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第二章 经典单方程计量经济学模型：第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一元线性回归模型The Classical Single Equation Econometric Model:Simple Linear Regression Model本章内容本章内容 回归分析概述回归分析概述回归分析概述回归分析概述 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测 一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测 实例及时间序列问题实例及时间序列问题2.1 回归分析概述回归分析概述(Regression Analysis)一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数二、总体回归函数三、随机扰动项三、随机扰动项四四样本回归函数样本回归函数四四、样本回归函数样本回归函数一、变量间的关系及回归分析一、变量间的关系及回归分析的基本概念的基本概念1、变量间的关系、变量间的关系 确定性关系或函数关系：确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象研究的是确定性现象非随机变量间的关系非随机变量间的关系非随机变量间的关系非随机变量间的关系。()2,半径半径圆面积=f 统计依赖或相关关系：统计依赖或相关关系：研究的是非确定性现象研究的是非确定性现象随机变量间的关系随机变量间的关系随机变量间的关系随机变量间的关系。()施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f=对变量间对变量间统计依赖关系统计依赖关系的考察主要是通过的考察主要是通过相关相关分析分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析分析分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析(regression analysis)来完成的。来完成的。相关分析相关分析适用于所有统计关系。适用于所有统计关系。相关系数相关系数(correlation coefficient)正相关正相关(positive correlation)负相关负相关(negative correlation)负相关负相关(negative correlation)不相关不相关(non-correlation)回归分析回归分析仅对存在因果关系而言。仅对存在因果关系而言。注意：注意：不存在线性相关并不意味着不相关不存在线性相关并不意味着不相关。不存在线性相关并不意味着不相关不存在线性相关并不意味着不相关。存在相关关系并不一定存在因果关系。存在相关关系并不一定存在因果关系。相关分析相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。都被看作是随机的。回归分析回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量应变量（被解释变量被解释变量）和自变量和自变量（解释变量解释变量），），前前应变量应变量（被解释变量被解释变量）和自变量和自变量（解释变量解释变量），），前前者是随机变量，后者不一定是。者是随机变量，后者不一定是。2、回归分析的基本概念、回归分析的基本概念 回归分析回归分析(regression analysis)是研究一个变量是研究一个变量关于另一个关于另一个（些些）变量的具体依赖关系的计算变量的具体依赖关系的计算关于另一个关于另一个（些些）变量的具体依赖关系的计算变量的具体依赖关系的计算方法和理方法和理论论。其目其目的的在于通过后者的在于通过后者的已知已知或或设设定定值值，去估去估计计和（或）和（或）预测预测前者的（前者的（总总体）体）均值均值。两两类类变量变量；被解释变量被解释变量（Explained Variable）或或应变量应变量被解释变量被解释变量（Explained Variable）或或应变量应变量（Dependent Variable）。）。解释变量解释变量（Explanatory Variable）或）或自变量自变量（Independent Variable）。）。