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铜的日期货（qcu）和现货（xcu）价格的协整关系分析【案例 file:6copper-dayly】上海金属网和上海期货交易所的铜的期货和现货价格的关系研究，选取 2001:6-2007:3间 1297 个铜的期货和现货价格观测值。qcu 表示铜的期货价格（千元），xcu 表示铜的现货价格（千元）。10203040506070809025050075010001250XCUQCU 102030405060708090102030405060708090QCUXCU 对铜的日期货（qcu）和现货（xcu）价格取对数，做序列图和散点图如下：不存在异方差，可以直接用 qcu 和 xcu 建 VAR。2.53.03.54.04.525050075010001250LOG(XCU)LOG(QCU)2.53.03.54.04.52.62.83.03.23.43.63.84.04.24.44.6LOG(XCU)LOG(QCU)VAR 模型估计的 EViews 操作：打开工作文件，点击 Quick 键,选 Estimate VAR 功能。作相应选项后（k=2），即可得到VAR 的表格式输出方式。在 VAR 模型估计结果窗口点击 View 选 representation 功能可得到 VAR 的代数式输出结果。VAR 模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在 VAR 模型中；确定滞后期 k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（2）VAR 模型对参数不施加零约束。（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。）（3）VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR 模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。（4）VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR 模型含有三个变量，最大滞后期 k=3，则有 k N 2=3 32=27 个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。（5）无约束 VAR 模型的应用之一是预测。由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。（6）用 VAR 模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。（7）VAR 模型中每一个变量都必须具有平稳性。如果是非平稳的，则必须具有协整关系。西姆斯（Sims）认为 VAR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入 VAR 模型。选择滞后期：在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structure,Lag Length Criteria 功能，k=8时，即可得到5个决定最优滞后期的评价统计量。应该建立VAR(8)模型：用VAR(8)模型进行预测：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框中选择static solution（静态解）。10203040506070809025050075010001250QCUQCU(Baseline)10203040506070809025050075010001250XCUXCU(Baseline)VAR 模型稳定的条件 1先回顾单方程情形。以 AR(2)过程 yt=1 y t-1+2 y t-2+ut 为例。改写为(1-1 L-2 L 2)yt=(L)yt=ut yt稳定的条件是(L)=(1-1 L-2 L 2)=0 的根必须在单位圆以外。2对于 VAR 模型，也用特征方程判别稳定性。以 Yt=c+1 Yt-1+ut为例，改写为 (I-1 L)Yt=c+ut 保持 VAR 模型稳定的条件是|I-1L|=0 的根都在单位圆以外。|I 1L|=0 称做相反的特征方程（reverse characteristic function）。（注意：ARIMA 模型中称特征方程）3VAR 模型稳定的另一种判别条件是，特征方程|1-I|=0 的根都在单位圆以内。特征方程|1-I|=0 的根就是 1的特征值。例：以二变量（N=2），k=1 的 VAR 模型 ttyy21=8/54/12/18/51,21,1ttyy+ttuu21|1-I|=008/54/12/18/5=8/54/12/18/5=0 即 (5/8-)2 1/8=(5/8-)2 2)8/1(=(0.978-)(0.271-)=0 得 1=0.9786,2=0.2714。1，2是特征方程|1-I|=0 的根，是参数矩阵 1的特征值。因为1=0.978,2=0.271，都小于 1，该 VAR 模型是稳定的。注意：对于k 1的k阶VAR模型可以通过附加伴随矩阵方程式的方法（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。求VAR模型特征根 在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure,AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure,AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。近单位根系统。平稳变量构成的一定是稳定（stability）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary）变量（存在协整关系）构成。