数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章.pdf

第十二章 多元函数的微分学 习习 题题 12.1 偏导数与全微分偏导数与全微分 1 求下列函数的偏导数：（1）；（2）；62456yyxxz+=)ln(222yxxz+=（3）yxxyz+=；（4）；)(cos)sin(2xyxyz+=（5）；（6）)sin(coseyxyzx+=yxz2tan；（7）xyyxzcossin=；（8）；yxyz)1(+=（9）；（10）)lnln(yxz+=xyyxz+=1arctan；（11）；（12）)(222ezyxxu+=zyxu=;（13）2221zyxu+=；（14）；zyxu=（15），为常数；（16）为常数。1niiiua=xiajiijnjijiijaayxau=,1,解解(1)234245yxxxz=，yxyyz45126=。(2)223222)ln(2yxxyxxxz+=，2222yxyxyz+=。(3)yyxz1+=，2yxxyz=。(4)2sin()cos(xyxyyxz=，)2sin()cos(xyxyxyz=。(5)sinsin(cosyyxyexzx+=，)sincos(yyxeyzx=。(6)=yxyxxz22sec2，=yxyxyz2222sec。(7)xyyxyxzcoscos1=xyyxxysinsin2+，xyyxyxyzcoscos2=xyyxxsinsin1。1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(8)12)1(+=yxyyxz，+=xyxyxyxyyzy1)1ln()1(。(9)yxxzln1+=，)ln(1yxyyz+=。(10)注意，arctanarctanzxy=+211xxz+=，211yyz+=。(11)3(222zyxxu+=)(222zyxxe+，=yuxy2)(222zyxxe+，=zuxz2)(222zyxxe+。(12)1=zyxzyxu，=yuzyxzxln，=zuzyxzxy2ln。(13)()23222zyxxxu+=，=yu()23222zyxy+，=zu()23222zyxz+。(14)1=zyzxyxu，=yuxxzyzyzln1，=zuyxxyzyzlnln。(15)niaxuii,2,1,?=。(16)niyaxunjjiji,2,1,1?=，njxayuniiijj,2,1,1?=。2.设22),(yxyxyxf+=，求及。)4,3(xf)4,3(yf解解 因为22221,1xyxyffxyx=+y，所以 52)4,3(=xf，51)4,3(=yf。3.设2eyxz=，验证02=+yzyxzx。证证 由于22231e,exxyyzzxyyy=2x，所以 02=+yzyxzx。2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m4.曲线=+=4,422yyxz在点处的切线与 轴的正向所夹的角度是多少？)5,4,2(x解解 以 x 为参数，曲线在点处的切向量为)5,4,2(2(,)(1,0,1xdx dy dzdx dx dx=)，设它与 轴的正向所夹的角度为x，则(1,0,1)1cos(1,0,0)22=，所以4=。5.求下列函数在指定点的全微分：（1），在点；223),(xyyxyxf=)2,1(（2），在点；)1ln(),(22yxyxf+=)4,2(（3）2sin),(yxyxf=，在点和)1,0(2,4。解解(1)因为，所以 22(,)(6)(32)df x yxyydxxxy dy=+dydxdf=8)2,1(。(2)因为222222(,)11xydf x ydxdyxyxy=+，所以 dydxdf218214)4,2(+=。(3)因为23cos2sin(,)xxdf x ydxdyyy=，所以 dxdf=)1,0(,dydxdf8282)2,4(=。6.求下列函数的全微分：（1）；（2）；xyz=xyxyze=（3）yxyxz+=；（4）22yxyz+=；（5）222zyxu+=；（6）。)ln(222zyxu+=解解(1)。dyxyydxydzxx1ln+=(2)。)(1(xdyydxxyedzxy+=3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(3)dyyxxdxyxydz22)(2)(2+=。(4)dxyxxydz2322)(+=dyyxx23222)(+。(5)222zyxzdzydyxdxdu+=。(6)222)(2zyxzdzydyxdxdu+=。7.求函数在点处的沿从点到点方向的方向导数。yxz2e=)0,1(P)0,1(P)1,2(Q解解 由于12(2,1)(1,0)1(1,1)(,)|(2,1)(1,0)|2PQv vPQ=?v，且 22e,2 eyyzzxxy=，所以 1212zzzvvxy=+=v。8.设，求它在点处的沿方向22yxyxz+=)1,1()sin,(cos=v的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解解 由于 cossin(2)cos(2)sinzzzxyyxxy=+=+v，所以(1,1)cossinz=+vsin()sin2sincos()244=+=,(1)当4=时，沿)4sin,4(cos=v v，方向导数最大。