关于变量的术语关于变量的术语Explained Variable Explanatory Variable Explained Variable Explanatory Variable Dependent Variable Independent Variable Endogenous Variable Exogenous Variable Response Variable Control Variable Predicted Variable Predictor VariablePredicted Variable Predictor Variable Regressand Regressor 回归分析回归分析构构成计量成计量经济学经济学的方法的方法论基础论基础，其其主主要要内容包括内容包括：要要内容包括内容包括：根据样本观根据样本观察察值值对对经济经济计量计量模型参模型参数数进行估进行估计，计，求得求得回归方回归方程；程；对回归方对回归方程、参程、参数数估估计计值进行显著值进行显著性性检验；检验；利利用回归方用回归方程进行程进行分析分析、评价及预测、评价及预测。二、总体回归函数二、总体回归函数Population Regression Function,PRF1、条件均值、条件均值（conditional mean）例例2.1.1：一个一个假想假想的的社社区有区有99户家庭组户家庭组成，成，欲欲研究研究该社该社区区每月每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月与每月家庭可家庭可支配收入支配收入X的关系的关系。即即如如果果知道了家庭知道了家庭的的月收月收支配收入支配收入X的关系的关系。即即如如果果知道了家庭知道了家庭的的月收月收入入，能否预测该社能否预测该社区区家庭家庭的的平均月消费支出水平均月消费支出水平平。为达到此目为达到此目的，的，将该将该99户家庭划户家庭划分分为组内收入为组内收入差差不不多多的的10组组，以以分析分析每每一一收入组收入组的的家庭消费家庭消费支出支出。表表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 每 月 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 月 家 庭 消 费 支 出 Y 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 Y（元）2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 由于不确定因素的影响，对同一收入水平由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；，不同家庭的消费支出不完全相同；但由于调查的完备性但由于调查的完备性给定收入水平给定收入水平 的消费的消费 但由于调查的完备性但由于调查的完备性，给定收入水平给定收入水平X的消费的消费支出支出Y的分布是确定的，即以的分布是确定的，即以X的给定值为条件的的给定值为条件的Y的的条件条件分分布布（Conditional distribution）是已知的，例如：）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，给定收入因此，给定收入X的值的值Xi，可得消费支出，可得消费支出Y的的条件条件均值均值（conditional mean）或）或条件期望条件期望（conditional expectation）：）：E(Y|X=Xi)。该例中：该例中：E(Y|X=800)=605 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。的条件均值均落在一根正斜率的直线上。15002000250030003500每月消费支出050010005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）出Y（元）2、总体回归函数、总体回归函数 在在给给定解释变量定解释变量Xi条件下条件下被解释变量被解释变量Yi的的期望期望轨迹轨迹称称为为总总体回归线体回归线（population regression 轨迹轨迹称称为为总总体回归线体回归线（population regression line），或），或更更一一般般地称地称为为总总体回归体回归曲曲线线（population regression curve）。）。相应的函数称相应的函数称为为（双双变量）变量）总总体回归函数体回归函数（population regression function,PRF）。）。)()|(iiXfXYE=含义：含义：回归函数（回归函数（PRF）说明被解释变量）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化变化的规律的规律的规律的规律。函数形式：函数形式：可以是线性或非线性的。可以是线性或非线性的。例例2.1.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:XXYE)|(iiXXYE10)|(+=为为线性函数。线性函数。其中，其中，0，1是未知参数，称为是未知参数，称为回归系数回归系数（regression coefficients）。）。三、随机扰动项三、随机扰动项Stochastic Disturbance 总体回归函数说明在给定的收入水平总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。