数学课例分析 陕西师范大学数学系博士生导师 解题学专.doc

数学课例分析陕西师范大学数学系 罗增儒 目 录一、课例分析的引例1课例1：幼儿园小女孩学“集合”2课例1的分析3关于建构主义的初步认识二、课例分析的认识1课例2课例的基本特征3课例分析三、课例2：在“三角形内角和”的课堂上1出示课例2初步剖析3关于认知的初步认识四、解题分析1解题分析的引例2解题分析的操作3“柳卡问题”新议五、课例分析的教育价值1知识层面2能力层面3素质层面4理念层面参考文献一、课例分析的引例1 课例1：幼儿园小女孩学“集合”（新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概念，以下是在这一背景下发生的一个案例）一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴地回答道：“我们今天学了集合”数学家想道：“对于这样一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了”因此，他关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！一点也不难”这样抽象的概念难道会这样容易吗？听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放心不下，因此，他又追问道：“你们的教师是怎样教的？”女儿说：“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等最后，教师问大家：是否都懂了？她得到了肯定的答复”这样的教学法似乎也没有什么问题，因此，父亲就以如下的问题作为最后的检验：“那么，我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合呢？”迟疑了一会，女儿最终回答道：“不行！除非它们都能站起来”（转引自郑毓信数学教育哲学P183)听完这个叙述之后，我们要问：（1）你最突出的感受是什么？说出你最想说的话来为了把思考引向深入，我们还要继续问：（2）课例说了些什么事实？这些事实说明了什么道理？为了使说明道理的讨论更加集中，我们再配上道重点思考题：重点思考题“女教师”是怎样组织“集合”教学的？为什么教师所传授的知识不是“女儿”所回答的？幼儿园里的“男孩子集合”、“女孩子集合”、“白孩子集合”、“黑孩子集合”与作为原始数学概念的集合有什么区别？“女儿”为什么说集合学习“一点也不难”？又为什么要强调匙子和土豆都“站起来”？这到底是“教师”的教学内容问题，还是“学生”的学习基础问题，抑或是“数学家”的评估方式问题？如何认识“女儿”学习中的错误？世界上所有的匙子或土豆“组成的集合”与“幼儿园里部分孩子（男、女、白、黑）”组成的集合有无不同？对于幼儿园孩子认识集合概念而言，是“女教师”的教学不对头还是“数学家”的提问不恰当？幼儿园能不能渗透集合概念？这个讨论的一个目的，是想渗透建构主义的观点下面是我们的初步总结2课例1的分析这个数学学习的故事，向我们展示了包含有教师、学生和数学家的行为、思想、情感在内的生动描述（1）女孩兴高采烈地回家，手舞足蹈地描述学习的情况，天真而坦诚地回答父亲关于“土豆组成集合”的问题，在其可笑答案的背后，有引发沉重思考的悬念其中给我的最突出的感受是：学生满以为已经学到的东西，并非教师所努力传播的东西整个过程采用了倒叙的方式，描写了3个主要情节：教师教学的情节；学生学习的情节（与教师的教并列进行）；数学家评估的情节分为两个阶段，首先是询问教与学的过程，然后用一道题目来检查教学效果于是，在这个小小的课例里，就涉及到教的问题、学的问题、教学内容与教学评估等问题出于提炼建构主义观点的目的，我们提出4点看法（1）教师传授什么，学生就接受什么的传统认识并不可靠女教师根据集合概念的基本特性，就近利用课堂情景努力进行教学设计，并且结合幼儿的特点，运用直观性（一眼看清）、活动性（学生扮演元素、组成集合）的教学原则，积极组织教学，这个方向是值得肯定的；其内容限于集合实例的渗透也是可行的，儿童偏爱活动、喜欢参与，从单个活动看，让有关人员站起来不但有助于集合的“呈现”，而且也能产生趣味性、新奇感，并积累数学活动的体验但是，四次叫学生