4课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(2)当54=时，沿)45sin,54(cos=v v，方向导数最小。(3)当37,44=时，沿)43sin,34(cos=v v 或)47sin,74(cos=v v，方向导数为零。9 如果可微函数在点处的从点到点方向的方向导数为 2，从点到点方向的方向导数为-2。求),(yxf)2,1()2,1()2,2()2,1()1,1(（1）这个函数在点处的梯度；)2,1(（2）点处的从点到点方向的方向导数。)2,1()2,1()6,4(解解 ，1v=(2,2)(1,2)(1,0)=110zzzzxyx2=+=v。2v=(1,1)(1,2)(0,1)=，20(1)zzzzxyy2=+=v。所以在处，)2,1(2zzxy=。(1)。)2,2()2,1(grad=f(2)因为(4，,6)(1,2)(3,4)=22(3,4)(3,4)534=+v，所以(1,2)3412255f 45=+=v v。10.求下列函数的梯度：（1）；（2）)sin(22xyyxz+=+=22221byaxz；（3），在点。zyxyzxyzyxu5264332222+=)1,1,1(解解(1)。)cos()sin(2),cos(2(grad23xyxyxyyxyyxz+=(2)2,2(grad22byaxz=。(3)，。grad(236,4342,645uxyyxzzy=+)5,9,11()1,1,1(grad=u11.对于函数，在第象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快的方向。xyyxf=),(5课后答案网 w w w.k h d a w.c o m解解 在点,函数值增长最快的方向为)0,0(),(yx),(gradxyf=;在点,由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长最快的方向。设沿方向)0,0()sin,(cos=v自变量的改变量为 cos,sinxtyt=，则函数值的改变量为 221(,)(0,0)cossinsin22fxyfx ytt=，由此可知当3,44=时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为和。)1,1()1,1(12 验证函数 3),(xyyxf=在原点连续且可偏导，但除方向和)0,0(ieie（）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。2,1=i解解 3(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim0(0,0)x yx yf x yxyf=，3000(0,0)lim0 xxxfx =，3000(0,0)lim0yyyfy =，所以函数在原点连续且可偏导。取方向)0,0()sin,(cos=v，则 0(0cos,0sin)(0,0)limtffttft+=v 30cossinlimtttt+=330sin2lim2tt+=，当sin20=，即2k=时，极限存在且为零；当sin20，即2k时，极限不存在。所以除方向和ieie（2,1=i）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。13.验证函数=+=0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf 6课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 在原点连续且可偏导，但它在该点不可微。)0,0(解解 由于 22220(,)(0,0)xyxyx yxy+，所以(,)(0,0)lim(,)x yf x y=22(,)(0,0)lim0(0,0)x yxyfxy=+。由定义，20000(0,0)lim0 xxxxfx +=，20000(0,0)lim0yyyyfy+=。所以函数在原点连续且可偏导。但)0,0(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxf+y=(,)fxy=22x yxy+22()oxy+，所以函数在不可微。)0,0(14.验证函数=+=0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf 的偏导函数在原点不连续，但它在该点可微。),(),(yxfyxfyx)0,0(解解 由定义，222201(0)sin00(0,0)lim0 xxxxfx+=，当时，(,)(0,0)x y 22222222121(,)2 sincos,0 xxfx yxxyxyxyxy=+。由于 7课后答案网 w w w.k h d a w.c o m00lim(,)limxxxfx y=x y=22111(2 sincos)222xxxx，极限不存在，所以(,)xfx y在原点不连续。同理)0,0(,)yfx y在原点也不连续。