下，该社区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。称为观察值围绕它的期望值的称为观察值围绕它的期望值的离离差差（deviation），是一个不可观测的随机变量，），是一个不可观测的随机变量，又称为又称为随机随机干扰项干扰项（stochastic disturbance）或或又称为又称为随机随机干扰项干扰项（stochastic disturbance）或或随机随机误误差差项项（stochastic error）。）。)|(iiiXYEY=例例2.1.1中，给定收入水平中，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和：个别家庭的支出可表示为两部分之和：该收入水平该收入水平下下所有所有家庭家庭的的平均消费支出平均消费支出E(Y|Xi)，称，称为为系统性（系统性（systematic）或或确定性（确定性（deterministic)部部分分；分分；其其他他随机随机或或非确定性（非确定性（nonsystematic)部部分分i。称为称为总总体回归函数体回归函数（PRF）的随机设定形式的随机设定形式。表表称为称为总总体回归函数体回归函数（）的随机设定形式的随机设定形式。表表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总总体体回归回归模型模型(PRM)。随机随机误误差差项项主要主要包括包括下列下列因因素素：在解释变量在解释变量中中被被忽略忽略的因的因素素的的影响；影响；影响影响不不显著显著的因的因素素 影响影响不不显著显著的因的因素素 未未知知的的影响影响因因素素 无无法法获获得得数数据据的因的因素素变量变量观测值观测值的的观测观测误误差差的的影响；影响；模型模型关系的关系的设设定定误误差差的的影响；影响；其其它它随机因随机因素素的的影响影响。关于随机关于随机项项的的说明说明：将将随机随机项项区分区分为为“源生“源生的随机的随机扰动”扰动”和和“衍生“衍生的随的随机机误误差差”机机误误差差”。“源生“源生的随机的随机扰动”扰动”仅仅包包含无含无数对被解释变量数对被解释变量影响影响不不显著显著的因的因素素的的影响影响，服从极限服从极限法法则则（大大数定数定律律和和中心极限中心极限定理），定理），满足满足基本假设基本假设。“衍生“衍生的随机的随机误误差差”包包含上述含上述所有所有内容内容，并不一定，并不一定服从极限服从极限法法则则，不一定不一定满足满足基本假设基本假设。服从极限服从极限法法则则，不一定不一定满足满足基本假设基本假设。在在9.3中中将进将进一一步讨步讨论论。四、样本回归函数四、样本回归函数Sample Regression Function,SRF1、样本回归函数、样本回归函数 问题问题：能否能否从从一一次抽次抽样样中获中获得总得总体的体的近似信息近似信息？如如果果可以可以，如如何何从抽从抽样样中获中获得总得总体的体的近似信息近似信息？如如果果可以可以，如如何何从抽从抽样样中获中获得总得总体的体的近似信息近似信息？在在例例2.1.1的的总总体体中中有有如如下下一个一个样本样本，能否能否从从该该样本估样本估计计总总体回归函数体回归函数？表表2.1.3 家庭消费支出与可支配收入家庭消费支出与可支配收入的一个随机的一个随机样本样本 X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 回回答答：能能X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 Y 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 该样本的该样本的散点图散点图（scatter diagram)：画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本样本回归回归线（线（sample regression lines）。样本回归线的函数形式为：样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10)(+=称为称为样本样本回归函数（回归函数（sample regression function，SRF）。注意：注意：这里将样本样本回归线回归线看成总总体回归线体回归线的近似替代则则2、样本回归模型、样本回归模型 样本样本回归函数的随机回归函数的随机形式形式：iiiiieXYY+=+=10式中，ie称为（样本）残差（样本）残差（或剩余剩余）项项（residual），代表了其他影响iY的随机因素的集合，可看成是i的估计量i。由由于方于方程程中引中引入了入了随机随机项项，成，成为为计量计量经济模型经济模型，因因此此也也称称为为样本样本回归回归模型模型（sample regression model）。