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第 36 卷 第 12 期 电力系统保护与控制 Vol.36 No.12 2008年6月16日 Power System Protection and Control June 16,2008 基于傅立叶基函数神经网络算法的电力系统间谐波分析方法 宁薇薇1，裴 源2，刘立彦3，曾喆昭3（1.湖南省电力公司中心培训部，湖南 长沙 410131；2.湖南省电力勘测设计院，湖南 长沙 410007；3.长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南 长沙 410076）摘要：间谐波是非整数倍基波频率的谐波信号。间谐波除了具有一般谐波信号的特性外，还会影响谐波补偿装置，因此准确检测间谐波的参数对于电力系统具有十分重要的意义。提出了一种基于傅立叶基函数神经网络算法的电力系统谐波分析方法，研究了该谐波分析方法的收敛性。为了验证该算法的有效性，给出了利用该算法进行间谐波分析的仿真实例。仿真结果表明，文中提出的间谐波分析方法具有计算精度高、训练速度快的特点，因此在电力系统间谐波分析中具有较大的应用价值。关键词:神经网络；电力系统；谐波分析；间谐波 Inter-harmonic analysis approach in power system using neural network algorithm with Fourier basis functions NING Wei-wei1,PEI Yuan2,LIU Li-yan3,ZENG Zhe-zhao3 (1.Center Training Department,Hunan Electric Power Corporation,Changsha 410131,China;2.Hunan Electric Power Design Institute,Changsha 410007,China;3.College of Electrical&Information Engineering,Changsha University of Science&Technology,Changsha 410076,China)Abstract:Inter-harmonic is a kind of the harmonic which is not an integer of the fundamental frequency component.The inter-harmonic,same as the integer harmonic,has serious impacts on the design of harmonic compensation equipments,so it is important to analyze inter-harmonic accurately.An artificial neural network(ANN)algorithm based on the Fourier basis functions is presented in the paper by which the amplitudes and phase of harmonic and inter-harmonic could be obtained very fast.The convergence property of the algorithm is researched.In order to validate the algorithms validity,the simulation examples of inter-harmonic analysis are given.The simulation results show that the proposed inter-harmonic analysis method is very accurate and the training speed is very fast,so it could be applied to power system inter-harmonic measurement.This project is supported by National Natural Science Foundation of China(No.60375001).Key words:neural network;power system;harmonic analysis;inter harmonic 中图分类号：TM714 文献标识码：A 文章编号：1674-3415(2008)12-0012-050 引言 随着电力电子技术和器件的发展，非线性负荷在电力系统中的应用越来越广泛，电力系统谐波和间谐波（包括次谐波）污染日益严重，频率低于基波频率的间谐波（即次谐波）会引起光电闪变、低频继电器的异常运行以及无源电力滤波器过流跳闸等等。频率高于基波频率的间谐波对音频设备造成干扰，还可能引起感应电动机噪声和振动，因此间谐波现象正受到人们的日益重视。电力系统的间谐波测量方法通常采用快速傅立 基金项目：国家自然科学基金项目（60375001）叶变换（FFT）来实现15，然而电力系统的频率并非始终为额定工频，无法保证采样频率为实际工作频率的整数倍，因此存在栅栏效应和泄漏现象，导致计算出的信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差很大，无法满足间谐波测量的要求。文献69提出了用插值算法消除栅栏效应引起的误差，用加窗函数的方法消除频谱泄漏引起的误差，该算法具有较高的精度，但对各次间谐波的频率、幅值和相位都要进行单独校正，计算量比较大，无法满足实时监测电力系统间谐波的要求。文献10，11提出了基于Prony算法的谐波和间谐波分析，该方法可以准确地估计信号中各分量的振幅，频率和相位，但抗干扰性不强，噪声会对结果的精确度造成一定的影响。此外，奇异 宁薇薇，等 基于傅立叶基函数神经网络算法的电力系统间谐波分析方法 -13-值分解(SVD)12,小波变换(WT)13,14 也被用于分析电力系统间谐波，结果较精确，但是计算量大，硬件实现比较困难。本文提出了一种基于傅立叶基函数的神经网络算法，研究了算法的收敛性。