2016年全国高考文科数学(全国1卷word最强解析版).pdf

2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)1/172016 年全国文科数学试题年全国文科数学试题(全国卷全国卷 1）第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）1设集合，则1,3,5,7A|25BxxAB I（A）1,3 （B）3,5 （C）5,7 （D）1,7【答案】B【解析】试题分析：集合与集合公共元素有 3，5，故，选 B.AB5,3BAI考点：集合运算2设的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=(12i)(i)a（A）3 （B）2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：设，由已知，得，解得iaaiai)21(2)(21(aa212，选 A.3a考点：复数的概念3为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）（B）（C）（D）13121356【答案】A【解析】试题分析：将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为，选 A.31考点：古典概型4ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知，5a 2c 2cos3A 则 b=（A）（B）（C）2 （D）323【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选3222452bb3b31bD.考点：余弦定理5直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，14则该椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）13122334【答案】B【解析】试题分析：如图，由题意得在椭圆中，11OFc,OBb,OD2bb42在中，且，代入解得Rt OFB|OF|OB|BF|OD|222abc，所以椭圆得离心率得：，故选 B.22a4c1e2yxOBFD考点：椭圆的几何性质6若将函数 y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为614（A）y=2sin（2x+）（B）y=2sin（2x+）43（C）y=2sin（2x）（D）y=2sin（2x）43【答案】D【解析】试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右y2sin(2x)6y2sin(2x)6平移个周期即个单位，所得函数为，故144y2sin2(x)2sin(2x)463选 D.考点：三角函数图像的平移7如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是2832016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)3/17（A）17（B）18（C）20（D）28 【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则78R，解得，所以它的表面积是37428VR833R2，故选 A22734221784考点：三视图及球的表面积与体积8若 ab0，0c1，则（A）logaclogbc （B）logcalogcb （C）acbc （D）cacb【答案】B【解析】试题分析：对于选项 A：，而ab1gc1gclog c,log clgalgb0c1Q1gc0，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;ab0lgalgblga lgb、对于选项 B：,而，两边同乘以一个负数改cb1ga1gblog a,log clgclgclgalgb1lgc变不等号方向所以选项 B 正确;对于选项 C：利用在第一象限内是增函数即可得cyx到，所以 C 错误;对于选项 D：利用在上为减函数易得为错误.所以本ccabxycR题选 B.考点：指数函数与对数函数的性质9函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：函数 f（x）=2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图象关于轴对称，因为y，所以排除选项；当时，有22(2)8,081fee,A B0,2x4xyxe 一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增0 x0(0,)xx()f x0(,2)xx()f x函数故选 D10执行右面的程序框图，如果输入的n=1,则输出的值满足0,1,xy,x yn=n+1件 件件 件 x,yx2+y236件x=x+n-12件 y=ny件 件 x,y,n件 件（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：，0,1,2xyn第二次循环：，1,2,32xyn第三次循环：，此时满足条件，循环结束，3,6,32xyn2236xy，满足故选 C3,62xy4yx考点：程序框图与算法案例11平面过正文体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A,，11/CB D平面ABCDmI 平面，则 m，n 所成角的正弦值为11ABB AnI 平面2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)5/17（A）（B）（C）（D）32223313【答案】A【解析】试题分析：如图，设平面平面=，平面平面11CB DIABCDm11CB DI=，因为平面，所以，则所成的角等于11ABB A n/11CB D/,/mm nn,m n所成的角.延长，过作，连接，则为，同理,m nAD1D11/D EBC11,CE B DCEm为，而，则所成的角即为所成的角，即11B F n111/,/BDCE B FAB,m n1,AB BD为，故所成角的正弦值为，选 A.60,m n32考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.12若函数在单调递增，则 a 的取值范围是1()sin2sin3f xx-xax,（A）（B）（C）（D）1,111,31 1,3 311,3【答案】C【解析】试题分析：对恒成立，21cos2cos03fxxax xR故，即恒成立，2212cos1cos03xax245coscos033axx即对恒成立，构造，开口向下的二245033tat1,1t 24533f ttat 次函数的最小值的可能值为端点值，f t故只需保证，解得故选 C 11031103ftft1133a 考点：三角变换及导数的应用2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)7/17第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）二、填空题（题型注释）13设向量 a=（x，x+1），b=（1，2），且 a b，则 x=.