回归分析的主要回归分析的主要目目的：的：根据样本回归函数根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数，估计总体回归函数PRF。iiiiieXeYY+=+=10iiiiiXXYEY+=+=10)|(2.2 一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设(Assumptions of Simple Linear Regression Model)Regression Model)一、关于模型设定的假设一、关于模型设定的假设二、关于解释变量的假设二、关于解释变量的假设三三、关于随机项的假设关于随机项的假设三三、关于随机项的假设关于随机项的假设说明说明 为为保证保证参参数数估估计量具有计量具有良好良好的性的性质质，通，通常常对对模型模型提提出出若若干干基本假设基本假设。实际实际上上这这些些假设与假设与所所采采用的用的估估计方法计方法紧密紧密相关。相关。下下面面的的假设假设主要是主要是针针对对采采用用普普通通最小二乘最小二乘法法（Ordinary Least Squares,OLS）估估计而计而提提出出的。的。所所以以，在有些，在有些教科书教科书中中称称为为“The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。Underlying the Method of Least Squares”。在不在不同同的的教科书教科书上上关于关于基本假设基本假设的的陈陈述略述略有不有不同同，下下面面进行了进行了重新重新归归纳纳。1、关于模型关系的假设、关于模型关系的假设 模型设模型设定正确定正确假设假设。The regression model is correctly specified.correctly specified.线性回归线性回归假设假设。The regression model is linear in the parameters。iiiXY+=10注意：注意：“linear in the parameters”的的含含义义是是什什么？么？2、关于解释变量的假设、关于解释变量的假设 确定性确定性假设假设。X values are fixed in repeated sampling.More technically,X is assumed to be sampling.More technically,X is assumed to be nonstochastic.注意：注意：“in repeated sampling”的的含含义义是是什么？什么？与与随机随机项项不相关不相关假设假设。The covariances between Xiand i are zero.由由确定性确定性假设可以假设可以推断推断。cov(,)0,1,2,()0,1,2,iiiiXinE Xin=LL 观测值观测值变变化化假设假设。X values in a given sample must not all be the same.无无完完全全共共线性线性假设假设。There is no perfect multicollinearity among the explanatory variables.适用于多元线性回归模型。适用于多元线性回归模型。时时间间序序列列数数据据作作样本样本时时间适用间适用 样本样本方方差假设差假设。随着样本容量的无限增加，解释变量随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。的样本方差趋于一有限常数。nQnXXi,/)(23、关于随机项的假设、关于随机项的假设 0均值假设均值假设。The conditional mean value of iis zero.同同方方差假设差假设。The conditional variances of iare identical.(Homoscedasticity)由模型设由模型设定正确定正确假设假设推断推断。()0,1,2,iiEXin=Lare identical.(Homoscedasticity)2(),1,2,iiVarXin=L是是否否满足满足需需要要检验检验。序序列列不相关不相关假设假设。The correlation between any two iand jis zero.是否满足需要检验。是否满足需要检验。(,)0,1,2,ijijCovX Xi jn ij=L4、随机项的正态性假设、随机项的正态性假设 在在采采用用OLS进行参进行参数数估估计计时时，不，不需需要正要正态态性性假假设设。在。在利利用用参参数数估估计量计量进行进行统计统计推断推断时时，需需要要假设假设随机随机项项的的概概率率分分布布假设假设随机随机项项的的概概率率分分布布。一一般般假设假设随机随机项服从项服从正正态态分分布布。可以利可以利用用中心中心极限极限定理（定理（central limit theorem,CLT）进行进行证证明明。正正态态性性假设假设。The s follow the normal 正正态态性性假设假设。