“站起来”，造成了非本质属性的泛化，这说明，教师传授知识时，学生不是被动接受的，他们对知识信息有一个选择、整合和“意义赋予”的过程，认为教师传授什么学生就接受什么的传统认识并不可靠，这应该引发我们对教学观念更新的思考（2）学生在学习过程中的错误认识有其内在的合理性在学习“集合”（名词）之前，儿童已经有了“听到哨音，到操场排队集合（动词）”的经验，也有把一群人看成一个整体（小组或班级）的已有知识，在女教师的设计下，又见到“站起来的人组成集合”，这两者的相互作用，是儿童根据原有知识经验，建构新知识的过程，于是，新旧知识之间的共同点：“人”，“聚集到一块”等就很自然地成为“集合”概念的必要因素与必要形式，面对“土豆”组成的集合，“女儿”首先迟疑了一下，一闪念之间可能出现很多否定性的因素：土豆不是人！土豆不能站起来！土豆不会在幼儿园里！全世界的土豆既看不全又数不清在这些可能的否定理由中，构成反差最大、最明显的是：当初孩子们都站起来了，所以，“女儿”最终说“不行！除非它们都站起来”如果说，这是一个错误的话，那确实有其内在的合理性，确实是一个可爱的错误，应该说，在课堂上没有学生的错误，更没有错误的学生另外，女儿的年龄太小，还没有足够的非形式化数学知识去消化抽象的集合，从本质上认识集合概念是不可能的，只能是一些具体实例的渗透，为真正学习集合概念作些前期准备，因此，与其说女儿要土豆站起来是一个错误，不如说女教师的教学设计还有缺陷，不如说数学家的提问本身并不恰当（3）用数学家的思维来要求学生并不恰当在这个课例中，出现了3种思维方式，即数学家（爸爸）的思维，教师（女教师）的思维，学生（女儿）的思维“数学家”与“学生”在思维上存在巨大差距（成人与儿童、数学与常识、抽象模式与具体实例），教师 责任就是要进行教学法的加工，使数学成为儿童可以接受的东西，使得新知识能够在原有知识经验的基础上建立起来，就是说，数学的“学术形态”需要转变为“教育形态”，数学教师不同于数学家的一个方面就在于，我们不是要创造表示概念，而是去创造概念的理解看来，女教师理解这一点，而“数学家”对数学教育的理解未必就比女教师了解得更多，这表现为：女教师只给“女儿”提供几个由“人”组成的具体集合的实例；而数学家却从集合的实质属性出发提出问题，他的检测起点太高，超出了“女儿”的年龄与认识水平，也超出了教师的教学范围“全世界”的匙子或土豆，与“女儿”所认识的“集合”大相径庭，不是由“人”组成的、也不是在“幼儿园”的范围内，还是“一眼不能看清”、“多得数也数不完”的（朴素想象的无穷）：这一切，对第一次接触“集合实例”的儿童来说，是吃不消的“匙子或土豆”隐含着“并集”的逻辑结构，既然“女儿”的集合概念尚未过关，“并集”当然也就更费解了对女教师设计上的缺陷，“数学家”没有看出来，反认为“这样的教学法似乎也没有什么问题”这种种情况表明，数学教育是一门独立的专业，即使“数学家”也并非天然了解数学教育，他们往往更注重于数学教育的数学方面，而对数学教育的教育方面了解不够，诚然，缺少数学知识就没有资格成为数学教师，但只有数学知识还不足以成为一个好的数学教师；惟同时兼有数学专业知识、数学教育理论与数学教学技能的人才有希望成为优秀的数学教师由于评估的不合适，小女儿聪明可爱的一面被失败可笑的一面掩盖着，很可能会给小女儿留下学数学的消极体验如果换一种提问方式或提问标准，小女儿将会是数学学习的成功者，也就是说，多一把子可以多出一批人才应当注意到，失败是成功之母，成功更是成功之母 （4）女教师教学设计的改进意见女教师不可能给幼儿园的儿童传授一个相对完整的集合概念，这是完全合理的，对此，不应该对教师求但在如何给儿童提供尽可能优化的教学设计方面，确实还有值得研究的问题举例应避免非本质属性的泛化“人”、“站起来”、“幼儿园里”等都是组成集合的非本质属性，一次又一次的重复尤其强化了“站起来”的动作如果让坐着的学生也同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化从“概念形成”的角度看，此处还没有进行到对共同属性抽象出本质属性的阶段，更应通过“变式”来突出本质属性设计要能引起认知冲突女教师所呈现的例子都是幼儿园里看得见的有限集合，都是具有相同“性别”或相同“肤色”的人组成的特殊集合具有同一属性的有限个人集中在一起，看成一个整体（小组或班组），儿童比较好认识，不需要太多的思考，所以“女儿”说“一点也不难”，这句话的另一层含义是，教学设计没有引起学生更多的认知冲突如果让男女孩子、黑白孩子也组成集合，让幼儿园内外的孩子也组成集合，让孩子与桌子一齐组成集合等，那么，教学效果会有很大的不同反馈环节太粗糙教学不能没有反馈环节，这一点“女教师”是明白的，但集体回答“是否都懂了？”