但由于)0,0(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxf+y=22221()sinxyxy+22()oxy=+，所以函数在可微。)0,0(15.证明函数 =+=0,0,0,2),(2222422yxyxyxxyyxf 在原点处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。)0,0(解解 函数沿方向)sin,(cos=v的方向导数为 0(0cos,0sin)(0,0)limtffttft+=v 23242202cossinlim0,(cossin)tttt+=+所以函数在原点处沿各个方向的方向导数都存在。但当)0,0(,)x y沿曲线2xky=趋于时，极限)0,0(2424420022lim(,)lim1yyx kykykf x yk yyk=+与 k 有关，所以函数在原点不连续，因而不可微。16计算下列函数的高阶导数：（1）xyzarctan=，求22222,yzyxzxz；（2）)cos()sin(yxyyxxz+=，求22222,yzyxzxz；（3），求xyxze=2323,yxzyxz；8课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（4），求)ln(czbyaxu+=22444,yxzxu；（5），求qpbyaxz)()(=qpqpyxz+；（6），求zyxxyzu+=erqprqpzyxu+。解解 (1)由 2222y11zyxxxyyx=+222111zxyxxyyx=+，得到 22222)(2yxxyxz+=,=yxz222222)(yxxy+,=22yz222)(2yxxy+。(2)由(1)sin()cos()zyxyxxyx=+，(1)cos()sin()zxxyyxyy=+得到)sin()cos()2(22yxxyxyxz+=,=yxz2)sin()1()cos()1(yxxyxy+,=22yz)sin()2()cos(yxxyxy+。(3)由 2exyzxy=，232exyzxy=，=yxz22(2)xyxx y e+得到 xyeyxxyyxz)42(2223+=,xyeyxxyxz)3(3223+=。9课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(4)经计算，可依次得到 1()uaxbyczaxaxbyczxaxbycz+=+，2222()()()uaaxbycza2xaxbyczxaxbycz+=+，323332()2()()uaaxbycza3xaxbyczxaxbycz+=+，43443 2()6()()uaaxbycza44xaxbyczxaxbycz+=+，3322uuxyy x=22332()2()()aaxbycza baxbyczyaxbycz+=+，442222222443 2()6()()uua baxbycza bxyyxaxbyczyaxbycz+=+。(5)()()p qpqpqqppqpqpqzzyxaxyxyxy+=b()()ppqqpqdxadybdxdy=!p q=。(6)对 x，y，z 应用 Leibniz 公式，()()()()()(p q rpxqyrzpxqyrzpqrpqrpqruxeyezedxedyedz)exyzxyzdxdydz+=。=()()()xyzxp eyq ezr e+=()()()x y zxpyq zr e+。17计算下列函数的高阶微分：（1），求；)ln(xyxz=z2d（2），求；)(sin2byaxz+=z3d（3），求；)(e222zyxuzyx+=+u3d（4），求。yzxsine=zkd解解 (1)(ln()1)xdzxydxdyy=+，10课后答案网 w w w.k h d a w.c o m222221dyyxdxdyydxxzd+=。(2)，2sin()cos()()sin2()()dzaxbyaxby d axbyaxby adxbdy=+=+222cos2()()d zaxby adxbdy=+，33)(2sin4bdyadxbyaxzd+=。(3)，222()()(222)x y zduexyzdxdydzxdxydyzdz+=+22222()()2(222)()x y zd uexyzdxdydzxdxydyzdz dxdydz+=+22222dxdydz+2()()x y zexyzdxdydz+，3d u=222326()()xdxydyzdz dxdydz+2226()()dxdydzdxdydz+2223dx3222)66(dyyzyx+(66)x y zexyzx+=+dz)66(3222dzzzyx+dydxyxzyxezyx2222)224(3+dzdyzyzyx2222)224(+dxdzxzzyx2222)224(+2222)242(dxdyyxzyx+2222)242(dydzzyzyx+)242(2222dzdxxzzyx+2226(222)x y zexyzxyz dxdy+。(4)()kkd zdxdyxy=+0sinixk ikikik iikeydxdyixyi=0sin2kxiikkieydx dyik i=+。18函数满足),(yxfz=xyyxz+=11sin，及。