The s follow the normal distribution.22(0,)(0,)iiNNID5、CLRM 和和 CNLRM 以以上上假设假设（正（正态态性性假设假设除外除外）也也称称为为线性回归线性回归模型模型的的经经典典假设假设或或高斯高斯（Gauss）假设假设，满足满足模型模型的的经经典典假设假设或或高斯高斯（Gauss）假设假设，满足满足该假设该假设的线性回归的线性回归模型模型，也也称称为为经经典典线性回归线性回归模型模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。）。同同时满足时满足正正态态性性假设假设的线性回归的线性回归模型模型，称，称为为经经典典正正态态线性回归线性回归模型模型（Classical Normal 典典正正态态线性回归线性回归模型模型（Classical Normal Linear Regression Model,CNLRM）。）。2.3 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计(Estimation of Simple Linear Regression Model)Regression Model)一、参数的普通最小二乘估计（一、参数的普通最小二乘估计（OLS）二、参数估计的最大或然法二、参数估计的最大或然法(ML)三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质四、参数估计量的概率分布及随机四、参数估计量的概率分布及随机干干扰项方扰项方差差的估计的估计一、参数的普通最小二乘估计（一、参数的普通最小二乘估计（OLS）1、最小二乘、最小二乘原理原理 根据根据被解释变量的所有被解释变量的所有观测值与估观测值与估计计值值之之差差的的平平方和方和最小最小的的原原则则求得参求得参数数估估计量计量。平平方和方和最小最小的的原原则则求得参求得参数数估估计量计量。220111()()nniiiiMinQYYYX=+)为为什么取什么取平平方和方和？2、正、正规规方程方程组组 Q$0=0)(XY 该该关于关于参参数数估估计量的线性方计量的线性方程组程组称称为为正正规规方方程程组组（normal equations）。）。Q$0100=0)(0)(1010iiiiiXXYXY组组（normal equations）。）。3、参数估计量、参数估计量 求求解正解正规规方方程组得到程组得到结结构参构参数的数的普普通通最小二乘最小二乘估估计量计量（ordinary least squares estimators）及及其其离离差差形式形式其其离离差差形式形式：=2220)(iiiiiiiiiiiXYXYnXXnXYXYX=XYxyxiii1021=221)(iiXXn 分分布布参参数的数的普普通通最小二乘最小二乘估估计量计量10222=nei4、“估计量估计量”（estimator）和）和“估计值估计值”(estimate)的的区别区别 如如果果给给出出的的参参数数估估计计结结果是果是由由一个具体一个具体样本样本资资 如如果果给给出出的的参参数数估估计计结结果是果是由由一个具体一个具体样本样本资资料料计算计算出出来的，来的，它它是一个是一个“估估计计值值”，或者，或者“点“点估估计计”，是，是参参数数估估计量的一个具体数计量的一个具体数值；值；如如果果把把上式上式看成看成参参数数估估计的一个计的一个表达表达式式，那么那么，则则是是Yi的函数，而的函数，而Yi是随机变量，所是随机变量，所以参以参数数估估计计也也是随机变量是随机变量，在在这这个个角度角度上上，称称之之为为“估估计计也也是随机变量是随机变量，在在这这个个角度角度上上，称称之之为为“估估计量计量”。二、参数估计的最大二、参数估计的最大似似然法然法(ML)1、最大、最大似似然法然法 最大最大似似然法然法(Maximum Likelihood,ML)，也也称称最大或然法最大或然法，是不是不同同于于最小二乘最小二乘法的另一法的另一种种参参最大或然法最大或然法，是不是不同同于于最小二乘最小二乘法的另一法的另一种种参参数数估估计方法，是计方法，是从从最最大大或或然原然原理理出出发发发发展起展起来来的的其其它它估估计方法的计方法的基础基础。基本基本原理原理：当当从从模型总模型总体随机体随机抽抽取取n组样本观组样本观测值测值后，后，最合最合理的理的参参数数估估计量应计量应该该使使得得从从模型模型中抽中抽取取该该n组样本观测值组样本观测值的的概概率率最最大大。中抽中抽取取该该n组样本观测值组样本观测值的的概概率率最最大大。ML必须必须已知已知随机随机项项的分的分布布。