分不清真懂假懂，也掩盖了不出声或“未明白”的声音，这个简单化的提问，相当于医生问来诊的病人：“你有什么病？”用病人的自我诊断来代替医生的诊断是不合适的，如果让学生去举出集合的例子，检验的情况会更真实一些，更细致一些，考虑到女教师所提供的例子不仅内容单一，而且类型上也只有正例、没有反例，让学生举例议论就更有必要了，学生说不定会举出一些不构成集合的例子来，使认识过程更加完整建构主义观点：教学中应重视学生真正的理解，而不是表面的理解，这样，在课堂上教师通过“你们懂了吗？”或“你们还有什么问题”来判断学生是否真正理解就会简单化了（教育研究20027）学生是否形成真正的、深层次的理解，教师大致可以从下面几个方面进行判断：·能否用自己的话对所学知识进行解释、表达·能否据所学知识进行推论、猜测并解释相关现象，解决相关问题·能否举一反三，灵活运用·能否综合几方面的相关知识解决较复杂的问题·能否应用所学知识解决实际生活中的问题措词更确切一点“男孩子的集合”没有界定它的包含集，因而可以理解为“世界上”男孩子的集合，准确说，应是“该幼儿园里男孩子的集合”3关于建构主义的初步认识课例的分析提供了建构主义的感性认识建构主义认为，认识并非主体对客观实在的简单的、被动的反映（镜面式反映），而是一个在原有知识经验基础上，主动建构的过程建构主义重视已有知识经验、心理结构的作用，强调学习的能动性、建构性和社会性，强调学习的个人体验、智力参与和自主活动，对数学教学有许多积极的启示比如什么是学习，在数学教学中学生应当是认知行为的主体，教师是行为的主导等，都能获得比较合理的解释建构主义认为，学生们直接接收到的不是知识本身，而是教师用以传递知识的媒体或信号，并且人脑也不是被动地接收和记录输入的信息的，而总是以已有知识经验为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征建构主义者策纳说：“知识是无法传授的，传递的只是信息，知识只是在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的”这既从学习的本质上说明了学生在学习中的主体性，也体现了学习过程中的主动性与建构性教师的作用是为学生的参与创造适宜的挑战环境，去了解学生的数学结构，看看他的主观感知有什么问题，新知识应该如何“修剪”得正好适合于吸收到学生的数学知识结构中去，学生在想什么，在做什么，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动这既体现了“学生的主体地位”，又发挥了“教师”的主导作用”在数学学习中，教师的主导作用是说，教师的传授不单是从书本上力图明白、准确无误地搬运知识的过程，他应是数学建构活动的深谋远虑的设计者、组织者、参与者、指导者和评估者教学不再是一个简单的搬运知识的过程，而是一个连续地、生动活泼地与学生的感性世界和理性世界相符合的过程教师所追求的不是仅仅让自己吃透教材、讲述明白，而应力图通过自己的“示范”向学生展现出“活生生”的数学思维活动，揭示出隐藏在具体知识内容背后的思想方法，从而帮助每个学生发挥主体作用，最终，相对独立地去完成数学建构活动此处，对建构主义不作展开，因为我们的目的是介绍什么是课例、什么是课例分析二、课例分析的认识课例（案例、个案、教案、学例）课例是体现教育理论与教学技能的教案或课堂实录它是具有典型意义的教学过程，在形式上可以是学生学数学的生动故事，又可以是教师教数学的有趣设计，还可以是教学实践中遇到的困惑的记录（包括实发事件）为了教学的需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所侧重，对课堂之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等）这就使得用于教学分析研究的课例