脉冲响应函数 Xt+s=Ut+s+1Ut+s-1+2 Ut+s-2+s Ut+s=tstUX+把 s中第 i 行第 j 列元素看作是滞后期 s 的函数 tjstiuy+,s=1,2,3,VAR模型残差序列及其方差、协方差矩阵的求法。在VAR模型估计结果窗口点击View 选 residuals,Correlation Matrix/Covariance Matrix功能。脉冲响应的EViews操作（file:VAR01）直接点击VAR窗口中的Impulse键或者点击View 选Impulse功能。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。0.00.20.40.60.81.012345678910XCUQCUResponse of XCU to CholeskyOne S.D.Innovations.4.5.6.7.8.912345678910XCUQCUResponse of QCU to CholeskyOne S.D.Innovations 注意：因为系统非平稳，这样的脉冲响应图无意义。应分析差分变量的脉冲响应。-.2.0.2.4.6.82468101214D(XCU)D(QCU)Response of D(XCU)to CholeskyOne S.D.Innovations-.1.0.1.2.3.4.5.62468101214D(XCU)D(QCU)Response of D(QCU)to CholeskyOne S.D.Innovations 现货价格收益受到冲击时，13 天系统恢复。期货价格收益受到冲击时，14 天系统恢复。方差分解 1s-1s-11s-1s-11Var()(+.+)Var()(+.+)jtjjjjjjNjtjjjjjjjvv11=m mm mm mm mm mm m,j=1,2,N，表示正交化的第j个新息对前s期预测量t s t+Y方差的贡献百分比。方差分解的EViews操作（file:VAR01）点击VAR窗口中的View键，选Variance Decomposion功能。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。0204060801002468101214XCUQCUVariance Decomposition of XCU203040506070802468101214XCUQCUVariance Decomposition of QCU Granger 非因果性检验：（1）滞后期 k 的选取以 VAR 为依据。实际中是一个判断性问题。以 xt和 yt为例，如果xt-1对 yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。如果 xt-1对 yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。一般来说要试检验若干个不同滞后期 k 的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。（2）格兰杰非因果性。（3）通常总是把 xt-1 对 yt存在非因果关系表述为 xt（去掉下标-1）对 yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。（4）Granger 非因果性检验只在平稳变量之间进行。不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验。（5）格兰杰因果关系不是哲学概念上的因果关系。一则他表示的是 xt-1对 yt的影响。二则它只是说明 xt可以作为 yt变化的预测因子。Granger非因果性的EViews 4.1操作：打开数剧组窗口，点击 View 键，选 Granger Causility。选择滞后期为 5，20，点击 OK键。铜的期货和现货价格相互影响。VAR 模型与协整 如果 VAR 模型 Yt=1 Yt-1+2 Yt-1+k Yt-k+ut,ut IID(0,)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的 VAR 模型。Yt=1*Yt-1+2*Yt-2+k*Yt-k+ut*如果这些变量存在协整关系时，不是最好的选择。Yt=Yt-1+1 Yt-1+2 Yt-2+k-1 Yt-(k-1)+ut 根据 Granger 定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是 A(L)(1-L)Yt=Yt-1+d(L)ut Yt-1中有丰富的信息。Yt-1=Yt-1=rNNrNrr1221111NrrNrN111111,1,21,1NtNttyyy =rNNrNrr122111111,1,111,11,111.+rtNrNtrtNNtyyyy =11,1,111,11,11111,1,1111,11,11111).().().().(+NtNrNtrNrtNNtNtNrNtrrtNNtyyyyyyyy 迹统计量 LR=-T+=Nrilog1(1-i),r=0,1,N-1.不服从2分布。附表 1 VAR 模型协整检验临界值表（迹统计量）单位根个数 模型类型 N-r 0.10 0.05 0.01 1 2.86 3.84 6.51 模型（1）2 10.47 12.53 16.31 =0,=0 3 21.63 24.31 29.75 协整空间中无常数项、无趋势项。4 36.58 39.89 45.58 数据空间中无均值、无趋势项。5 55.44 59.46 66.52 6 78.36 82.49 90.45 7 104.77 109.99 119.80 8 135.24 141.20 152.32 9 169.45 175.77 187.31 10 206.05 212.67 226.40 11 248.45 255.27 269.81 1 7.52 9.24 12.97 模型（2）2 17.85 19.96 24.60 1 0,2=0,=0 3 32.00 34.91 41.07 协整空间中有常数项、无趋势项。4 49.65 53.12 60.16 数据空间中无均值、无趋势项。