【答案】23【解析】试题分析：由题意，20,2(1)0,.3a bxxx r r考点：向量的数量积及坐标运算14已知 是第四象限角，且 sin（+）=，则 tan（）=.4354【答案】34【解析】试题分析：由题意，得.43cos(),tan()tan()tan().4544244 2a 正方体的对角线等于其外接球的直径，2R所以，故选 A.22232 3,=4=12RaSR球面考点：三角变换15设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若，则圆 C的面积为 .【答案】3【解析】试题分析：圆，即，圆心为22:220C xyay222:()2C xyaa，由到直线的距离为，所以由(0,)Ca|2 3,ABC2yxa|02|2aa得所以圆的面积为.2222 3|02|()()222aaa21,a 2(2)3a考点：直线与圆16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元 .【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品、产品分别为、件，利润之和为元，那么ABxyz 1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy目标函数.2100900zxy二元一次不等式组等价于 3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 3作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域.将变形，得，平行直线，当直线2100900zxy73900zyx 73yx 经过点时，取得最大值.73900zyx Mz解方程组，得的坐标.10390053600 xyxyM(60,100)所以当，时，.60 x 100y max2100 60900 100216000z故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.AB216000考点：线性规划的应用评卷人得分三、解答题（题型注释）三、解答题（题型注释）17已知是公差为 3 的等差数列，数列满足 na nb2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)9/17，.12111=3nnnnbba bbnb1，（）求的通项公式；na（）求的前 n 项和.nb【答案】（）（）31nan131.22 3n【解析】试题分析：（）用等差数列通项公式求；（）求出通项，再利用等比数列求和公式来求。试题解析：（）由已知，得1 221121,1,3abbb bb得，所以数列是首项为 2，公差为 3 的等差数1 221121,1,3abbb bb12a na列，通项公式为.31nan（）由（）和，得，因此是首项为 1，公比为11nnnna bbnb13nnbb nb的等比数列.记的前项和为，则13 nbnnS111()313.122 313nnnS考点：等差数列与等比数列18如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.PABDCGE（）证明 G 是 AB 的中点；（）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF的体积【答案】（）见解析（）作图见解析，体积为43【解析】试题分析：证明由可得是的中点.（）在平面内，.ABPGPAPBGABPAB过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据 正三EPBPAFFEPAC棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形6PA 2,2 2.DEPE中，可得四面体的体积EFP2.EFPFPDEF1142 2 2.323 V试题解析：（）因为在平面内的正投影为，所以PABCD.ABPD因为在平面内的正投影为，所以DPABE.ABDE所以平面，故AB PED.ABPG又由已知可得，从而是的中点.PAPBGAB（）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面PABEPBPAFFE内的正投影.PAC理由如下：由已知可得，又,所以,因此PBPAPBPC/EFPBEFPC平面，即点为在平面内的正投影.EF PACFEPAC连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.CGPABCDDABC由（）知，是的中点，所以在上，故GABDCG2.3CDCG由题设可得平面，平面，所以，因此PCPABDEPAB/DEPC21,.33PEPG DEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 6PA2,2 2.DEPE在等腰直角三角形中，可得EFP2.EFPF所以四面体的体积PDEF1142 2 2.323 V考点：线面位置关系及几何体体积的结束19某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)11/17161718192021件 件件 件 件 件 件 件 件 件0610162024记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.n（）若=19，求 y 与 x 的函数解析式；n（）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于 0.5，求的最小值；nn（）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？【答案】（）（）19（）19)(,19,5700500,19,3800Nxxxxy【解析】试题分析：（）分 x19 及 x.19，分别求解析式；（）通过频率大小进行比较；（）分别求出您 9，n=20 的所需费用的平均数来确定。试题解析：（）当时，；当时，19x3800y19x，所以与的函数解析式为5700500)19(5003800 xxyyx.)(,19,5700500,19,3800Nxxxxy（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46，不大于 19 的概率为0.7，故的最小值为 19.n（）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.4050)104500904000(1001比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计20在直角坐标系中，直线 l:y=t（t0）交 y 轴于点 M，交抛物线 C：xOy于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.22(0)ypx p（）求；OHON（）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】（）2（）没有【解析】试题分析：先确定，的方程为，代入整理得),(2tptNONxtpy pxy22，解得，因此，所以为的中点，0222xtpx01xptx222)2,2(2tptHNOH即.