2、估计、估计步骤步骤),(210iiXNY+Yi的分布2102)(2121)(iiXYieYP=),(),(21210YYYPL =Yi的概率函数Y的所有样),(),(2110nYYYPL21022)(21)2(1iinXYne=Y的所有样本观测值的联合概率似然函数2102*)(21)2ln()ln(iiXYnLL=对数似然函数=0)(0)(21012100iiiiXYXY对数似然函数极大化的一阶条件=2212220)()(iiiiiiiiiiiiiXXnXYXYnXXnXYXYX结构参数的ML估计量3、讨论讨论 在在满足满足一系一系列列基本假设基本假设的的情况情况下下，模型模型结结构参构参数的数的最大最大似似然估计量然估计量与与普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量是是数的数的最大最大似似然估计量然估计量与与普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量是是相相同同的。的。但但是，分是，分布布参参数的数的估估计计结结果不果不同同。ei2222eineMLi=2:2:2=neOLSi三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质1、概述、概述 当当模型参模型参数数估估计计出出后，后，需需考考虑虑参参数数估估计计值值的的精精度度，即是，即是否能否能代代表总表总体体参参数的数的真真值值，或者，或者说说需需考察考察参参数数估估计量的统计性计量的统计性质质。考察考察参参数数估估计量的统计性计量的统计性质质。准准则则：线性性线性性(linear)，即，即它它是是否否是另一随机变量的线性是另一随机变量的线性函数函数；无偏无偏性性(unbiased)，即，即它它的的均值均值或或期望期望值值是是否否等等于于总总体的体的真实真实值；值；有有效效性性(efficient)，即即它它是是否否在所有线性在所有线性无偏无偏估估计计有有效效性性(efficient)，即即它它是是否否在所有线性在所有线性无偏无偏估估计计量量中中具有具有最小最小方方差差。这三这三个个准准则也则也称作称作估估计量的计量的小小样本样本性性质质。拥拥有有这这类类性性质质的的估估计量称计量称为为最佳最佳线性线性无偏无偏估估计量计量（best liner unbiased estimator,BLUE）。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大大样本样本或或渐渐近近性性质质(asymptotic properties)：渐渐近无偏近无偏性性，即，即样本容样本容量量趋趋于于无无穷穷大时大时，是，是否否它它的的均值均值序序列列趋趋于于总总体体真真值；值；一一致致性性，即，即样本容样本容量量趋趋于于无无穷穷大时大时，它它是是否否依依概概率率收收敛敛于于总总体的体的真真值；值；渐渐近近有有效效性性，即，即样本容样本容量量趋趋于于无无穷穷大时大时，是，是否否它它在在所有的一所有的一致致估估计量计量中中具有具有最小最小的的渐渐近近方方差差。2、高斯高斯马尔可夫马尔可夫定定理理(Gauss-Markov theorem)在给在给定经典线性回归的假定定经典线性回归的假定下，下，最小二乘估计最小二乘估计量量是具有是具有最小方最小方差差的线性的线性无偏无偏估计量估计量。量量是具有是具有最小方最小方差差的线性的线性无偏无偏估计量估计量。下下面面分分别别对对最小二乘最小二乘估估计量的线性性计量的线性性、无偏无偏性性和有和有效效性性进行进行证证明明，作，作为为不不熟悉熟悉的的同学同学的自的自学学内容内容。2、无偏性、无偏性，即估计量0、1的均值（期望）等于总体回归参数真值0与1 证证：+=+=kXkkXkYk)(证证：+=+=iiiiiiiiiikXkkXkYk10101)(易知02=iiixxk=1iiXk故+=iik 11=+=+=1111)()()(iiiiEkkEE=+=+=1111)()()(iiiiEkkEE同样地，容易得出=+=+=0000)()()()(iiiiEwEwEE3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性），即在所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量0、1具有最小方差。(1)先求0与1的方差(1)先求0与1的方差=+=)var()var()var()var(21021iiiiiiikXkYk=22222iiixxx=+=221020)/1()var()var()var(iiiiiikXnXwYw22222222221121+=+=iiiiixxXkXnnkXkXnn22222222221=+=+=iiiiixnXxnXnxxXn（2）证明最小方差性*假设*1是其他估计方法得到的关于1的线性无偏估计量：=iiYc*1其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数则容易证明)var()var(1*1同理，可证明0的最小二乘估计量0具有最的小方差 由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。