chap0-Introduction [兼容模式].pdf
2012/9/101数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS计算方法（B）主讲：张瑞E-Mail:http:/ 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第0章绪论计算方法的作用计算方法的内容误差一些例子2012/9/103数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS现实中，具体的科学、工程问题的解决：实际问题实际问题物理模型物理模型数学模型数学模型数值方法数值方法计算机求结果计算机求结果计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解近似解方法2012/9/104数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算机计算机近似解近似解2012/9/105数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS计算方法的特性 理论性：数学基础 实践性计算方法连接了模型到结果的重要环节随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。2012/9/106数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS学习的目的、要求会套用、修改、创建公式编制程序完成计算课程评分方法课程评分方法(Grading Policies)总分总分(100)=平时作业平时作业(20)+上机作业上机作业(15)+期末期末(65)2012/9/107数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS3、到网站 http:/ 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS内容2、数值代数数值代数线性代数的数值求解线性代数的数值求解，如解线性方程组如解线性方程组、逆矩阵逆矩阵、特征值特征值、特征向量特征向量3、微分方程微分方程常微分常微分，Runge-Kutta法法、积分法积分法1、数值逼近数值逼近数学分析中的数值求解数学分析中的数值求解，如微分如微分、积分积分、baaFbFdxxf)()()(/iiAxbxDD20107.9,20n100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次2012/9/109数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差 绝对误差设*x为精确值，x为近似值，xxe*为误差或绝对误差例如：)1ln()(xxf作Taylor展开，10 ,)1)(1()1()1(1111nnniniixnxxi舍弃，即为误差2012/9/1010数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS相对误差*xxxxeer称为相对误差150分满考139，100分满考90，两者的绝对误差分别为11和10，优劣如何？前者相对误差(150139)/150=0.073，后者相对误差(100-90)/100=0.1002012/9/1011数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS有效位数当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称位x的有效位数。有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差的近似值3.141具有几位有效位数？的近似值3.142具有几位有效位数？2012/9/1012数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差来源原始误差模型误差（忽略次要因素，如空气阻力）物理模型，数学模型方法误差截断误差（算法本身引起）计算误差舍入误差（计算机表示数据引起）2012/9/1013数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差的运算yxeeyxyx)()(*1、*yxeeyx两相近数相减，相对误差增大|)e|e|(|y|,xmax|)()()()(yx*yxexyexxyyyxyxyx2、2012/9/1014数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS例子例子求根0120002xx005.0 2420002000222,1xx0050005.0 1242000200021221xxxx2012/9/1015数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS*)()(yyyeexyyxxyyyxyyxyyxyxyxxy3、小数作除数，绝对误差增大误差的运算2012/9/1016数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一些例子dxxxInn1051、ndxxdxxxxIInnnnn15551011011则，我们有构造方法如下：56ln ,5101IInInnnI1.019.0 ,15181IInInnnI2.2012/9/1017数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn00.1820.1820.18210.0880.0900.08820.0580.0500.05830.04310.0830.043140.0343-0.1650.034350.02841.0250.028460.024-4.9580.02470.02124.9330.02180.019-124.5400.019nInInI2012/9/1018数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS原因：对格式1，如果前一步有误差，则被放大5倍加到这一步称为不稳定格式稳定格式，对舍入误差有抑制作用在我们今后的讨论中在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避将不可回避，算法的算法的稳定性稳定性会是一个非常重要的话题会是一个非常重要的话题。2012/9/1019数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS01yaxayx2、有时候，模型本身就是病态（系数引入小变化，解产生大变化）25.50 99.0 xa81.55 991.0 xa2012/9/1020数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS例例：蝴蝶效应蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北风和日丽的北京就刮起台风来了京就刮起台风来了？！？！NYBJ以上是一个以上是一个病态问题病态问题/*ill/*ill-posed problem*/posed problem*/关于本身是病态的问题关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧我们还是留给数学家去头痛吧！2012/9/1021数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSLab 01.级数计算级数计算Hamming(1962)x取值取值,x=0.0,0.1,1.0;10.0,20.0,300.00.绝对误差小于绝对误差小于1.0e-6.输出输出两列输出两列输出：x 和和(x)如如 C fprintf:fprintf(outfile,“%6.2f,%16.12fn,x,psix);/*hererepresents a space*/1)(1)(kxkkx 2012/9/1022数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSSample Output(represents a space)0.00,1.6449340668480.10,1.534607244904.1.00,1.00000000000010.00,0.000000000000.300.00,0.0209422129342012/9/1023数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSH.W.给出计算如下式子的方法，以达到相当的精度nnaxaxf)()()1(axaxfsin)sin()()2(axxxf2)()3(其中，()、()中x接近，()中xa2012/9/1024数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一些基本数学定理 介值定理若f(x)在a,b上连续，则任意C在f(a)与f(b)之间，都存在,ca b使 f(c)=C若f(x)在a,b上连续，x1,xn为a,b内的点，g1,gn为同号的实数，则存在使,a b11()()nniiiiif x gfg2012/9/1025数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 积分均值定理2012/9/1026数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS Lagrange中值定理若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内有有限导数f(x)，则存在a与b之间的点c，满足)()()(cfabafbf2012/9/1027数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS Taylor展开