与记录教学实验的课例略有区别2课例的基本特征（1）典型性：首先课例是现实问题的缩影，应具有相对完整的情节，对事例发生的时间、地点、具体过程有较完整的交代，使得能反映出数学教学活动的基本过程；同时，这些活动与过程能够体现数学教学的内在规律，体现教学设计的基本思想这当中，有成功的范例，也有“尚未成功”的典型情节（课例1中，有教、学、评，过程相对完整；有数学家、教师、学生3种思维并存，情景也十分典型）（2）研究性：就是课例本身具有时代气息、现实意义、借鉴作用和理论探讨的价值，可以正面获得经验或反面取得教训，提炼出（或印证了）某些理论或观点，体现有效性课例1中，教师并未教“土豆站起来”，数学家亦承认“这样的教学法似乎也没有什么问题”，但小女孩回答了“除非土豆站起来”，笑声的背后是沉重的思考，于是，探究的心向产生了，研究的环境的形成了我们出于渗透建构主义的目的谈了些初步看法，大家还可以从多种角度进行更广泛的分析这就有研究性了（3）启发性：就是课例本身具体、生动、有趣，能提出问题、能引发思考，能产生观念上的不平衡课例1中，学生所回答的并非教师所努力传授的，兴高彩烈的小女孩最后被爸爸问得既可怜又可笑；前面说“一点也不难”、后面却要土豆荒唐地“站起来”这些都有强烈的对比效果、都有逻辑错位的幽默，都能提出问题、引发思考，至于教师的教学过程，则明显有直观性、活动性和趣味性所以，这个学“集合”的课例比较能体现课例的特征，有代表性3课例分析课例分析是一种通过典型教学过程（课例）的分析来学习教育理论与教学技能的教学方式俗称案例教学，这是一种研究性学习课例分析突出体现了教学内容、学习方式和教育观念的转变如同上面已经看到的，课例分析的实施分3步进行：（1）教师提供课例，学员体会情景较长的课例可以课前提供，较短的情节可以随堂呈现提供的方式可以是书面材料、录相或口头叙述（2）教师组织讨论，学员分析材料这是一个师生互动、生生合作的学习过程一般说来，每个课例都可以从多个角度进行分析，每个学员又都有自己的兴趣指向，如果引导启发不当，有的学员会不知从什么地方开始谈，有的学员会只谈现象与技节因此，教师要充分了解课例的内容，提前进行精心的准备，临场还得有机敏灵活的动态调节为了使讨论相对集中，可以随课例的呈现提出几道重点思考题在课例分析中，教师更多地从讲台站到了学生的背后，聪明不是由教师告诉而是学员自己去获得（3）教师总结评述，学员掌握原理这一步主要由教师进行，教师的总结首先要有理论深度，使学员确实学到东西；其次要体现现场讨论的情况 老师们在日常教学中，可以独立地进行经常性的课例分析，也可以以教研组为单位开展交流需要说明的是：课例分析与举例说明是不同的；课例分析与评优课也是不同的，课例分析与说课还是不完全相同的然而，课例分析水平的提高，可以促进所有这几方面水平的提高三、课例2：在三角形内角和的课堂上1出示课例课例：在“三角形内角和定理”的课堂上解说：“三角形内角和定理”（请参看课本原文）的教学设计，人们已经谈了很多，但这并不影响教学的创造，有出息的教师依然在探索新的可能性，下面的镜头，展示了教师对定理教学的精心设计，殊不料“突发事件”屡屡发生教师：如图，用橡皮筋构成，其中顶点，为定点，为动点，放松皮筋后，点启动收缩，产生一系列的三角形：，请观察其内角和会产生怎样的变化？解说：教师的主观意图是让学生看到：，这既孕育着极限的思想，又诱发出，但是，学生发言了学生：内角和等于教师：好，说说你是怎样观察出来的？学生：我不用观察，小学时老师已经教过这个结论解说：老师有点失落，但立即又根据已经发生的情况，舍去“发现结论”的启发，马上转入“结论证明”的发现教师：是的，小学介绍过三角形的内角和等于，但没有证明，由于实验可能会有误差，无穷个三角形也不能逐一检验，所以，进入中学阶段，我们要给出一个严格的证明学生：通过图，我看到，当点趋向于BC时，B，C趋向于，而A趋向于；合起来，三角形内交和趋向于；同时，这个图形还告诉我们，这个结论怎样证明教师：（很高兴）你说说证明学生：设三角形的内角和为度，在BC上取一点（相当于的运动终点），连AD（如图），有： +, +C+=相加 A+B+C+（+）=2但 A+B+C=, +=180，代入有 +=2, =解说：这完全出乎教师的意料之外，一时间自己也弄不清正误，既无法立即表态，又不能表示出犹豫，明智的选择是甩给学生教师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对？