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太原志成学校 艺术类理科数学讲义-1-第一讲第一讲 数列定义及其性质数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：；2、前项和：nannS3、关系：1(2)nnnaSSn二、性质：1、单调性：增数列：；减数列：；常数列：1nnaa1nnaa1nnaa2、最值：77878789+(0)0,00,=0,0,nnaSaaSSSaaa最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前项积有最大值：nnT三、几种常见数列：1、-1,7,-13,192、7,77,777,3、1 3 52 4 8，4、161149，5、2468,3 15 35 63，随堂训练：太原志成学校 艺术类理科数学讲义-2-1、已知数列通项公式是，那么这个数列是（）na231nnanA.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列满足，那么这个数列是（）na10a 112nnaaA.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列通项公式是，若对任意，都有成立，则na22nankn*nN1nnaa实数的取值范围是（）k4、已知数列通项公式是是数列的前项积，即，na10,21nnnaTnnan123nnTa a aa当取到最大值是，n 的值为（）nT5、设数列的前项和，则的值是（）nan2nSn8a太原志成学校 艺术类理科数学讲义-3等差数列专题等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1 1等差数列的定义等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2 2等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d(nm)dp.3 3等差中项等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A.xy24 4等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN N*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；nd2 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5 5等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，na1an2则其前n项和公式为Snna1d.nn126 6等差数列的前等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系Snn2n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)d2(a1d2)太原志成学校 艺术类理科数学讲义-47 7最值问题最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn.na1an2两个技巧两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2 的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1anan2(n3，nN N*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列基础训练：（公式的运用，定义的把握）基础训练：（公式的运用，定义的把握）1已知等差数列an中，a3=9，a9=3，则公差 d 的值为（）AB1CD12已知数列an的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（）A以 7 为首项，公差为 2 的等差数列B以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C以 5 为首项，公差为 2 的等差数列D不是等差数列3在等差数列an中，a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）太原志成学校 艺术类理科数学讲义-5A23B24C25D264两个数 1 与 5 的等差中项是（）A1B3C2D5（2005黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考点考点 1:1:等差数列的通项与前等差数列的通项与前 n n 项和项和题型题型 1 1：已知等差数列的某些项，求某项：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例例 1】1】已知为等差数列，20,86015aa，则75a na对应练习对应练习：1、已知为等差数列，qapanm,（knm,互不相等），求ka.na2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型题型 2 2：已知前：已知前n项和项和nS及其某项，求项数及其某项，求项数.太原志成学校 艺术类理科数学讲义-6【解题思路解题思路】利用等差数列的通项公式dnaan)1(1求出1a及d，代入nS可求项数n；利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出naa 1，代入nS可求项数n.【例例 2】2】已知nS为等差数列的前n项和，63,6,994nSaa，求n na对应练习：对应练习：3、若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数n.4、已知nS为等差数列的前n项和，100,7,141nSaa，则n .na题型题型 3 3：求等差数列的前：求等差数列的前 n n 项和项和【解题思路解题思路】（1 1）利用nS求出na，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2 2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例例 3】3】已知nS为等差数列的前n项和，212nnSn.na（1）321aaa；求10321aaaa；求naaaa321.太原志成学校 艺术类理科数学讲义-7练习：对应练习：对应练习：5、已知nS为等差数列的前n项和，10,10010010SS，求110S.na考点考点 2 2 ：证明数列是等差数列：证明数列是等差数列【名师指引名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：daann1（Nn，d是常数）是等差数列；na2、中项法：212nnnaaa(Nn)是等差数列；na3、通项公式法：bknan（bk,是常数）是等差数列；na4、项和公式法：BnAnSn2（BA,是常数，0A）是等差数列.na【例例 4】4】已知nS为等差数列的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列 nb是等差数列.na太原志成学校 艺术类理科数学讲义-8对应练习：对应练习：6、设nS为数列的前n项和，)(NnpnaSnn，.21aa na（1）常数p的值；（2）证：数列 na是等差数列.考点考点 3 3 :等差数列的性质等差数列的性质【解题思路解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例例 5】5】1、已知nS为等差数列的前n项和，1006a，则11S ；na2、知nS为等差数列的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS .na对应练习：对应练习：7、含12 n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）.Ann12 .Bnn1 .Cnn1 .Dnn218.设nS、nT分别是等差数列、的前n项和，327nnTSnn，则55ba .na na 考点考点 4 4：等差数列与其它知识的综合等差数列与其它知识的综合【解题思路解题思路】1、利用na与nS的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出nT后，判断nT的单调性.【例例 6】6】已知nS为数列的前n项和，nnSn211212；数列 nb满足：113b，nannnbbb122，其前9项和为.1531 数列、nb的通项公式；na太原志成学校 艺术类理科数学讲义-9 设nT为数列 nc的前n项和，)12)(112(6nnnbac，求使不等式57kTn对Nn都成立的最大正整数k的值.课后练习：课后练习：1.(2010.(2010 广雅中学广雅中学)设数列 na是等差数列，且28a ，155a，nS是数列 na的前n项和，则A1011SS B1011SS C910SS D910SS2.在等差数列中，1205a，则8642aaaa .na3.数列中，492 nan，当数列的前n项和nS取得最小值时，n .na na4.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .na5.设数列 na中，112,1nnaaan，则通项na .太原志成学校 艺术类理科数学讲义-10对应练习：对应练习：9.已知nS为数列的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.na1数列的通项公式；na 数列中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？na若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由太原志成学校 艺术类理科数学讲义-11
