,3,4)则，故二面角 E-BC-A 的余弦值为.，=|=2 19192 1919（19）解：解：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X=16)=0.20.2=0.04，P(X=17)=20.20.4=0.16，P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24，P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24，P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2，P(X=21)=20.20.2=0.08，P(X=22)=0.20.2=0.04，所以 X 的分布列为（II）由()知P(X18)=0.44，P(X19)=0.68，故 n 的最小值为 19（III）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），当 n=19 时，EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040当 n=20 时，EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4080可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值，故应选 n=19（20）解：解：（I），EBAC，故EBD=ACD=ADC|=|，故|=|+|=|+|又圆 A 的标准方程为,从而，16)1(22yx|=4|+|=4由题设得 A(-1,0)，B(1,0)，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：|=2）（0 13422yyx（II）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为，）（0)1(kxky),(11yxM),(22yxNX16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04理科数学试卷 A 型 第 14 页（共 5 页）由，得134)1(22yxxky01248)34(2222kxkxk则，；3482221kkxx341242221kkxx34)1(12122212kkxxkMN过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：，A 到 m 的距离为，)1(1xky122k1344)12(4222222kkkPQ故四边形 MPNQ 的面积341112 212kPQMPS可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为)38 12(，当 l 与 x 轴垂直时，其方程为，四边形 MPNQ 的面积为 128,3,1PQMNx综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为），38 12（21）解：解：（I）)2)(1()1(2)1()(aexxaexxfxx（i）设，则，只有一个零点0axexxf)2()()(xf（ii）设，则当时，；当时，0a)1(，x0)(xf)1(，x0)(xf在单调递减，在单调递增)(xf)1(，)1(，又，取 b 满足且，则afef)2()1(，0b2lnab，0)23()1()2(2)(22bbabababf故存在两个零点)(xf（iii）设，由得或0a0)(xf1x)2ln(ax若，则，故当时，因此在2ea1)2ln(a)1(，x0)(xf)(xf单调递增又当时，不存在两个零点；)1(，1x0)(xf)(xf理科数学试卷 A 型 第 15 页（共 5 页）若，则，故当时，；当2ea1)2ln(a)2ln(1(ax，0)(xf时，因此在单调递减，在)2(ln(，ax0)(xf)(xf)2ln(1(a，单调递增又当时，不存在两点零点)2(ln(，a1x0)(xf)(xf综上，的取值范围为a)0(，（II）不妨设，由()知，在21xx)1(1，x)1(2，x)1(22，x)(xf单调递减，即)1(，)2()(22121xfxfxx0)2(2 xf，而，22222)1()2(2xaexxfx0)1()2()(22222xaexxfx22)2()2(2222xxexexxf设，则xxexxexg)2()(2)()1()(2xxeexxg当时，而，故当时1x0)(xg0)1(g1x0)(xg从而，故0)2()(22xfxg221 xx（22）解：解：（I）设 E 是 AB 的中点，连结 OEOA=OB，AOB=120，OEAB，AOE=60在 RtAOE 中，OE=AO，即 O 到直线 AB 的距离等于12O 的半径，AB 与O 相切（II）OA=2OD，O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心设是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OOO由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 O在线段 AB 的垂直平分线上，OOAB同理可证，OOCDABCD（23）解：解：（I）消去参数 得到的普通方程是以（0,1）为圆心，a 为半径的圆t1C222)1(ayx1C将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为sin cosyx，1C1C01sin222aEODCOBA理科数学试卷 A 型 第 16 页（共 5 页）（II）曲线的公共点的极坐标满足方程组，21,CCcos401sin222a若，由方程组得，由已知，可得001cossin8cos1622a2tan，从而，解得（舍去），0cossin8cos162012 a1a1a时，极点也为的公共点，在上1a21,CC3C1a（24）解：解：（I），的图像如图所示234231 231 4)(xxxxxxxf，)(xfy（II）由得表达式及图像，当)(xf时，可得或；1)(xf1x3x当时，可得或1)(xf31x；5x故的解集为；1)(xf31 xx的解集为1)(xf531xxx或丨的解集为1)(xf53131xxxx或或丨xy11o