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附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法169附录附录 3 3 3 3试验模态分析的数学原理及一般方法试验模态分析的数学原理及一般方法本节介绍模态分析的基本理论与方法，重点在 uTekL 的理论依据及正确使用所必需的基本知识。有关这方面更全面的理论及最新的研究成果，请参考有关文献专著。3 3 3 3.1.1.1.1模态参数模型模态参数模型一、引言模态分析是研究结构动力特性的一种近代方法，是系统辨识方法在工程振动领域中的应用。什么叫模态？什么叫模态分析？模态是机械结构的固有振动特性。每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振形。这些模态参数可以由计算或试验分析取得。基于线性叠加原理，一个复杂的振动系统可以分解为许多模态的叠加。这样一个分解过程称为模态分析。如果这个分解过程是由有限元计算的方法取得的则称为计算模态分析；如果通过试验采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一感兴趣的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断重要方法。机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶汽车等的实际振动千姿百态、瞬息变化。模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。首先将结构物在静止状态下（实验室内）进行人为激振，通过测量激振力与振动响应并双通道 FFT 分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数从而建立起结构物的模态模型。根据模态叠加原理，在已知各种载荷的时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。近十多年来，由于计算机技术、FFT 分析仪、高速数据采集系统以及振动传感器激励器等技术的发展，试验模态分析得到了很快的发展，受到了机械、电力、建筑、水利、航空、航天等许多产业部门的高度重视。已有多种档次、各种原理的模态分析硬件与软件问世。在各种各样的模态分析方法中，大致均可分为四个基本过程：l、动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数分析。附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法170（1）激励方法：试验模态分析是在试验室内人为地对结构物施加一定动态激励，采集各点的振动响应信号及激振力信号，根据力及响应信号用各种参数识别方法获取模态参数。激励方法不同，相应识别方法也不同。目前主要由单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）、多输入多输出（MIMO）三种方法。以输入力的信号特征还可分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随机（包括白噪声、宽带噪声或伪随机）、瞬态激励（包括随机脉冲激励）等。（2）数据采集：SISO 方法要求同时高速采集输入与输出两个点的信号；用不断移动激励点位置或响应点位置的办法取得振形数据。SIMO 及 MIMO 的方法则要求大量通道数据的高速并行采集，因此要求大量的振动测量传感器或激振器，试验成本极高。（3）时域或频域信号处理，例如谱分析、传递函数估汁、脉冲响应测量以及滤波、相关分析等。2、建立结构数学模型。根据已知条件，建立一种描述结构状态及特性的模型，作为计算及识别参数的依据，目前一般假定系统为线性的。由于采用的识别方法不同，也分为频域建模和时域建模。根据阻尼特性及频率耦合程度分为实模态或复模态模型等。3、参数识别。按识别域的不同可分为频域法、时域法和混合域法，后者是指在时域识别复特征值，再回到频域中识别振型。激励方式不同（SISO、SIMO、MIMO）相应的参数识别方法也不尽相同。并非越复杂的方法识别的结果越可靠。