机械结构有限元分析---平面问题的三角形单元(二)整体分析.pdf
03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014机械结构有限元分析机械结构有限元分析平面问题三角形单元之平面问题三角形单元之整体分析整体分析主讲老师主讲老师：贺红林贺红林联系电话联系电话：13970884866Email:H03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.1 两个单元的结构两个单元的结构3.3 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质3.2 结构整体刚度矩阵构建结构整体刚度矩阵构建3.4 载荷列阵载荷列阵3.5 位移边界条件的处理位移边界条件的处理3.7 实例分析实例分析3.6 单元位移模式应满足的收敛条件单元位移模式应满足的收敛条件第第3章章 平面问题三角形单元平面问题三角形单元之整体分析之整体分析03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.1 两个单元的结构两个单元的结构一一、整体分析的目的整体分析的目的整体结构是将所有结构的所有单元通过结点连接起来整体结构是将所有结构的所有单元通过结点连接起来，形成形成整体离散结构以替代实际的连续体整体离散结构以替代实际的连续体。形成以结点位移为未知量的整体结构的限元代数方程形成以结点位移为未知量的整体结构的限元代数方程03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.1 两个单元的结构两个单元的结构二二、两个单元的整体结构方程两个单元的整体结构方程对于每个单元均有对于每个单元均有对于单元对于单元，由于结构为全位移约束由于结构为全位移约束，故有故有u1=0,v1=0,u2=0,v2=0eeeFK(1)330000TuvT=123(1)(1)(1)(1)TFFFFFFFF123(1)3xF(1)2xF(1)1xF(1)3yF(1)1yF(1)2yF03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014(1)(1)(1)111213(1)(1)(1)(1)212223(1)(1)(1)313233KKKKKKKKKK单元单元的刚度矩阵为的刚度矩阵为单元单元的平衡方程为的平衡方程为(1)(1)(1)(1)111213(1)(1)(1)(1)212223(1)(1)(1)(1)313233KKKKKK=KKKF FF FF F11223303 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014对于单元对于单元，有有(2)334400TuvuvT=341(2)(2)(2)(2)TFFFFFFFF341(2)(2)(1)333431(1)(2)(2)(2)434441(2)(2)(2)131411KKKKKKKKKK(2)(2)(1)(2)333431(2)(2)(2)(2)434441(2)(2)(2)(2)131411KKKKKK=KKKF FF FF F334411(2)1xF(2)4xF(2)3xF(2)3yF(2)4yF(2)1yF03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014四个节点所受外力如下四个节点所受外力如下，其中支反力未知其中支反力未知121200;100100R XR XR YR YFFFFFFFFFFFF1234采用隔离法将结点隔离并进行平衡分析采用隔离法将结点隔离并进行平衡分析，各结点所受外力各结点所受外力与相关单元给该结点的力之和为零与相关单元给该结点的力之和为零，即有即有(1)(2)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(2)(2)0 000FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF11111122223333334444x1234FF(2)4xF(2)4yF(2)3xF(1)3xF(2)3yF(1)3yF2R xF(1)2xF(1)2yF(1)1yF1R xF(1)1xF2R yF1R yF(2)1xF(2)1yF03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014(2)4xF(2)4yF(2)3xF(1)3xF(2)3yF(1)3yF2R xF(1)2xF(1)2yF(1)1yF1R xF(1)1xF2R yF1R yF(2)1xF(2)1yF03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)111213131411(2)(1)(1)(1)212223(1)(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)313233333431(2)KKKKKKKKKKKKKKKFFFFFFFFFFF FFFFFF FF F111123341221233123343344(2)(2)(1)434441(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(1)212223(1)(2)(1)(1)(2)(2)313132333334(2)(2)(1)434441KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK134112341231234341(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(1)212223(1)(2)(1)(1)(2)(2)313132333334(1)(2)(2)414344 KKKKKKKKKKKKKKKKKKF FF FKKF FF F11223344K-总刚度矩阵总刚度矩阵K03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014(1)(2)(2)333334(2)(2)4344KKKKKF FF F3344注意到注意到：F1、F2未知未知,而而F3、F4已知且已知且 1 1、2 2为零为零，则上面方则上面方程可简化为程可简化为总刚阵是通过结点平衡方法构造的总刚阵是通过结点平衡方法构造的。