3sin2),0(yyyf+=求的表达式。),(yxf解解 对 x 积分，得到 11课后答案网 w w w.k h d a w.c o m1(,)sinln(1)()f x yxyxyg yy=+,再将代入上式，得到 3sin2),0(yyyf+=3()2sing yyy=+，所以 3)1ln(1sin)2(),(yxyyyxyxf+=。19验证：（1）满足热传导方程)sin(e2nyzxkn=22yzkxz=；（2）yxzuarctan=满足 Laplace 方程0222222=+zuyuxu；证证（1）由 2cos()kn xznenyy=，2222sin()kn xzn enyy=，得到 zx=22sin()kn xkn eny=22zky。（2）由 ux=22111yzzyxyxy=2+，22ux=222()2xyzxy+，uy=222211xxzzyxyxy=+22uy=222()2xyzxy+，ux=arctanxy，220uz=，得到 0222222=+zuyuxu。20设trttrf42e),(=，确定使得满足方程 f =rfrrrtf221。解解 将 12课后答案网 w w w.k h d a w.c o mft=212241()4rtttre+，fr=21412rttre，2frrr=21224431()24rttrtre+，代入方程，解得 23=。21求下列向量值函数在指定点的导数：（1），在T),sin,cos()(cxxbxax=f4=x点；（2），在T23)tan,cot3(),(zyxzexzyxy+=f4,2,1点；（3），在T),sin,cos(),(vvuvuvu=g),1(点。解解(1)()(sin,cos,)Txax bx c=f,()4f fT),22,22(cba=。(2)2223cotcsc(,)32 tansecyyezezx y z2xyzyz=f，(1,2,)4ff2232348ee=。(3)，cossin(,)sincos01vuvu vvuv=g),1(gg=101001。22设为向量值函数。33:RR f（1）如果坐标分量函数zzyxfyzyxfxzyxf=),(,),(,),(321，证明的导数是单位阵；f（2）写出坐标分量函数的一般形式，使的导数是单位阵；f（3）如果已知的导数是对角阵，那么坐标分量函数应该具有什么样的形式？f)(),(),(diag(zryqxp解解（1）由于 1(,)(1,0,0)fx y z=，2(,)(0,1,0)fx y z=，3(,)(0,0,1)fx y z=，13课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以的导数是单位阵。f(2)由1(,)(1,0,0)fx y z=，可知1(,)f x y z与 y，z 无关，所以 11(,)f x y zxC=+，同理可得 22(,)fx y zyC=+，33(,)fx y zzC=+。(3)由1(,)(),0,0)fx y zp x=，可知1(,)f x y z与 y，z 无关，所以 1(,)()f x y zp x dx=，同理可得 2(,)()fx y zq y dy=，3(,)()fx y zr z dz=。14课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习题 12.2 多元复合函数的求导法则 习题 12.2 多元复合函数的求导法则 1 利用链式规则求偏导数：（1）tytxyxtz=+=,1),23tan(22，求tzdd；（2），求32,sin,tytxezyx=22ddtz；（3）1)(2+=azyewax，xaysin=xzcos=，求xwdd；（4）yxvyxuvuz23,ln2=，求yzxz,；（5），求222zyxeu+=xyzsin2=yuxu,；（6），求)sin()(222zyxzyxw+=stex=tey=tsez+=twsw,；（7），)cos(22yxyxz+=vux+=，vyarcsin=，求uvzuz2,；以下假设具有二阶连续偏导数。f（8）=yxxyfu,，求222,yuyxuyuxu；（9），求)(222zyxfu+=yxuxuzuyuxu222,；（10），),(zyxfw=vux+=，vuy=，uvz=，求vuwvwuw2,。解解(1)记，则 232utxy=+2dzdt=()dz dudzuu dxu dydu dtdutx dty dt=+221134()2sec2xyutt=+=23242(2)sec(2)ttt+。(2)dzdt=222cos23(cos6)xyxyz dxz dyetetztx dty dt+=2t，3222sin2222(cos6)(cos6)(cos6)sin12 ttd zdzdttzttettttdtdtdt=+=。1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(3)dwww dyw dzdxxy dxz dx=+222()cos(sin)111axaxaxaeyzeeaxxaaa=+sinaxex=。(4)dzzuz dvdxuxv dx=+212 ln3uuvyv=+22223ln(32)(32)xxxyyy=+xy，zzuzvyyuyv=+222 ln()(2)xuuvyv=+223222ln(32)(32)xxxyyy=xy。