对于目前能够进行的大多数不是十分复杂的结构，只要取得了可靠的频响数据，即使用较简单的识别方法也可能获得良好的模态参数；反之，即使用最复杂的数学模型、最高级的拟合方法，如果频响测量数据不可靠，则识别的结果一定不会理想。4、振形动画。参数识别的结果得到了结构的模态参数模型。即一组固有频率、模态阻尼以及相应各阶模态的振形。由于结构复杂，由许多自由度组成的振形的数组难以引起对振动直观的想象。必须采用活动振动的办法，将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。以上四个步骤是模态试验及分析的主要过程。而支持这个过程的除了激振拾振装置、双通道 FFT 分析仪、桌面式或便携式计算机等硬件外还要有一个完善的模态分析软件包。通用的模态分析软件包必须适合各种结构物的几何特征，设置多种坐标系、划分为多个子结构，具有多种拟合方法并能将结构的模态振动在屏幕上三维实时动画。二、运动方程附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法171例如附图 3.l 所示二自由度振动系统的运动方程为附图 3.1二自由度振动系统(3.1)2232122321222)()(fxkkxkxccxcxm=+它可以用矩阵表示为：（3.2）=+212132222121322221212100FFxxkkkkkkxxccccccxxmm+=322221kkkkkkK+=322221ccccccCM、K和C分别称为质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。刚度矩阵第 i 行和第 j 列的元素 Kij的物理意义是：使系统仅仅在第 j 个坐标上产生单位位移，需要在各个坐标上加上适当的力，而在第 i 个坐标上所加力就是 Kij(i,j=1,2,n)由于 x2=0 相当于 m2固定不动，因此 k11=k1+k2.。当 x1=0,x2=1 即 m1不动时。作用在 m1上的力只有 k2的恢复力，所以 k12=-k2。由线性弹性系统的互易定理可知 kij=kji，因此刚度矩阵一定是对称的。还可以证明刚度矩阵是正定的或半正定的。质量矩阵总是对称正定的，且常常是对角型的（即非对角线元素全为零）。一般情形下，方程（3.3）在时间域内描述了许多类型复杂机械结构的弹性运动(3.3)()()()(tFtxKtxCtxM=+其中 M 为质量矩阵(nn)C 为阻尼矩阵(nn)K 为刚度矩阵(nn)为加速度向量(n1)()tx 为速度向量(n1)()txx(t)为位移向量（n1）122121212111)()(fxkxkkxcxccxm=+=2100mmM附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法172F（t）为载荷力向量（n1）n为自由度数（n1）方程（3.3）左边三项分别代表惯性力、阻尼力及弹性恢复力，它们都是结构振动的内力。（3.3）式右边表示动载荷外力的作用。位移向量x(t)中的每一个元素，表示结构物上某一特定点的一个特定方向的振动运动。每一个点完全的振动具有六个方向（沿 X、Y、Z 三个轴的移动及绕这三个轴的转动振动），也称为六个自由度（DOF）。通常由于测量上的困难，不计转动方向，只考虑三个移动自由度甚至只考虑一个自由度的振动。只考虑一个方向振动的模态分析，称为一维模态分析；同时考虑两个方向振动的模态分析，称为二维模态分析；同时考虑三个方向振动的模态分析，称为三维模态分析。速度及加速度向量是位移向量对时间的一次及二次微分。某些结构可以简化为一些刚体质量，用线性弹簧及阻尼器相互联接起来。如附图（3.l）等。这样的系统称为集中参数系统。N 个质量具有 N 个自由度（DOF）。大量的机器、建筑都由许多弹性元件或部件组成，称为分布参数系统。分布参数系统的振动方程是用偏微分方程来表示的。有限元素法（FEM）将弹性系统离散化成适合计算机运算的方式，此时运动方程也可表示为（3.3）的形式。区别在于：弹性系统具有无限个 DOF，理论上有无限阶模态，在模态分析时不可能将它们全部搞清楚，只能考虑在某一频率范围内对结构影响最大的若干阶主导模态。此外离散化了的弹性系统运动方程（3.3）中的系数矩阵M、C、K用的物理意义比集中参数系统复杂得多。建立弹性系统动力学模型就是确定这三个矩阵。目前，主要依靠有限元（FEM）法建模并通过试验模态分析进行验证。