利用该算法可获得高精度电力系统谐波与间谐波的幅值和相位，仿真计算表明，基于傅立叶基函数的神经网络算法的间谐波测量方法具有计算精度高、计算量小的特点，因此在电力系统的间谐波测量中有较大的应用价值。1 基于神经网络算法的电力系统间谐波分析 1.1 傅立叶基函数神经网络模型 一个具有各次谐波和间谐波的周期信号可表示为：01()sin(2)sin(2)NMnnnmmmnmy tAf tBf t=+(1)式中:nf为第n次谐波的频率；nA、n分别为第n次谐波的幅值及相位；N为最高次谐波的次数；mf为第m次间谐波的频率；mB、m分别为第m次间谐波的幅值及相位；M为最高次的间谐波。设采样周期为sT，则式（1）可离散化为：00s0s1ss1()sincos(j)cossin(j)sincos()cossin()NjjjjjMiiiiiiiy kAAkTAkTBkTBkT=+(2)式中:0为电力系统基波角频率，002f=，0f为工频频率；j为谐波次数；0A为直流分量；i为第i次间谐波的角频率；i为间谐波次数；k为采样点序列号；sT为采样周期。式（2）可进一步表示为：200s0s112ss11()cos()sin()cos()sinNNjjjj NMMiiii Mii My kwwjkTwjNkTwkTwkT=+=+=+(3)由式(3)可建立神经网络模型如图 1 所示。图 1 神经网络模型 Fig.1 The model of neural network 图1中：w为神经网络权值，c、c为基函数，即为隐层神经元激励函数。0s0ssscos()(0,1,)sin()(1,2,2)cos()(1,2,)sin()(1,2,2)jjiiii McjkTjNcjNkTjNNNckTiMckTiMMM=+=+(4)设权值矩阵为:T01212,NMw wwww=?W，激励矩阵为 T01020122,(),(),NMc ccc cc=?C，则有神经网络输出:22T01()NMjjiijiy kw cwc=+=W C (5)误差函数为 d()()()(0,1,1)e ky ky kkK=(6)式中:)(ky为第k个采样值，K为采样点数，设性能指标为：=102)(21KkkeJ (7)权值调整：由式（5）、（6）、（7）有：()()()()()()JJe ky ke kke ky k=WCWW(8)则(1)()()()kke kk+=+WWC (9)式中:为学习率，且10。若已知电力系统的工作频率，则可通过上述神经网络算法获得神经网络权值，从而获得电力系统间谐波的幅值和相位。1.2 傅立叶基函数神经网络收敛定理 定理 1定理 1 设为学习率，则当12220+MN时神经网络算法收敛，其中，隐层神经元个数为122+MN。证明证明：取Lyapunov函数为：)(21)(2kekV=，则有：)(21)1(21)(22kekekV+=(10)因为-14-电力系统保护与控制 T()(1)()()()e ke ke ke ke k+=+=+WW 而()()e ke k=WW，于是有：T2()()()()()()e ke ke ke ke ke k=WWW(11)其中:2221niix=X，称为Euclid范数的平方，T12,nx xx=?X。所以式（10）改写为：22222222111()()()()()()()222()1()()()()2()1()()2V ke ke keke ke ke ke ke ke ke ke ke ke kek=+=+=+WWWW（12)由式（12）知，要使神经网络收敛，必须有下式成立，即：221()02e k+，所以有:220()e kW (13)由式（5）、（6）可得：()()()()()e ke ky kky k=CWW 因此 222()()()e kkk=CCW 222201()()221NMjijic kc kNM=+(14)因而由式（13）、（14）可知 12220+MN 即当学习率满足12220+MN时，0)(kV，因而本文讨论的傅立叶基函数网络算法是收敛的。证毕。按照上述神经网络算法，通过神经网络训练即可获得神经网络权值向量W，而基波、谐波及间谐波的幅值和相位可根据最后得到的权值向量W并利用下述公式得到：基波幅值为：21211+=NwwA (15)基波相位为：)/arctan(111+=Nww (16)j次谐波幅值为：22jNjjwwA+=(17)j次谐波相位为：)/arctan(jNjjww+=(18)i次间谐波幅值为:22iMiiwwB+=(19)i次间谐波相位为:)/arctan(iMiiww+=(20)1.3 神经网络训练步骤 Step1.以采样周期sT对信号)(ty采样获得训练样本；随机产生权向量W，给定任意小正实数Tol，由定理 1 确定学习率12220+MN，令0=J；Step2.由式（5）计算神经网络的输出：22T01()NMjjiijiy kw cwc=+=W C；Step3.由式（6）、（7）分别计算误差与性能指标：d()()()e ky ky k=，=102)(21KkkeJ；Step4.由式（9）进行权值调整：(1)()()()kke kk+=+WWC；Step5.判断性能指标是否满足TolJ？，若满足，结束训练，否则返回 Step2 重复上述训练过程。2 仿真实例 为了验证本文提到神经网络算法的正确性，本文采用文献7,8使用的信号进行仿真分析。例 1 文献7使用的信号表达式为 9s1()cos(2)mmmmy kAf kT=+(21)式中:采样频率为 1900 Hz，采样点数为 1024 点，各次间谐波的幅值（为无单位数值）及相位如表 1 宁薇薇，等 基于傅立叶基函数神经网络算法的电力系统间谐波分析方法 -15-所示。表 1 文献7使用的信号包含的成分 Tab.1 Parameters of signal which is used in reference7 参数 频率 幅值 相位/(?)25 2.28 20 50 380 10 150 19 25 175 1.9 30 250 15.2 100 330 1.52 120 350 11.4 150 380 1.14 180 谐波和间谐波 450 7.6 210 首先用文献7的方法计算出电力系统的频率。由于最高谐波次数为 9 次，所以取神经网络拓扑结构为1191。设采样频率为 1900Hz，采样 1024个 点，给 定510=Tol；取 学 习 率：068.0192.11222.1=+=MN，随机产生权值，经过 2 次神经网络训练，得到性能指标为：-8102.6182=J，谐波和间谐波的幅值和相位如表 2 所示。