总刚阵中每个子块总刚阵中每个子块，都是由所有单元刚度矩阵中相关子块按都是由所有单元刚度矩阵中相关子块按其结点号下标求和得到其结点号下标求和得到。将各总刚子块按相同点号下标叠加就会得到总刚阵将各总刚子块按相同点号下标叠加就会得到总刚阵。(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(1)212223(1)(2)(1)(1)(2)(2)313132333334(1)(2)(2)41434400KKKKKKKKKKKKKKKKKKF FF FKKF FF F1122334403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.2 结构整体刚度矩阵构建结构整体刚度矩阵构建一一、整体刚度矩阵构建整体刚度矩阵构建设所研究的结构离散为设所研究的结构离散为NE个个单元单元，且且有有NJ个个结点结点。一个结点通常会出现在多个单元上一个结点通常会出现在多个单元上，称称这些单元为这些单元为相关单元相关单元。结点结点i的相关单元的相关单元现用隔离法研究结点的静力平衡现用隔离法研究结点的静力平衡。结点受两类力结点受两类力：一类为外力一类为外力，即即作用在作用在i点点的集中力的集中力及根据相关单元分布外力移置得到结及根据相关单元分布外力移置得到结点的等效力点的等效力。TiixiyFFF另一类为内力另一类为内力相关单元作用在相关单元作用在i上的力上的力（这些力是单元这些力是单元在在i处所受的处所受的结点力的反力结点力的反力），），如单元如单元e给给i的作用力为的作用力为：TJiJixJiyFF F03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014由由i点受力平衡可知点受力平衡可知上式含义上式含义：任何任何结点所受外力结点所受外力，必等于该结点给所有相关单必等于该结点给所有相关单元的结点力之和元的结点力之和。0 JiJieeiieieFF的相关单元的相关单元iFF=由于由于非相关单元不会给非相关单元不会给i点作用力点作用力，故上式可以扩充为对所有故上式可以扩充为对所有单元求和单元求和。JieeFiF=相关单元结点力之和相关单元结点力之和。结点力的外力结点力的外力每个单元的每个单元的，可用该单元可用该单元3个结点位移线性组合表示个结点位移线性组合表示JieF表示针对所有单元中结点表示针对所有单元中结点i的结点力进行求和计算的结点力进行求和计算，可表示为所有结点的位移的线性组合可表示为所有结点的位移的线性组合，而结点位移则按结点而结点位移则按结点序号排列序号排列。JieeF03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014若结构中有若结构中有NJ个结点个结点，则可建立则可建立2NJ个方程个方程。若将若将2NJ个方个方程按结点号排列起来程按结点号排列起来，并将作为未知量的并将作为未知量的2NJ 个位移也按结点号个位移也按结点号排列排列，则能得到则能得到2NJ线性代数方程组线性代数方程组0 JiJieeiieieFF的相关单元的相关单元iFF=对于平面问题对于平面问题，每个结点都有两个平衡方程每个结点都有两个平衡方程，如上式如上式。222121NJNJNJNJ FKK结构有限元方程结构有限元方程121122 TxyxyNJxNJyNJFFFFFFFFFF121122 TxyxyNJxNJyNJ 结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014平衡方程中平衡方程中，系数阵是系数阵是2NJ*2NJ方阵方阵，可按点号写成可按点号写成NJ*NJ个子块的组合个子块的组合。11121,1,2122,1,2,1,2,jNJiii ji NJNJNJNJ jNJ NJKKKKKKKKKKKKKKK=K=ei,ji,jKKe e=子块子块Kij是与是与i，j相关的子块叠加而成的相关的子块叠加而成的，即即03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.3 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质一一、K是对称阵是对称阵设所研究的结构离散为设所研究的结构离散为NE个个单元单元，且有且有NJ个个结点结点。KijKji（i,j=1,2,2NJ）启示启示：在计算机程序中只需存储矩阵上三角或下三角部分在计算机程序中只需存储矩阵上三角或下三角部分。二二、K是稀疏阵是稀疏阵总刚阵中大部分元素为总刚阵中大部分元素为0。这里由于一个结点的相关单元远这里由于一个结点的相关单元远少于结点总数少于结点总数，而而非相关结点对该结点的刚度非相关结点对该结点的刚度是是没有贡献没有贡献的的，故相应的刚度系数为故相应的刚度系数为0.有限元网络划分越细有限元网络划分越细，总刚矩阵的稀疏特点越突出总刚矩阵的稀疏特点越突出，在选择在选择方程组解法时要注意此点方程组解法时要注意此点。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014三三、K中非零元素呈带状分布中非零元素呈带状分布结点号规律排列时结点号规律排列时，总刚矩阵中所有非零元素均在以对角总刚矩阵中所有非零元素均在以对角线为中心的一个带状区域内线为中心的一个带状区域内。