+=+=+=)/lim()lim()lim()lim()lim(2111nxPxxPPkPPiiiiiii+=)/lim(21nxPi1110),(=+=+=QQXCov四、参数估计量的概率分布及随机四、参数估计量的概率分布及随机干干扰项方扰项方差差的估计的估计1、参数估计量的概率分布、参数估计量的概率分布)(2N)(22iXN),(211ixN),(200ixnN2、随机、随机误差误差项项的方的方差差2的估计的估计 2又又称称为为总总体方体方差差。由由于随机于随机项项i不不可观测可观测，只只能能从从i的的估估计计残残差差ei出出发发，对，对总总体方体方差进行估差进行估计。计。可以可以证证明明，2的最小二乘最小二乘估估计量计量为：22ei22=nei它它是关于是关于2的的无偏无偏估估计量。计量。在在最最大大或或然然估估计法计法中，求解似然方程：中，求解似然方程：eXYi=222)(10)(210212*222=+=iinXYL 2的最大或然估计量的最大或然估计量不具无偏不具无偏性性，但却具有，但却具有一一致致性性。nXYnii=10)(2.4 一元线性回归模型的一元线性回归模型的统统计检验计检验Statistical Test of Simple Linear Regression ModelRegression Model一、一、拟合优度拟合优度检验检验二、变量的二、变量的显著显著性检验性检验三三参数的参数的置信区置信区间间三三、参数的参数的置信区置信区间间说 明说 明 回归分析回归分析是要通过是要通过样本样本所所估估计的计的参参数来数来代替代替总总体的体的真实真实参参数，或者数，或者说说是用是用样本样本回归线回归线代替代替总总体回归线体回归线体回归线体回归线。尽管尽管从从统计性统计性质质上上已知已知，如如果有果有足足够够多多的的重复重复抽抽样样，参参数的数的估估计计值值的的期望期望（均值均值）就等就等于于其其总总体的体的参参数数真真值值，但但在一在一次抽次抽样样中中，估估计计值值不不一定一定就等就等于于该该真真值值。那么那么，在一在一次抽次抽样样中中，参参数的数的估估计计值与值与真真值值的的 那么那么，在一在一次抽次抽样样中中，参参数的数的估估计计值与值与真真值值的的差差异异有有多多大大，是，是否显著否显著，这就需这就需要要进进一一步步进行进行统计统计检验检验。主要主要包括包括拟合优度拟合优度检验、检验、变量的变量的显著显著性性检验及检验及参参数的区间数的区间估估计。计。一、一、拟合优度拟合优度检验检验Goodness of Fit,Coefficient of Determination1、回、回答答一一个个问题问题 拟合优度拟合优度检验检验拟合优度拟合优度检验检验：对：对样本样本回归回归直直线线与样本观测值与样本观测值之之间间拟合拟合程程度度的的检验检验。之之间间拟合拟合程程度度的的检验检验。问题问题：采采用用普普通通最小二乘最小二乘估估计方法，计方法，已经已经保证保证了模型了模型最好最好地地拟合拟合了样本观测值了样本观测值，为为什么什么还还要要检验检验拟合拟合程程度？度？2、总、总离差平离差平方和的分解方和的分解iiXY10+=Y的的i个个观测值与样本均观测值与样本均)(YYyii=iiiiiiiyeYYYYYYy)()(+=+=Y的的i个个观测值与样本均观测值与样本均值值的的离离差差由由回归回归回归回归直直线不线不能能离离差差分解分解为为两两由由回归回归直直线解线解释的释的部部分分回归回归直直线不线不能能解释的解释的部部分分离离差差分解分解为为两两部部分分之之和和对于所有样本点，则需考虑离差的平方和：对于所有样本点，则需考虑离差的平方和：记=22)(YYyTSSii总总体体平平方和方和（Total Sum of Squares）回归回归平平方和方和（Explained=22)(YYyESSii回归回归平平方和方和（Explained Sum of Squares）=22)(iiiYYeRSS残残差平差平方和方和（Residual Sum of Squares）TSS=ESS+RSSY的观测值围绕其均值的总离差的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力，另一部分则来自随机势力(RSS)。在给定样本中，。在给定样本中，TSS不变，不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在在TSS中占的比重越大，因此中占的比重越大，因此拟合优度拟合优度：回归回归平平方和方和ESS/Y的总的总离差离差TSS3、可决可决系数系数R2统统计量计量TSSRSSTSSESSR=12 是一个非负的统计量。是一个非负的统计量。取取值值范范围围：0，1 越越接接近近1，说明说明实际实际观测观测点离点离回归线回归线越越近近，拟拟合优度越高合优度越高。TSSTSS 随着随着抽抽样样的不的不同同而不而不同同。为此为此，对，对可可决决系数的系数的统计统计可可靠靠性性也也应应进行检验进行检验，这这将将在在第第3章章中中进进行行。二、变量的二、变量的显著显著性检验性检验Testing Significance