解说：学生沉默片刻之后，大多表示认可，确实，一旦承认“三角形内角和为定值”，整个证明就无懈可击，但初中课本没有这样的定理，教师利用这段甩给学生的宝贵时间想通了，原来图1的设计给学生造成了这样的印象：BC，BC，BC，的内角和为常数，其实，变量的极限为时，其变化过程可以单调上升，也可以单调下降，还可以是摆动的，更危险的是，可能变量根本就不取值,但这怎能向初中生讲清楚？还有本课的教学任务怎么完成？教师：是的，仔细审核每一步都推理有据，计算准确，但是（如图2），为什么ABD，ACD，ABC的内角和都是呢？课本中没有这样的定理因此，还要先证“三角形的内角和为定值”不过，这个方法向我们提供了一个思路，通过图中三角形的关系，并且利用平角等于来证对此，我们暂且按下不议现在，让我们重新回到ABC，看看拉紧皮筋（与放松相反），让点A沿BA方向运动的情况如图3，当点A变为BA延长线上的，时，A变小，C变大；当点A奔向太阳，即A 的一瞬间，产生出平行线CBA，由同旁内角之和等于 知， C =B这时可以猜想 A+B+C=并且，除了点外，对变化过程中的任一点An，都有 BC=C同学们，在这个变化过程中，你们看到了什么？学生3：看到了三角形内角和为常数，这个常数就是，因为 A+B+C=AC+B+BCA（两线平行，内错角相等）= （两线平行，同旁内角互补）2初步的认识（1）整个课例可以分解为6个片断 教师的原有认识； 突发事件1反思、步骤调整； 突发事件2可爱的错误； 突发事件的策略处理推迟判断； 省悟循环论证，调整情景设计； 推出新设计，完成再认识在这个一波三折的过程中，有两次突发事件，两次调节反思，一次比一次深刻，一次比一次更能激起人的感情，这有助于说明，学习活动不完全是“刺激反应”的过程，也不仅仅是对学习材料的识别、加工和理解的认知过程，而且还有对该过程进行积极的监控、调节的再认知过程，这当中有丰富的情感体验这种对认知的再认知，叫做元认知（2）对改进方案的建构观分析这个课例，反映了数学学习是一个在原有知识经验基础上主动建构的过程，其改进方案体现了较为系统的建构观设计（见图4）由图4可以看到这个方案将“两直线平行，同旁内角互补”作为学生主动建构活动的认知基础，建立它与A+B+C= 的联系构成了整个设计的核心为了沟通“平行线中同旁内角互补”与“三角形中内角和等于”之间的联系，方案首先将“互补”与求证式中右边“”沟通，这比较容易（还有小学知识作依托），因而可以成为唤起新旧知识构成联系的信号或桥梁同时，方案又将“平行线中同旁内角之和”与“三角形中的内角之和”沟通，这比较困难，一个是不封闭图形（两平行直线被第三条直线所截），另一个是封闭图形（三角形），外形上完全不 图4一样，为了将这两个外形上完全不一样的图形联系起来，方案主要使用了三个技术其一是把静态的三角形“动”起来，一直动到成为“完全不一样”的平行线，（也可以将平行线“动”成三角形，得出另一设计）这有一个从量变到质变的过程，需要想象，其思维跨度也大，因而，中间需要添上中途点来帮助理解，那么怎样才能找到中途点呢？这需要第2个技术其二是借助于粗糙的直观习惯上认为太阳光线为平行线，于是，太阳成了相交线与平行线的一个中转站，成为触发直觉的一根撞针其三是借助于有限来理解无限由于图3中，是一个有限角，学生是能够理解射线CA绕点C旋转到位置上的，而一旦理解了图3，理解定理的证明和证明中的辅助线后都不会有多大困难可以认为，这个设计的图形本质是，沟通折线BAC与平行线BA、的联系3元认知的初步认识在课例中，主体（教师）对课题首先有一个认识，经过实践，意识到认识可以深化，于是调动思维，采取有效的调控策略，从而达到新的认识这就是主体对自身认知过程在自我意识的基础上，对自身认知过程的自我反省、自我控制与自我调节这就是元认知元认知基本上是一种二级构造，认知活动的对象是问题、数据之类的东西，而元认知活动的对象则是认知过程本身如果说课堂教学的过程是一种认识活动，那么进行课例分析便是再认识；如果说解题是一种认识活动，那么进行解题分析便是再认识元认知是一种高级认知活动，包括元认知知识、元认知体验和元认知监控（1）元认知知识这是指有关认知的知识：即人们对影响自