5 71.86 76.07 84.45 6 97.18 102.14 111.01 7 126.58 131.70 143.09 8 159.48 165.58 177.20 9 196.37 202.92 215.74 10 236.54 244.15 257.68 11 282.45 291.40 307.64 1 2.69 3.76 6.65 模型（3）2 13.33 15.41 20.04 1 0,2 0,=0 3 26.79 29.68 35.65 协整空间中有常数项、无趋势项。4 43.95 47.21 54.46 数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。5 64.84 68.52 76.07 6 89.48 94.15 103.18 7 118.50 124.24 133.57 8 150.53 156.00 168.36 9 186.39 192.89 204.95 10 225.85 233.13 247.18 11 269.96 277.71 293.44 1 10.49 12.25 16.26 模型（4）2 22.76 25.32 30.45 1 0,2 0,1 0,2=0 3 39.06 42.44 48.45 协整空间中有常数项、有线性趋势项。4 59.14 62.99 70.05 数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。5 83.20 87.31 96.58 6 110.42 114.90 124.75 7 141.01 146.76 158.49 8 176.67 182.82 196.08 9 215.17 222.21 234.41 10 256.72 263.42 279.07 11 303.13 310.81 327.45 1 2.57 3.74 6.40 模型（5）2 16.06 18.17 23.46 1 0,2 0,1 0,2 0 3 31.42 34.55 40.49 协整空间中有常数项、有线性趋势项。4 50.74 54.64 61.24 数据空间中有二次趋势项。5 73.40 77.74 85.78 6 100.14 104.94 114.36 7 130.84 136.61 146.99 8 164.34 170.80 182.51 9 201.95 208.97 222.46 10 244.12 250.84 263.94 11 288.08 295.99 312.58 注：1模型(1)-(5)分别摘自 Osterwald-Lenum(1992)表 0，表 1*，表 1，表 2*，表 2。2 表示检验水平，N 表示 VAR 模型中变量个数，r 表示协整向量个数。（1）随机游走过程。yt=yt-1+ut=tiiu1，y0=0,ut IID(0,2)-10-5051020406080100 120 140 160 180 200y=y(-1)+u（2）随机趋势过程。yt=+yt-1+ut,y0=0,ut IID(0,2)其中称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y1)=（过程初始值的期望）。将(4.2)式作如下迭代变换，yt=+yt-1+ut=+(+yt-2+ut-1)+ut=t+y0+=tiiu1 02040608050100150200250300350400stochastic trend process-1001020304050607080255075100125 yt=0+1 t+ut,ut=ut-1+vt,(1,vt IID(0,2)（4）趋势非平稳过程 yt=+t+yt-1+ut,y0=0,ut IID(0,2)(4.4)实际中应注意以下几点：（1）协整检验只适用于非平稳变量，所以协整检验之前首先要对序列做单位根检验。（2）因为检验统计量不服从通常的2分布，其分布与序列中是否有趋势以及协整方程中是否有常数项和趋势项有关系，所以协整检验之前要先决定序列中是否含有确定性或随机性趋势项以及协整方程中是否含有常数项和趋势项。（3）在五种情形中（见图），情形 1（序列中无趋势，协整方程中无常数项和趋势项）和情形 5（序列中有 2 次趋势）实际中很少用到。情形（1）只有在确认序列有零均值情形下才可使用。情形（5）只有在序列含有 2 次趋势的条件下才可以使用。（4）五种情形的选择基本原则是，若序列中无趋势，选情形 2。若认为全部序列含随机趋势，则选情形 3。若认为某些序列是趋势平稳的，则选情形 4。（5）如果不容易判断属于哪一种情形，可选用总览（Summary）功能，可以给出 5 种情形的全部检验结果。（6）若序列都含有单位根，但协整检验结果却是协整个数 r 等于序列个数 N（理论上应该小于序列个数），原因可能有两条，一。协整检验统计量功效太低。二。序列的样本容量太小。（7）若迹统计量和最大特征值统计量的检验结果不一致，应选择其中更富有解释意义的一种。（8）EViews 做协整检验所用序列的最多个数是 10 个。检验协整性的 EViews 操作：VAR(8)用情形（1）检验协整关系（数据中无线性趋势，常数项不进协整方程式）得输出结果：VAR(8)基础上建立误差修正模型：长期关系估计结果与单方程误差修正模型得到的结果近似（1 比 1）。案例：（file:5VAR01）美国家庭取暖用油市场的VAR模型分析。数据取自Pindyck R S and D L Rubinfeld著，钱小军等译，计量经济模型与经济预测计量经济模型与经济预测计量经济模型与经济预测计量经济模型与经济预测，机械工业出版社，1999。在美国，家庭取暖用油是一种交易很活跃的商品。由于天气的反常变化对需求有很重要的影响，且原油的价格也是瞬息万变的，所以，取暖用油的价格经常会发生显著的波动。假设想构造一个取暖用油市场的模型，以便预测价格。那么，可以选择一个描述需求、供给和存货量的结构化模型，但是这样的模型将很有可能非常复杂，而且，由于未来天气和原油价格的不确定性，这种模型也极有可能不会产生很精确的价格预测。而使用向量自回归模型来构造这个市场的动态模型却是一件简单得多的事情。