表 2 用本文算法对文献7中的信号进行分析的结果 Tab.2 Analysis results of the signal which used in reference 7 with the papers algorithm 间谐波检测结果 幅值 相对误差()1310 相位/(?)相对误差()12102.2800 280.09 20.0000 465.94 1.9000-1726.2 30.0000 393.02 1.5200-38887 120.0000-397.68 1.1400 13200 180.0000-22.832 谐波检测结果 380.00 1.6455 10.0000-7.7272 19.000 138.56 25.0000-51.088 15.200-5.8433 100.0000-29.800 11.400-1103.1 150.0000 207.78 7.6000 319.04 210.0000 16.972 例 2 文献8使用的信号表达式为：7s1()cos(2)mmmmy kAf kT=+(22)式中的采样频率为 1250 Hz，采样点数为 1024 点，各次间谐波的幅值（为无单位数值）及相位如表 3所示。由于最高谐波次数为 7 次，所以取神经网络拓扑结构为1151，采样频率为 1250，采样 1024个 点，给 定510=Tol；给 出 学 习 率08.0152.11222.1=+=MN，经过 2 次神经网络训练，得到性能指标为：-22102.3344=J，谐波和间谐波的幅值和相位如表 4 所示。表 3 文献8使用的信号包含的成分 Tab.3 Parameters of signal which is used in reference 8 参数 频率 幅值 相位/(?)25 1.86 10.0 50 310 5.0 165 0.62 20.0 270 0.93 120.0 350 12.4 150.0 400 1.55 210.0 谐波和间谐波 450 15.5 260.0 表 4 用本文算法对文献8中的信号进行分析的结果 Tab.4 Analysis results of the signal which used in reference 8 with the papers algorithm 间谐波检测结果 幅值 相对误差()1310相位/(?)相对误差()12101.8599-271.03 10.0000 532.21 0.6200763.37 19.9999-440.45 0.9299-304.89 119.9999-440.45 谐波检测结果 310.004.0340 5.0000 9.4502 12.40029.940 149.9999-1.4211 1.5500184.23 209.9999-5.0482 15.50010.887 260.0000 1.0931 由以上仿真结果可见，本文提出的间谐波分析方法对各次谐波和间谐波的幅值和相位的计算精度高。例 1 分析结果与文献7采用加Rife-Vincent窗插值修正算法所得结果相比，幅值计算精度提高了七个数量级，相位精度提高了十个数量级。例 2 分析结果与文献8采用加 Hanning 窗的插值修正算法所得结果相比，幅值和相位计算精度分别提高了九个数量级和十个数量级。3 结论 由以上仿真结果可知，本文提出的基于傅立叶基神经网络算法的电力系统间谐波分析方法具有计算精度高，计算速度快的特点，与文献7和文献8相比，幅值计算精度分别提高了七个和十个数量级；相位精度分别提高了九个和十个数量级，因此，该算法在电力系统谐波与间谐波分析中具有较大的应用价值。当然，该方法还存在一定局限性，当基波和间谐波频率未知时，该方法无效。此外，此方法无法有效的消除噪声的影响，如何利用此方法在含有噪声的信号中检测出间谐波信号还需进一步研究。参考文献 1 王兆安，杨君，刘进军.谐波抑制和无功补偿M.北-16-电力系统保护与控制 京：机械工业出版社，1998.WANG Zhao-an,YANG Jun,LIU Jin-jun.Harmonics Elimination and Reactive Power CompensationM.Beijing:China Machine Press,1998.2 Chu R F,Burns J J,Impact of Cycloconverter HarmonicsJ.IEEE Trans on Industry Applications,1989,25(3):427-435.3 Rifai M R,Ortmeyer T H,McQuillan W J.Evaluation of Current Interharmonics From AC driversJ.IEEE Trans on Power Delivery,2000,15(3):1094-1098.4 林海雪.电力系统中的间谐波问题J.供用电,2001,18(3):6-9.LIN Hai-xue.Interharmonic in Electrical Power SystemJ.Power Supply and Utilization,2001,18(3):6-9.5 Gunther E W.Interharmonics in Electrical Power SystemA.In:IEEE Power 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源(1982-)，男，硕士研究生，主要从事电力系统分析;刘立彦(1983-)，男，硕士研究生，主要从事电能质量分析。继电器杂志更名为电力系统保护与控制 根据国家新闻出版总署文件（新出报刊2008647 号）关于同意继电器更名的批复，同意继电器更名为电力系统保护与控制，新编国内统一连续出版物号：CN411401/TM，办刊宗旨及业务范围调整为：关注科学发展，理论联系实际，面向应用，为科研生产一线服务，主要刊发涉及电力系统保护与控制专业领域的新技术、新成果及运行经验、技术改进、科学管理、技术规程、国外先进技术等方面的论文。欢迎从事电力科研、设计及设备研制企事业单位的专业技术人员，全国所有高校相关专业的师生，发电厂、变电站所、输配电系统及供电企业的专业技术人员，从事电力生产、建设及经营管理部门的相关人员积极投稿，继续关注和支持本刊的建设和发展，共同将电力系统保护与控制杂志办得越来越好！