超过该区域的其它元素均为超过该区域的其它元素均为0。该该带状区宽度称为半带宽带状区宽度称为半带宽d。启示启示：计算机程序中计算机程序中，可采用半带存储式可采用半带存储式，将将K中的非零中的非零元素存放在元素存放在2NJ*d的矩阵中的矩阵中。0000000000000000Kdd21max Dd所有点的相关结所有点的相关结点的最大点号差点的最大点号差。当节点数当节点数NJ远大于远大于Dmax时时，带状带状分布特性越明显分布特性越明显。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014三三、K是奇异阵是奇异阵K不是满秩矩阵不是满秩矩阵，故不能求得逆阵故不能求得逆阵。此意味着此意味着，即使给出所即使给出所有结点力也不能求出位移有结点力也不能求出位移。主要原因是主要原因是：整个物体可以在无约整个物体可以在无约束下作刚体运动束下作刚体运动，即位移是不确定的即位移是不确定的。因此因此，在对方程组求解前在对方程组求解前，应根据结构的约束条件应根据结构的约束条件，对总对总刚矩阵进行一定的修改刚矩阵进行一定的修改。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.4 载荷列阵载荷列阵平衡方程中平衡方程中，F列阵的列阵的Fi子块是结点子块是结点i所受的全部外力所受的全部外力，既包既包括直接作用到结点的集中力括直接作用到结点的集中力Fci，也包括作用到也包括作用到i点相关单元的分点相关单元的分布力等效移置到布力等效移置到i点的力点的力Fbi和和Fqi。222121NJNJNJNJ FKK TixyFFFicibiqieeFFFF若在若在i结点处有约束结点处有约束，在位移求解前在位移求解前，约束反力未知约束反力未知，因而因而Fi也未知的也未知的，现引入符号现引入符号iiRi已知FFF已知部分已知部分i点约束反力点约束反力当位移求解后当位移求解后，所有约束点均可算出约束反力所有约束点均可算出约束反力，因为此时有因为此时有221,1NJixisssKF22,1NJiyi sssKF已解出的位移列已解出的位移列向量中第向量中第s个值个值。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014例例：试写出图中结点的已知载荷试写出图中结点的已知载荷。221,1NJRixissixsFKF已知22,1NJRiyi ssiysFKF已知1 m1 m1 m1 m1 kPaq 解解：单元单元、的边界外法线单位矢量为的边界外法线单位矢量为2222Tn边界分布力集度边界分布力集度(1)(4)21 12Tqq ffn由由eTqijtdsFN f03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014335566(4)(4)3(4)(4)3(4)(4)(4)63(4)(4)6(4)(4)6101000002001010q xq yq xqyq xqyqFNFNFqtatdlFNFNF Ff112233(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)31(1)(1)3(1)(1)3101000002001010q xq yqxqyq xqyqFNFNFqtatdlFNFNF Ff03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014336(1)(4)123(4)561,0,210,2q xq xqxyyxxxqtaFFFqtaFFFqta FF考虑到考虑到6个位移约束可能存在反力个位移约束可能存在反力icibiqieeFFFF利用式利用式，通过计算整理通过计算整理，得到载荷列阵得到载荷列阵12T445611 0 2211 0 22R xR xR xR yR yR yFqtaqtaFqtaqtaFFFqtaFqtaF可见其中只有可见其中只有6个方程的右端项已知个方程的右端项已知，分别是分别是1 m1 m1 m1 m1 kPaq 03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.5 位移边界条件的处理位移边界条件的处理对于结点的平衡方程对于结点的平衡方程，在得到总刚矩阵后在得到总刚矩阵后，因因K是奇异的是奇异的。因此因此，即使即使 F 已知已知，也无法求出位移也无法求出位移。222121NJNJNJNJ FKK在以位移为待求变量问题中在以位移为待求变量问题中，不消除刚体位移就不能消除不消除刚体位移就不能消除总刚阵的奇异性总刚阵的奇异性。此外此外，许多问题不存在着实际位移边界许多问题不存在着实际位移边界，因因此消除位移约束的作用有两个此消除位移约束的作用有两个：消除结构刚体位移消除结构刚体位移，使平衡方程解唯一使平衡方程解唯一。即使原有问题是即使原有问题是完全的力边界完全的力边界（而没有位移约束约束而没有位移约束约束），），也也须人为施加不产生多余约束反力的位移约束须人为施加不产生多余约束反力的位移约束。一一、引入位移约束的意义引入位移约束的意义03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014尽可能尽可能真实反映有约束反力的位移约束真实反映有约束反力的位移约束，包括对称结构的对包括对称结构的对称面称面，反对称面上的位移约束反对称面上的位移约束。如果约束上一旦发生错误如果约束上一旦发生错误，计算结果往往不可信计算结果往往不可信。有限元分析中有限元分析中，引入位移约束的实质引入位移约束的实质就是修改平衡方程组就是修改平衡方程组。