己认识过程与结果的各种因素及其影响方式的认识包括认知的主体方面的知识、认知的任务方面的知识、认知策略方面的知识在课例中，教师认识到当初忽视了学生小学学过的事实，认识到图1有诱导“逻辑循环证法”的暗示，以及新证法的建构观分析等，都属于元认知知识（2）元认知体验这是指伴随认知活动产生的认知体验与情感体验，包括知与不知的体验，肯定与否定两个方面在课例中，为当初设计没有达到目的而失落，为图2的证明而为难，为新设计的产生而高兴等都是元认知体验（3）元认知监控这是指人们能够积极自觉地对认知活动进行监视、控制和调节在课例2中，自觉采用极限方法来设计发现学习，从突发事件1中自觉作出调整，经过突发事件2之后推出新的方案等，都体现了元认知监控元认知的三大组成部分是密切联系、相互依存、互相制约的元认知知识的掌握有助于有效的监控，也能激起相应的元认知体验，是体验和监控的基础；元认知体验有助于认知知识的掌握，也有利于有效地监控，是推动元认知调控的力量，并强化元认知知识；元认知监控水平制约着元认知知识的获得水平，既运用元认识知识，又增添新的内容，使元认知知识更丰富，并是元认知体验的前提如同认知能力可以自觉地发展一样，元认知能力也可以有意识养成，我们认为进行课例分析、进行解题分析就是自觉进行元认知开发的好途径四、解题过程的分析1解题分析的引例例1 1990年吉林省中考题设 ，是关于的方程 的根，试证明关于的方程 的根是（1）认识证明题目的条件说是方程的根时，处于方程系数的位置；题目的结论说是方程的根时，处于方程系数的位置因而，条件与结论之间，（）与（）之间都有一种对称关系、转换关系但是，如何揭示这种对称关系呢？我们一下子看不清楚，但有一点我们感觉到了，方程有，而无；方程有而无，因而，应该沟通与的关系假设我们没有太多的解题经验，那么，我们总可以由方程的求根公式，找出与的关系（根与系数的关系）首先把化为标准形式 有 代入方程，有 即 得 这表明，是方程的根这个解法（记为证明1），反映了我们对问题的一个认识，其知识基础是方程根的概念与求根公式，能力主要为运算能力（2）再认识解题分析回顾这种解法我们可以分为两步：首先，由方程找出与的关系式；然后，把代入方程得出结论由此可见，最关键的步骤是找出与的关系对于这个关键式，存在两个问题：问题1，产生的运算比较复杂，弄不好还会由推时出错问题2，使用过程中，先解出，然后又代入消去，恰好是一个回路，这个回路是必要的还是多余的呢？对于问题1，具体运算的感受或理论思考，都会导致我们用“根与系数的关系”（韦达定理）来代替求根公式，得证明2 把方程展开，有 由是方程的根，得 再把方程展开，得 把代入，得 其根为即方程的根为,这就是中考所提供的标准答案，也可以把变为 然后，以为根作方程，变形为，这两种解法在本质上是一样的，还是着眼于寻找（）与（）的关系，只不过是用韦达定理式比用求根公式式更简单抓住这个关键步骤，深入思考有没有更一般性的“根与系数关系”，于是“根与系数关系”的知识链就活跃起来了： 当我们一旦想起式时，条件与结论都立即出现等价形式：条件结论两相对比，只需作一步移项运算就证明了（差异分析法）证明由已知得 移项 这表明是方程的根这个解法把题目本身所具有的对称结构反映了出来，把前述两个证明中的思维回路清除得一干二净，我们的心情也禁不住要微微激动起来例已知求证 （1）认识证明有一个著名的构造三角形解法，年复一年地出现在各种报刊上，备受人们的称赞证明由余弦定理可构造如图，使AOB=BOC=COA=, 则 ， ，同理 由三角形两边之和大于第三边可得 ，也就是 （2）再认识解题认识易知，问题的求解可以分成两步：首先是依题意构造图形，然后是在中由“两边之和大于第三边”得出结论不等式的数学实质是“两边之和大于第三边”对此，我们可从两方面作出反思抓住本质步骤“三角形两边之和大于第三边”，观察图，还有一个更简单的，也有又由“大角对大边”有 这就又可以把直观上看到的事实，返原为代数解法证明由为正数知 相加得， 这个新解法只用到简单的放缩常识，节省了解题力量；更重要的是，经历了一个“由数到形”、又“由形到数”的数形结合过程真正的、完整的数形结合值得继续反思的是，为什么我们长期只看见，而看不见抓住距离作转换配方解法既然，所求证的不等式反映了距离关系，而距离计算还有勾股定理、解析几何的距离公式、复数模、向量等，因而可以转换形式：证明配方 取点（或复数），则有不等式CA 由于三点共线的条件为 即 这对显然不能成立，故式不能取等号，命题得证这个证明虽比证明麻烦，但有一般性，即的条件可以取消，有 就够了推广 是否有 . 