(5)uuduzxxdz=+xx222cosuxuz yx=+2242sin4(22sin cos)xyyxexyx+=+uuduzyydzy=+222 sinuyuzyx=+2242sin32(24sin)xyyxeyy+=+x。(6)记，222zyxu+=zyxv+=。则 ww xw ywsxsysz=+zs(sin2cos)0(sin2cos)(sin2cos)xuxvuuyvuzuzvu=+(sin2cos)(sin2cos)ss tteuxvueuzvu+=+ww xw ywtxtytz=+zt(sin2cos)(sin2cos)(sin2cos)seuxvuyuyvuzuzvu=+(sin2cos)(sin2cos)(sin2cos)sts teuxvueuyvueuzvu+=+。2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(7)zzxzyu2sin()1 2sin()0 xxyyxy=+ux uy=+2()sin(arcsin)uvuvv=+，2()zzv uvu=212cos(arcsin)(1)1uvvv+。(8)记,xvxy wy=，则 uuvuwxvxwx=+=121,xxyfxyfxyyyy+,uuvuwyvywy=+122,xxxxfxyfxyyyy=,2()uux yxy=1212221,xxxxfxyfxyxfxyfxyyyyxyyxy=+x=1221,xxfxyfxyyyy+yxxyfyxyxxyxyf,22311,22()uuyyy=212322,xxxxfxyxfxyfxyyyyyyy=+xy 221132,xxxfxyx fxyyyy=+yxxyfyxyxxyfyx,222421222。(9)记，则 22vxyz=+2udfvxdvx=2222()xfxyz=+,udfvydvy=2222()yfxyz=+,udfvzdvz=2222()zfxyz=+,3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m)(222222zyxfxu+=2222()xfxyzx+2222()fxyz=+)(42222zyxfx+,2ux y 2222(yfxyz)x=+)2224(xyfxyz=+。(10)ww xw yw zuxyffvfuxuyuz=+z=+,ww xw yw zvxyffufvxvyvz=+z=+,2wu v yxzzfffwfuuvuuu=+yyyxxxzffffffxyzxyfzxuyuzuxuyuzu=+()zzzfffxyzuxuyuzu+()()xxxzyyyzzzzfuv ffuv ffuvf=+。2 设具有连续偏导数，且，求。),(yxf1),(2=xxfxxxfx=),(2),(2xxfy解解 在等式两边对 x 求导，有 1),(2=xxf22(,)2(,)0 xyffyfx xxfx xxyx+=+=，再将代入，即可得到 xxxfx=),(221),(2=xxfy。3设具有连续偏导数，且),(yxf1)1,1(=f，2)1,1(=xf，。如果3)1,1(=yf),(,()(xxfxfx=，求)1(。解解 ()()(,()(,()dxffdy xx y xx y xdxxydx=+，其中 4课后答案网 w w w.k h d a w.c o m()(,)y xf x x=，()(,)(,)dy xffx xxdxxyx=+。由于，以代入上述等式，得到(1)(1,1)1yf=1x=(1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)17xyxyffff=+=。4 设)(22yxfyz=，其中具有连续导数，且)(tf0)(tf，求yzyxzx+11。解解.zx=2222222222()2()(yf xyxyfxyfxyxfxy=)，zy=2222222222222221()12()()()(yf xyy fxyf xyfxyyf xyfxy=+()，直接计算可得)(11122yxyfyzyxzx=+。5设yxzarctan=，vux+=，vuy=，验证 22vuvuvzuz+=+。证证 zzxzux uy =+yu 2222111112xyxyyxxxyyy=+=+，zzxzvx vy =+yv 2222111112xyxyyxxxyyy+=+=+，又由于22222()()222xyuvuvuv+=+=+，所以 zzuv+222yxy=+2uvuv2=+。6设和具有二阶连续导数，验证（1）满足)(22yxyu=uyxyuxxuy=+；（2）)()(atxatxu+=满足波动方程22222xuatu=。5课后答案网 w w w.k h d a w.c o m证证（1）22()uxyxx=y 222222()()2()xyyxyxyxyx=，2222()()uxxyyyy=+y 222222()()()xyxyyxyy=+22222()2()xyyxy=，所以 uyxyuxxuy=+。（2）()()uxatxatx=+，22()()uxatxatx=+，()()uaxataxatt=+，2222()()uaxataxatt=+，所以 22222uuatx=。7设具有二阶连续偏导数，写出),(yxfz=2222yzxz+在坐标变换=xyvyxu2,22 下的表达式。