取三个彼此互相联系的内生变量，取暖用油价格(PHO)、产量(QHO)和存货量(NHO)建立VAR模型。使用1980年1月1988年6月的月度数据（T=102。见下图，工作文件中给出了从1979年1月开始的真实数据，这样做可以使我们在模型中使用滞后项)。0408012016020024019801981198219831984198519861987NHOPHOQHO 单位根检验结果：变量 检验式 ADF，DF P值 检验结果 平稳性 NHO(1,0,8)-1.1058 0.71 有单位根 I(1)dNHO(0,0,0)-4.87 0.0000 无单位根 I(0)PHO(0,0,0)-11.3983 0.0000 无单位根 I(0)QHO(0,0,12)-0.5566 0.47 有单位根 I(1)dQHO(0,0,0)-9.4533 0.0000 无单位根 I(0)协整检验 选择第 3 种类型进行检验（数据有趋势，协整关系中无常数项），结果如下：选择第 2 种类型进行检验（数据无趋势，协整关系中有常数项），也存在协整关系。建立误差修正模型如下：中国进、出口序列的协整关系分析。（5unit-root2）对数的中国进、出口序列 Lnimt 和 Lnext的数据见表 16-2。时间序列见图 16-16。经检验Lnimt，Lnext都是一阶单整变量。试检验 Lnimt和 Lnext是否存在协整关系。12345678910505560657075808590950005LNEXLNIM 1234567891012345678910LNEXLNIM 图 16-16 Lnimt和 Lnext序列 单位根检验结果：变量 检验式 ADF，DF P值 检验结果 平稳性 Lnim(0,0,1)3.49 0.9998 有单位根 I(1)dLnim(0,0,0)-5.21 0.0000 无单位根 I(0)Lnex(0,0,1)3.54 0.9998 有单位根 I(1)dLnex(0,0,0)-3.16 0.0021 无单位根 I(0)VAR 模型估计的 EViews 5.0 操作：打开工作文件，点击 Quick 键,选 Estimate VAR 功能。作相应选项后（k=3），即可得到VAR 的表格式输出方式。在 VAR 模型估计结果窗口点击 View 选 representation 功能可得到 VAR 的代数式输出结果。在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structure,Lag Length Criteria 功能，k=5时，即可得到5个决定最优滞后期的评价统计量。决定建立 VAR(3)模型。用19511990年数据建立的3阶VAR模型进行样本外1期预测的EViews 6.0操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框中选择static solution（静态解）。12345678910505560657075808590950005LNIMLNIM(Baseline)12345678910505560657075808590950005LNEXLNEX(Baseline)求VAR模型特征根 在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure,AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure,AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial VAR模型残差序列及其方差、协方差矩阵的求法。在VAR模型估计结果窗口点击View 选 residuals,Correlation Matrix/Covariance Matrix功能。脉冲响应的EViews操作（file:VAR01）直接点击VAR窗口中的Impulse键或者点击View 选Impulse功能。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。.00.05.10.15.2012345678910LNEXLNIMResponse of LNEX to CholeskyOne S.D.Innovations.04.08.12.16.20.2412345678910LNEXLNIMResponse of LNIM to CholeskyOne S.D.Innovations 注意：因为系统非平稳，这样的脉冲响应图无意义。应分析差分变量的脉冲响应。-.04.00.04.08.12.1612345678910D(LNEX)D(LNIM)Response of D(LNEX)to CholeskyOne S.D.Innovations-.08-.04.00.04.08.1212345678910D(LNEX)D(LNIM)Response of D(LNIM)to CholeskyOne S.D.Innovations 差分变量VAR(3)变量的脉冲响应 当系统存在冲击时，进口比出口受到的影响大。方差分解的EViews操作（file:VAR01）点击VAR窗口中的View键，选Variance Decomposion功能。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。02040608010012345678910D(LNEX)D(LNIM)Variance Decomposition of D(LNEX)3540455055606512345678910D(LNEX)D(LNIM)Variance Decomposition of D(LNIM)Granger非因果性的EViews 4.1操作：打开数剧组窗口，点击 View 键，选 Granger Causility。选择滞后期为 2，6，10，点击 OK键。结论：出口影响进口，进口不影响出口。检验协整性的 EViews 操作：VAR(3)按第 2 种选择（数据中无线性趋势，常数项近协整方程式）得输出结果：VAR(3)按第 3 种选择（数据中无线性趋势，常数项近协整方程式）得输出结果：
