数学分析教案21.doc
第二章 数列极限 §1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2°实例：战国时代哲学家庄周著庄子·天下篇引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺），或简记作数列：分析：1°、随n增大而减小，且无限接近于常数0；数形结合方法2°数轴上描点，将其形象表示： 10 -1将其一般化，即引出“数列极限”概念an无限接近常数a当n无限增大时二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。例如：， a=0；为什么强调存在N， a=3;， a不存在，数列不收敛；， a不存在，数列不收敛；2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当nN时”任给：无限接近将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给0例如对以3为极限，对=，要使=只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数，总存在某一自然数N，使得当nN时，都有则称数列收敛于a，a为它的极限。记作(或ana,(n)说明（1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明的具体方法（为什么？）思考0，N，当nN，有（3）上述定义中的双重性：0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式，可用2，2来代替 “”号也可用“”号来代替（为什么？） 思考 双重性（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于的自然数，有时记作N=N（）（这并非说明N是的函数， （为什么？）思考是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N（为什么？） 思考（5）如何用肯定的语气叙述：0，N，n。尽管n。N，但。这是用极限定义证明的具体方法（6）如何用肯定的语气叙述，数列发散：，0，N，no,尽管noN，但o。（7）的几何意义：或aN或ananaNaa+a-即a的任给邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列 中,所有下标大于N的an,都落在a的邻城内。.三、用极限定义证明 的例题例1.证明（K为正实数）证：由于所以0，取N=,当nN时,便有注：或写作：0，取N=，当nN时，有，例2. 证明分析，要使（为简化，限定n只要n证.,当n,有由定义适当予先限定nn。是允许的！但最后取N时要保证nn。例3证明=0，这里1证.若q=0,结果显然成立若01，令=0)由于所以，0，取N=N，有注：1°特别地写当q=时，此即为上述实例中的°贝努利不等式（h）n1+nh.3°由例2、例3看出，在由中求N时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“nn。”等方法。例4证明，其中a1证.令-1=，则0由贝努利不等式 =（1+）n1+n=1+n（）或0，取N=，当nN有 思考：这里取N=也可以，为什么？四、等价定义与无穷小数列定义 任给0，若在U（a;）之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。由定义 可知，若存在某00，使得数列中有无穷多个项落在U(a；0)之外，则一定不以a为极限。例5 证明和都是发散数列。分析 利用定义证 例6 设，作数列zn如下：zn：x1，y1，x2，y2，xn，yn，。证明 。分析 利用定义证 例7 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。分析 利用定义证 设为收敛数列，且=a。按定义，。现设发散，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾。所以当发散时也发散。在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2 若，则称为无穷小数列。前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：定理2. 1 数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列。五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：重 点 1°极限概念的“-N”叙述要熟练掌握，并注意理科，N的双重性。难 点 2°用极限定义证明极限时，关键是由任给的0通过反解不等式an-a求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。 3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。复习思考题、作业题：数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？1（1），2，3，4，6