解解 zzuzvxuxv=+x22zzxyuv=+，222)v2222(zzzuzxxuuxv u=+x2222()zuzvyu vxvx+2222222484zzzxxyyuuv u=+2zv，zzuzyuyv =+vy=22zzyxuv+，222)2222(zzzuzyyuuyv u=+vy2222()zuzvxu vyvy+2222222484zzzyxyxuuv u=+2zv。6课后答案网 w w w.k h d a w.c o m由于，所以 224224222(uvxx yyxy+=+=+2)2222yzxz+2222224()()zzxyuv=+)(4222222vzuzvu+=。8设，求=xytdteyxf02),(222222yfxyyxfxfyx+。解解 22x yfyex=，22x yfxey=，222322x yfxy ex=，22222222x yx yfex y ey x=，222322x yfx yey=。所以 222222yfxyyxfxfyx+222yxe=。9如果函数满足：对于任意的实数t及),(yxfyx,，成立),(),(yxfttytxfn=，那么称为 次齐次函数。fn（1）证明 次齐次函数满足方程 nfnfyfyxfx=+；（2）利用上述性质，对于22yxz+=求出yzyxzx+。证证 在等式两边对 t 求导，),(),(yxfttytxfn=(,)f tx tyt12(,)(,)xf tx tyyf tx ty=+1(,)nntf x y=，将 t=1 代入即得到 nfyfyxfx=+。(2)由于(,)(,)z tx tytz x y=，所以 n=1，由（1）22yxyzyxzx+=+。10设+=yxgyxxyfz,，其中具有二阶连续偏导数，fg具有二阶 7课后答案网 w w w.k h d a w.c o m连续导数，求yxz2。解解 令,xuxy vy=，则 zy=fufvdgv()uyv ydvy +()()1222,xxxfu vfu vgvyy=，2zx y()()()122211,fu vfu vgvyy=()()1112(,uvx fu vfu v)xx+()()()21222,xuvfu vfu vgvyxx+vx 1,xfxyy=yxxyfy,122+yxxyxyf,11223,xxfxyyy yxgy12yxgyx3。11设向量值函数：f2R3R的坐标分量函数为=+=.,2222uvzvuyvux 向量值函数g：2R2R的坐标分量函数为=.sin,cosrvru 求复合函数的导数。gf?解解 ，22(,)22uvu vuvvu=fcossin(,)sincosrrr=g，所以()(,)(,)(,)rr=fgg2 cos2 sin2 cos2 sinsincosrrrrrr=cossinsincosrr r?fg=22202 cos22sin2sin2cos2rrrrr。12设，),(vuxfw=),(zygu=),(yxhv=，求zwywxw,。8课后答案网 w w w.k h d a w.c o m解解 wffvxxv=+xxxvff h=+,wfufvyuyvyyuyv=+f gf h=+,uzwfuf gzuz=。13设，vuz=22lnyxu+=，xyvarctan=，求。dz解解 zzuzvxuxv x =+122221ln1vvxyvuuuxyxyx=+1222lnvv2xyvuuuxyx=+y，zzuzyuyv =+vy 122211ln1vvyvuuuxyxyx=+1222lnvvyxvuuu2xyx=+y，所以 zzdzdxdyxy=+12222lnvxdxydyydxxdyuvxyxy+=+uu，其中22lnyxu+=，xyvarctan=。14设xyeyxzarctan22)(+=，求dz和yxz2。解解 arctanarctan222212()1yyxxzyxexy exxyx=+arctan(2)yxxy e=+，arctanarctan222112()1yyxxzyexyeyxyx=+arctan(2)yxyx e=，9课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以 zzdzdxdyxy=+arctan(2)(2)yxxy dxyx dy e=+；2zx y arctanarctan(2)yyxxexy e=+.2111xyx+22arctan22yxyxyxexy=+。15求下列函数的全微分：（1）；)(222czbyaxfu+=（2）；),(xyyxfu+=（3）()zyxezyxfu+=),1ln(222。解解(1)令，则 22vaxbycz=+2()()vvvdufvdxdydzxyz=+2222()()faxbyczaxdxbydyczdz=+。(2)uududxdyxy=+1212()()fyfdxfxfdy=+。(3)uuududxdydzxyz=+12222()1fxdxydyzdzxyz=+2()(x y zefdxdydz+)+。16 设具有任意阶连续导数，而)(tf)(czbyaxfu+=。对任意正整数，求。