三、传递函数矩阵振动模态是振动系统的固有特性。为了讨论多自由度系统（MDOF）的固有频率和固有振形，先不考虑阻尼矩阵和外力 研究无阻尼自由振动，其运动方程是(3.4)0=+xKxM假定简谐运动(i=1,2,n)(3.5)sin(+=tixi是（3.4）的解。此假定意味着当系统偏离平衡位置作无阻尼自由振动时，存在一种各坐标xi 均作同频率同相角的简谐振动特解。将（3.5）代人（3.4）附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法173(3.6)()0=+KM式中2=（3.6）是关于列向量的齐次代数方程，它存在非零解的充分必要条件是系数矩阵 的行列式等于零（3.7）0|=+KM它称为系统的特征方程。对于 n 自由度系统，特征方程的左边是关于的 n 次多项式，称为特征多项式。特征方程的根称为特征根或特征值，它是无阻尼固有频率的平方。一般说来，n 次代数方程的 n 个根，可以是单根也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。在我们研究的情形中，由于质量矩阵是正定的实对称矩阵，刚度矩阵是正定或半正定的实对称矩阵，所有特征值一定都是实数并且是正数或零。特征值为零表明系统存在刚体位移。将第 i 个特征值代入方程（3.6）可求得相应的特征向量（）1i(3.8)0)(=+iiKM或(i=1,2,n)(3.9)iiiMK=特征向量，在振动分析中就是系统的固有振型或主振型（3.10）tiiii321,=假定特征方程没有重根，存在 n 个特征值。它们对应有 n 个特征向量。将此 n 个特征向量组成一个矩阵称为振型矩阵，在模态分析中也称为模态矩阵（3.11）zij=L,21不难证明，模态矩阵具有加权正交性：mMt=kKt=（3.12）cCt=其中对阻尼矩阵的加权正交性并非一般成立的，只适用于一些特殊的阻尼矩阵，例如比例阵。当阻尼较小时，虽然C不满足比例阻尼条件，也仍然假定（3.12）成立，从而大大简化了数字处理。（3.12）中m等符号表示该矩阵是对角阵，非对角项元素全等于零。（上标 t 表示矩阵的转置）附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法174利用上述固有振型的正交特性，可以将运动方程（3.3）转换成各自由度之间不耦合的形式，其中每一个方程都相当于一个单自由度系统的振动。作坐标变换（3.13）)()(txtx=)()()(2121222211121121tZtZtZtxtxtxZzzzzzzzOLKKKKLLO式中x(t)为物理坐标中的运动（n 阶列向量）z(t)为模态坐标中的运动(m 阶列向量)为模态矩阵（nm）n 为结构的总自由度数，m 为结构的模态个数。mn；这是因为弹性结构通常 DOF数高，而从试验的角度无法实现如此众多的导纳测量及计算机参数识别。实际上，往往 mn.将（3.13）代人（3.3），并利用正交性关系（3.1），可以得到模态坐标下的运动方程(3.14)()()()(tftzktzctzmi=+式中 m、c、k分别为模态质量矩阵（mm）、模态阻尼矩阵（m m）、模态刚度矩阵（m m）。z（t）、z（t）、z（t）分别为广义加速度列向量（m 1）、广义速度列向量（mI）、广义位移列向量（m 1）。（3.14）式中第 i 个模态坐标的运动方程为(i=1,2,m)(3.15)=+mjjjiiiiiifzkzczm1因此，在模态坐标中，微分方程的各个变量是分离的，其中每一个方程相当于一个单自由度振动方程。（3.15）还可改写为:(i=1,2,m)(3.16)=+mjjjiiiiiifmZZz121/12其中附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法175称为模态阻尼比)2/(11iimkc=称为模态频率iiimk/=由于模态矩阵是齐次特征方程（3.6）的解，因此允许相差一个任意常数，从而 mi，k；，Ci也不是唯一的。为确定起见，可以将模态矩阵归一化为所有各阶模态质量全等于 1。为此，只要令(3.17)=1m则有 IMt=22=Ct(3.18)2=Kt此时，运动方程（3.3）成为(3.19)()()()()22tftztztzIt=+结构的动力特性可由模态频率，模态阻尼 2及归一化模态振型矩阵所确定。