2016年高考全国卷一文科数学试题及答案.pdf

20162016 年普通高等学校招年普通高等学校招生全国统一考试生全国统一考试全国卷一文科数学全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的.（1）设集合，则（A）1,3 （B）3,5 （C）5,7 （D）1,7(2)设的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（A）3 （B）2 （C）2 （D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）（B）（C）（D）（4）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知，则 b=（A）（B）（C）2 （D）3（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的 l 距离为其短轴长的Error!，则该椭圆的离心率为 （A）（B）（C）（D）31213243（6）若将函数 y=2sin(2x+)的图像向右平移Error!个周期后，所得图像对应的函数为（A）y=2sin(2x+)（B）y=2sin(2x+)（C）y=2sin(2x)（D）y=2sin(2x)4343（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是328（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 （8）若 ab0，0c1，则（A）logaclogbc （B）logcalogcb （C）accb（9）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）（10）执行右面的程序框图，如果输入的n=1,则输出的值满足（A）（B）（C）（D）（11）平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，,，则 m，n 所成角的正弦值为（A）（B）（C）（D）（12）若函数在单调递增，则 a 的取值范围是（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分（13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=（14）已知 是第四象限角，且 sin(+)=，则 tan()=.（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若，则圆 C 的面积为 32AB（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）已知是公差为 3 的等差数列，数列满足，.（I）求的通项公式；（II）求的前 n 项和.18.（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若=19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于 0.5，求的最小值；（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系中，直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.（I）求；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.（21）（本小题满分 12 分）已知函数.2)1(2)(xaexxfx）（(I)讨论的单调性；)(xf(II)若有两个零点，求的取值范围.)(xf 请考生在请考生在 2224 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，OA 为半径作圆.21(I)证明：直线 AB 与O 相切；(II)点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）。在以坐标原点为极taytaxsin1cos点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为=0，其中 0满足 tan0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求a。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)1 的解集。20162016 年全国卷一文科数学参考答案年全国卷一文科数学参考答案第第卷卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.（1）B (2)A （3）C （4）D （5）B （6）D（7）A （8）B （9）D （10）C （11）A （12）C第第 IIII 卷卷二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分.（13）23 （14）43 （15）4 （16）216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（I）由已知，1 221121,1,3abbb bb得1 221121,1,3abbb bb得12a，所以数列 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为31nan.（II）由（I）和11nnnna bbnb，得13nnbb，因此 nb是首项为 1，公比为13的等比数列.记 nb的前n项和为nS，则111()313.122 313nnnS（18）（I）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE所以AB 平面PED，故.ABPG又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又/EFPB,所以EFPC,因此EF 平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3CDCG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以/DEPC，因此21,.33PEPG DEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE 在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF所以四面体PDEF的体积1142 2 2.323 V（19）（I）分 x19 及 x.19，分别求解析式；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出您9，n=20 的所需费用的平均数来确定。试题解析：（）当19x时，3800y；当19x时，5700500)19(5003800 xxy，所以y与x的函数解析式为)(,19,5700500,19,3800Nxxxxy.（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46，不大于 19 的概率为 0.7，故n的最小值为 19.（）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4050)104500904000(1001.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.（20）（）由已知得),0(tM，),2(2tptP.又N为M关于点P的对称点，故),(2tptN，ON的方程为xtpy，代入pxy22整理得0222xtpx，解得01x，ptx222，因此)2,2(2tptH.所以N为OH的中点，即2|ONOH.（）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为xtpty2，即)(2typtx.代入pxy22得04422ttyy，解得tyy221，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.（21）(I)12112.xxfxxea xxea(i)设0a，则当,1x 时，0fx；当1,x时，0fx.所以在,1单调递减，在1,单调递增.(ii)设0a，由 0fx 得 x=1 或 x=ln(-2a).若2ea ，则 1xfxxee，所以 f x在,单调递增.若2ea ，则 ln(-2a)1,故当,ln21,xa U时，0fx；当ln2,1xa时，0fx，所以 f x在,ln2,1,a单调递增，在ln2,1a单调递减.若2ea ，则21lna，故当,1ln2,xa U时，0fx，当1,ln2xa时，0fx，所以 f x在,1,ln2,a单调递增，在1,ln2a单调递减.(II)(i)设0a，则由(I)知，f x在,1单调递减，在1,单调递增.又 12fefa，取b满足b0 且ln22ba，则 23321022af bba ba bb，所以 f x有两个零点.(ii)设a=0，则 2xf xxe所以 f x有一个零点.(iii)设a0，若2ea ，则由(I)知，f x在1,单调递增.又当1x 时，f x0，故 f x不存在两个零点；若2ea ，则由(I)知，f x在1,ln2a单调递减，在ln2,a单调递增.又当1x 时 f x0，故 f x不存在两个零点.综上，a 的取值范围为0,.（22）（）设E是AB的中点，连结OE，因为,120OAOBAOB，所以OEAB，60AOE在Rt AOE中，12OEAO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与O相切EODCOBA（）因为2OAOD，所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心，设O是,A B C D四点所在圆的圆心，作直线OO由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB同理可证，OOCD所以/ABCD（23）cos1sinxatyat（t均为参数）2221xya1C为以01，为圆心，a为半径的圆方程为222210 xyya 222sinxyy，222 sin10a 即为1C的极坐标方程24cosC：两边同乘得22224 coscosxyxQ，224xyx即2224xy3C：化为普通方程为2yx由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C得：24210 xya，即为3C210a1a（24）如图所示：4133212342xxf xxxxx ，1f x当1x，41x，解得5x 或3x 1x当312x，321x，解得1x 或13x 113x 或312x当32x，41x，解得5x 或3x 332x 或5x 综上，13x 或13x或5x 1f x，解集为 11353 UU，