kukd解解 当时，成立 1k=()()dufaxbycz d axbycz=+()()faxbycz adxbdycdz=+，应用数学归纳法，假设对于 成立 kkkkcdzbdyadxczbyaxfud)()(+=，则对于成立 1k+1()kkdud d u+=()()()kkd faxbycz adxbdycdz=+)(1)1()(kkfaxbycz adxbdycdz+=+。由数学归纳法可知对任意正整数 成立 k 10课后答案网 w w w.k h d a w.c o mkkkcdzbdyadxczbyaxfud)()(+=。17.设函数在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程),(yxfz=0),(),(=+yxyfyxxfyx,证明：为常数。),(yxf证证 当时，0r=)sin,cos(rrfr+)sin,cos(cosrrfx)sin,cos(sinrrfy()0),(),(1=+=yxyfyxxfryx,所以 )()sin,cos(Frrf=。再利用在点的连续性，得到),(yxf)0,0(,)(0,0)0lim(,)lim(cos,sin)()(0,0)x yrf x yf rrFf=，即()F为常数，所以为常数。),(yxf18设元函数在nfnR上具有连续偏导数，证明对于任意的，=x),(21nxxx?),(21nyyy?=ynR，成立下述 Hadamard 公式公式：=+=niiiidttxfxyff110)()()()(xyxxy。证证 设()()(xyxxyx+=tftF，则()()(1)(0)ffFF=yx10()F t dt=。由于 1()()()niiiii)xt yxfF ttxt=+=+xyx 1()(niiiifyxtx=+)xyx。所以()()(1)(0)ffFF=yx 101()()niiiifyxtdtx=+xyx。11课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 12.3 Taylor 公式 习 题 12.3 Taylor 公式 1.对函数应用中值定理证明：存在yxyxfcossin),(=)1,0(，使得 6sin3sin66cos3cos343=。证证 设00(,)(0,0),(,)(,)3 6xyxy=，对函数yxyxfcossin),(=应用微分中值定理（即时的 Taylor 公式），可知存在0k=)1,0(，使得 3(,)(0,0)43 6ff=(,)(,)xyfxyxfxyy+coscossinsin336636=。2.写出函数在点的 Taylor展开式。986223),(2233+=yxxyyxyxyxf)2,1(解解 332(,)3(1)1(2)22(1)1(2)2f x yxyxy=+22(1)1(2)2xy+6(1)18(2)29xy+2214 13(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)xyxxyy=+3223)2()2)(1(2)2()1(2)1(3+yyxyxx。注注 本题也可设，于是 1,2uxvy=(,)(1,2)f x yf uv=+33223(1)(2)2(1)(2)2(1)(2)6(1)8(2)uvuvuvuv=+9，展开后再用代换回来。1,2uxvy=3.求函数在点的 Taylor 展开式（展开到三阶导数为止）。)1ln(sin),(yxyxf+=)0,0(解解 32333(,)()()623xyyf x yxo xyo y=+()2221()2xyxyoxy=+3。4.求函数在点的 阶 Taylor 展开式，并写出余项。yxyxf+=e),()0,0(n解解 nnRyxnyxyxyxf+=)(!1)(!21)(1),(2?,1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m其中)(1)()!1(1yxnneyxnR+=。5.设0,cos),(=xxyyxf。（1）求在点的 Taylor 展开式（展开到二阶导数），并计算余项；),(yxf)0,1(2R（2）求在点的k阶 Taylor 展开式，并证明在点的某个领域内，余项满足当),(yxf)0,1()0,1(kRk时，。0kR解解（1）22221)1()1(1),(Ryxxyxf+=，321(1)(1(1),3!)Rxyfxxyy=+322432cossincossin(1)(1)(1)263xxyxyy=+，其中)1(1+=x，y=，10。（2）=+=njkjjnjnjnknRyxjjnCnyxf01)1)(2cos()!()1(!11),(，+=+=101211)1)(2cos(1)!1()1()!1(1kjjjkjkjkjkkyxjjkCkR。当时，1=x1=，对任意),(+y，0kR)(k显然成立；当31|1|0 x时，3432，211(,)kxyf x yxy+1(,)0kxyxyf x yxyxy=+。3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题习 题 12.4 隐函数 12.4 隐函数 1 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1），求0sin2=+xyeyxxydd；（2），求xyyx=xydd；（3）xyyxarctanln22=+，求xydd；（4）0arctan=+ayayx，求xydd和22ddxy；（5