（）2|ONOH直线的方程为，与联立得，解得MHxtpty2pxy2204422ttyy，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有tyy221MHCHMHC其它公共点.试题解析：（）由已知得，.),0(tM),2(2tptP又为关于点的对称点，故，的方程为，代入NMP),(2tptNONxtpy 整理得，解得，因此.pxy220222xtpx01xptx222)2,2(2tptH所以为的中点，即.NOH2|ONOH（）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：MHCH直线的方程为，即.代入得MHxtpty2)(2typtxpxy22，解得，即直线与只有一个公共点，所以除04422ttyytyy221MHC以外直线与没有其它公共点.HMHC考点：直线与抛物线21已知函数.（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围.a【答案】（）见解析（）0,【解析】试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定，主要要根据导函数零点来分类；2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)13/17（）借组第一问的结论来，通过分类判断得 a 的取值范围为.0,试题解析：（）12112.xxfxxea xxea（i）设，则当时，；当时，.0a,1x 0fx 1,x 0fx 所以在单调递减，在单调递增.,11,（ii）设，由得 x=1 或 x=ln（-2a）.0a 0fx 若，则，所以在单调递增.2ea 1xfxxee f x,若，则 ln（-2a）1,故当时，；2ea ,ln21,xa U 0fx 当时，所以在单调递增，ln2,1xa 0fx f x,ln2,1,a在单调递减.ln2,1a若，则，故当时，2ea 21lna,1ln2,xa U 0fx 当时，所以在单调递增，1,ln2xa 0fx f x,1,ln2,a在单调递减.1,ln2a（）（i）设，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.0a f x,11,又，取 b 满足 b0 且，12fefa，ln22ba则，所以有两个零点.23321022af bba ba bb f x（ii）设 a=0，则所以有一个零点.2xf xxe f x（iii）设 a0，若，则由（I）知，在单调递增.2ea f x1,又当时，0，故不存在两个零点；若，则由（I）知，1x f x f x2ea 在单调递减，在单调递增.又当时0，f x1,ln2aln2,a1x f x故不存在两个零点.f x综上，a 的取值范围为.0,考点：函数单调性，导数应用22选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，OA 为半径作圆.12（）证明：直线 AB 与O 相切；e（）点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.【答案】（）见解析（）见解析【解析】试题分析：（）设是的中点，证明；（）设是EAB60AOEO四点所在圆的圆心，作直线，证明，由此可,A B C DOOOOABOOCD证明/ABCD试题解析：（）设是的中点，连结，EABOE因为，所以，,120OAOBAOBOEAB60AOE在中，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线Rt AOE12OEAOOABO与相切ABOEODCOBA（）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是2OAODO,A B C DO四点所在圆的圆心，作直线,A B C DOO由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以OABOABOOAB同理可证，所以OOCD/ABCD考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明23选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）在cos1sinxatyat 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=.4cos（）说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（）直线 C3的极坐标方程为，其中满足 tan=2，若曲线 C1与 C2的公共000点都在 C3上，求 a2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)15/17【答案】（）圆，（）1222 sin10a【解析】试题分析：（）把化为直角坐标方程，在化为极坐标方程；（）cos1sinxatyat：，：，相减为由此可得2C2224xy3C2yx1C2C3C1a 试题解析：（）（均为参数）cos1sinxatyat t 2221xya为以为圆心，为半径的圆方程为1C01，a222210 xyya 222sinxyy，即为的极坐标方程222 sin10a 1C（）24cosC：两边同乘得22224 coscosxyxQ，224xyx即 2224xy：化为普通方程为3C2yx由题意：和的公共方程所在直线即为1C2C3C得：，即为24210 xya 3C210a1a 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用24选修 45：不等式选讲已知函数.123f xxx（）在图中画出的图像；yf x（）求不等式的解集 1f x【答案】（）见解析（）11353 UU，【解析】试题分析：（）化为分段函数作图；（）用零点分区间法求解试题解析：（）如图所示：（）4133212342xxf xxxxx ，1f x当，解得或1x41x 5x 3x 1x当，解得或312x 321x 1x 13x 或113x 312x2016 年全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版)17/17当，解得或32x41x5x 3x 或332x 5x 综上，或或13x 13x5x，解集为 1f x 11353 UU，考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法