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014 222121NJNJNJNJ FKK二二、约束引入法约束引入法（1）对角元素改对角元素改1法法划行划列法划行划列法11121,1,21121222,2,222,1,2,22,12,22,2,222rNJrNJrrr rrNJrrNJNJNJ rNJNJNJNJKKKKFKKKKFKKKKFKKKKF设设第第r个自由度位移为个自由度位移为cr，且已知且已知，则上式第则上式第r方程应为方程应为rrc03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014即需将平衡方程组中即需将平衡方程组中第第r个方程个方程，直接更改为直接更改为为为做法做法：将总刚阵中将总刚阵中对应行的主元素改为对应行的主元素改为1,其它元素改其它元素改0，且将且将对应自由项改为对应自由项改为cr，此时其余方程左边的第此时其余方程左边的第r项均不均不含未知项均不均不含未知量量，将它们移动该式的自由项中将它们移动该式的自由项中，就得到如下引入第就得到如下引入第r自由度约束自由度约束条件的总刚阵条件的总刚阵1,2,2,111121,21221222,2222,12,22,220000100NJNJNJrrrrNjNJNJNJNJNrrrJrckFkkkFkkkFkkkckckcrrc03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014此法对于结点被支座约束的情况特别适合此法对于结点被支座约束的情况特别适合，此时该法归结为此时该法归结为：将被约束位移对应的主元素改为将被约束位移对应的主元素改为1，将对应行将对应行、列上其它元素改为列上其它元素改为0，将自由项中对应元素也改为将自由项中对应元素也改为0,形如形如11121,21121222,2222,12,22,22200100000NJNJNJNJNJNJrNJNJkkkFkkkFkkkF此法不难实现此法不难实现。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014（2）乘大数法乘大数法11121,1,21121222,2,222,1,2,22,12,22,2,222,rNJrNJrrrNJNJNJNJ rNJNJNJNJrr rr r rkkkkFkkkkFkkkkkkkFNkNk c先将总刚阵中与被约束位移分量对应主元素先将总刚阵中与被约束位移分量对应主元素kr,r，乘一个大乘一个大数数N（一般为一般为1081010）,改写成改写成N*kr,r；再将载荷端与被约束位再将载荷端与被约束位移分量对应的元素改为移分量对应的元素改为N*krr*cr，使平衡方程变为使平衡方程变为这里只改变了平衡方程中第这里只改变了平衡方程中第r个方程的写法个方程的写法，即即,1 1,22,2,2r rrrrrrNJNrJrNkNckkkk此法容易实现此法容易实现。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.6 单元位移模式应满足的收敛条件单元位移模式应满足的收敛条件evaribleeeeconstvarible一一、位移模式必须包含单元常应变状态位移模式必须包含单元常应变状态随各点位置不同而变化随各点位置不同而变化，保持常量保持常量，当单元逐步变当单元逐步变少时少时，单元内各点的应变趋于相等单元内各点的应变趋于相等，这时常量应变成为主要部这时常量应变成为主要部分分，因此位移模式应能反映这种常应变状态因此位移模式应能反映这种常应变状态。econst1232456512345635xyyuaa xa yaxxvaa xa yayyuvaa xa yaa xa yyxyxaa对于平面三角形单元对于平面三角形单元故满足此条件故满足此条件03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014二二、位移模式必须包含单元刚体位移位移模式必须包含单元刚体位移每个单元内各点的位移包含两部分每个单元内各点的位移包含两部分：本单元位移引起的本单元位移引起的位移位移+其它单元变形引起的位移其它单元变形引起的位移；后者属于单元的刚体位移后者属于单元的刚体位移。在结构的某些部位在结构的某些部位，单元的位移甚至主要取决于其它单元变形单元的位移甚至主要取决于其它单元变形而引起的刚体位移而引起的刚体位移。53135422aauayaavax刚体位移刚体位移应变分量应变分量 x=0,y=0,xy=0为为零时的位移零时的位移。对于三角形单元对于三角形单元，当当 x=0,y=0,xy=0为零时为零时，反映了刚体位移反映了刚体位移。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014三三、位移模式应尽可能反映位移的连续性位移模式应尽可能反映位移的连续性为保证弹性体受力变形后仍是连续体为保证弹性体受力变形后仍是连续体，要求所选位移模要求所选位移模式既能使单元内部位移连续式既能使单元内部位移连续，又能使相邻单元之间又能使相邻单元之间 的位移保的位移保持连续持连续单元之间不出现开裂和互相侵入现象单元之间不出现开裂和互相侵入现象。三角形单元能保证连续性三角形单元能保证连续性：简单的三角形单元的位移模式简单的三角形单元的位移模式是多项式是多项式，是单值连续函数是单值连续函数，可保证内部位移连续性可保证内部位移连续性。关于相关于相邻单元的连续性即要求公共边界具有相同的位移邻单元的连续性即要求公共边界具有相同的位移。由于位移模由于位移模式是线性函数式是线性函数，则变形后的边界仍然是连接则变形后的边界仍然是连接i和和j的直线的直线，不会不会出现开裂和侵入现象出现开裂和侵入现象。03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，201420143.7 实例分析实例分析03 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，2014201403 03 制作制作：南昌航空大学南昌航空大学贺红林贺红林，20142014
