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2017二次函数中的面积问题二次函数面积问题知识要点一求面积常用方法：1. 直接法(一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形,面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和(三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二 常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a0）抛物线与x轴两交点的距离AB=x1x2=抛物线顶点坐标（， )抛物线与y轴交点(0,c）“歪歪三角形中间砍一刀" ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. DBAOyxPCBAOyxBC铅垂高水平宽h a 图1基础习题1、若抛物线y=x2x+6与x轴交于A、B两点,则AB= ，此抛物线与y轴交于点C,则C点的坐标为 ，ABC的面积为 。2、若抛物线y=x2 + 4x的顶点是P,与X轴的两个交点是C、D两点，则PCD的面积是_。3、已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3,则= ，= 典型例题l 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A(1,0）、B（3，0），与轴交于点C,ACB=90°。（1)求二次函数的解析式;（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得PAB面积最大，求P坐标（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标（4) P为抛物线上一点，若使得，求P点坐标。l 同高情况下，面积比=底边之比2已知:如图,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于B、C,抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上,且，求点P的坐标3已知：m、n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m,0）、B(0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；(注：抛物线y=ax2+bx+c（a0)的顶点坐标为(3)P是线段OC上的一点,过点P作PHx轴，与抛物线交于H点,若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标l 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4阅读材料：如图,过ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h)”我们可以得出一种计算三角形面积的新方法:SABC=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；(2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点,连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB;（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使SPAB=SCAB法一:同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB,是否存在一点P，使SPAB=SCAB?若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由变式二:抛物线上是否存在一点P，使SPAB=SCAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明l 点动+面积5如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s,连接PQ,设运动的时间为t（单位:s)（0t4)解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分?若存在求出此时t的值；若不存在,请说明理由（3）如图2，把APQ沿AP翻折,得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由l 形动+面积6如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a0）与x轴、y轴分别交于点A（1，0）、B（3,0）、点C三点(1）试求抛物线的解析式；(2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上,连接BC、BD试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足PBC=DBC?如果存在，请求出点P点的坐标;如果不存在，请说明理由；(3）如图2，在(2）的条件下，将BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为BOC在平移过程中,BOC与BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？8