成立吗？ 成立吗？例（1995年）求证：对正整数n, 分数为最简分数（1）认识反证法证明记若结论不成立，则d1，这时存在且,使 由3×2×，得 这表明正数d是1的约数， 这与d1矛盾 故得为最简分数(2)再认识解题分析可疑的反证法这个证明，从形式上看反证法的过程很完整，反设、推理、引出矛盾、得出结论，所有的步骤都有了但是，反设d并没有参加运算，只是在得出后，构成矛盾时才用到但是，得出已经证明了结论，去掉反证法的反设、去掉构成矛盾，就是一个正面证法（去掉、式便是一个完整的证明）记为证明2这个过程还可写成辗转相减的形式 记为证明3抓住本质步骤容易看出，上述证明中最本质的步骤、产生实质性进展的步骤，应是式，抓住这一步，不仅反证法是多余的，甚至连设d、p、q全都可以省略证明4由恒等式 知，与必互素，分数为最简分数由上面的例子可以看到，题目的初步获解，只不过是实现了信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的提高准备了材料基础，更加有价值的、体现学习者的主动创造性的工作是将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结构和更直截了当的关系所谓解题，无非就是寻找数学内容之间的联系，有意识“将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构”的过程，就是自觉培养解题能力的过程，也是解题能力迅速生长的过程，其实质就是元认知能力发展的过程解题分析的操作由上面的引例可以看到，分析解题过程通常要经过两个步骤：整体分解与信息交合（1）整体分解就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用了哪些知识，用了哪些方法，它们是怎样组合在一起的，并从中提炼出几个最本质的步骤，在这个整体分解中，要注意发现，哪些重要信息是在半途上被白白浪费的，哪些思维回路是在盲目中被多余增添的，哪些过程是可以合并的，哪些步骤是可以转换的具体进行时，可以画逻辑结构图和信息过程图（参见中学数学课例分析图320，图321）（2）信息交合就是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信息块的有序化将删去多余的思维回路将用更一般的原理去集中现存的许多过程，或用一个更简单的技巧去代替现有的常规步骤于是，一个新的解法就诞生了在这个过程中，应着重抓好下面个要点看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解题通道这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别是要从知识链上对知识内容作多角度的理解看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤，提高整个解题的观点和思维的层次看是否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤，以体现解题的奇异美看解题过程中哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步既可简化过程又可迅速推广还要看到，分析解题过程时，“结论也是已知信息”，这会使我们对题目的认识更加深刻和全面（3）解题理念 我们应当学会这样一种对待练习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标并且，应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平通过解题过程的分析而学会解题，就是通过已知学未知，就是通过有限道题的学习去培养起解无限道题的数学机智就是积极主动去发展元认知能力例41992年数学高考理科（19）题方程的解是_解去分母，得 即 两边乘以，得关于的二次方程 分解 但只有，即