它们被称为振动系统的模态参数。（3.19）式中 I 为单位矩阵。在自由振动情况下，（3.16）或（3.19）的特征方程（3.20）022=+iiii因此(3.21)iiiiiiij+=+=21j 为单位纯虚数。为阻尼项。为频率项。在轻阻尼的情况下，|比小得多，一般iiii认为|0.1或o1。在这种轻阻尼的条件下，可以认为比例阻尼的假定与际测iii试结果十分接近。若自由振动的初速度等于零，初始位移为 zi(0)(i=1,2,m)则模态坐标解为(3.22)()()()()iiiiiittztz+=21sinexp0相应在物理坐标下，第 i 个 DOF 的解为(3.23)()()()()()=+=mkkkzkkkkikittztx11sinexp0附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法176此式表明，比例阻尼系统在一定初始条件下的自由响应是各阶模态衰减运动的叠加。若初始条件),2,1(,0,0Kimizzii=L则（3.23）成为,0,0=jjzz(3.24)()()()()()=+=mkkkzkkkkikittztx11sinexp0这组模志坐标的初始条件相当于物理坐标的初始条件为亦即当()()nixikiL,2,10=各坐标的初始速度等于零，初始位移于第 k 阶振型相同时，各坐标作纯模态的衰减运动：它们的频率相同，衰减率相同，初相角相同；具有固定的节点或节线。在任意时刻各坐标的振动形状与第 k 阶振型相似。继续考虑强迫振动的情形。假定在第 P 个自由度（物理坐标）上作用了一个正弦作用力，它的频率为，幅值为 F：(3.25)()()()pjmjftjFtfjp=,2,10,expL代回（3.16）(3.26)()tjFmzzzpkkzkkkkkexp/2=+令,则()tjCzkkexp=(3.27)()jmFCkkkkPIK+=2/22由（3.13），第L 个自由度上的响应(3.28)()()()tjFHtzxLPmkkLKLexp1=式中（3.29）()()=+=mkkkkkPKLKLPjmH1222(3.28)说明，当系统在第 P 个自由度上作用一个正弦激振动力时，在第 L 个测点的振动也是一个同频率的正弦振动，它的幅值与激振力幅值之比，称为频率响应函数，即（3.29）。如果把结构物 n 个自由度上所有任意两点间的频响函数组成 nn 阶矩阵附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法177()=+=mkjkjkikijkkkmHH1222(3.30)=+=mkkkkkscsmkk122式中js=令()kkkkkscsmF+=/1上式即（3.31）=mknknkknkknknkkkkkknkkkkkkkFH1212221212111,L从此可知，如果经过导纳测量得到了传递函数的任一列（第 j 列）（3.32）2121,=mknkkkjkkjFHL则包含了模态矩阵(nm)的全部信息。因此不必测量任意两点的导纳，而只需测量某一列或一行就足够了。测量某一列，相当于固定激振点测量全部自由度的响应；测量某一行，相当于固定测量点，移动激振点位置。四拉普拉斯变换拉普拉斯变换将时间域的微分方程转变为频率域的代数方程。对运动方程（3.3）进行拉普拉斯变换（假定初位移及初速度均等于零）(3.33)()()SFSXKSCSM=+2定义阻抗矩阵或系统矩阵为(3.34)()KSCSMSB+=2令它的行列式等于零。B(S)=0(3.35)（3.35）为 S 的 2n 次代数方程，它的解(k=1,2,2n)(3.36)kkKjP+=附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法178为特征值，一般情况下为复的。相应的特征向量满足(3.37)()0=kkUPB特征向量矩阵由特征向量组成：(3.38)()zUUU221,L=系统的传递函数矩阵还可以定义为阻抗矩阵的逆矩阵。(3.39)()()1=SBSH（3.33）等价于(3.40)()()()SFSHSX=根据逆矩阵的定义可知，传递函数矩阵任一个元素都是 S 的分式多项(3.41)nnnnnijbsbsbasasaSH2121201120)(LL+=它可以分解为部分分式(3.42)=+=mrrrrrijPSAPSASH1*)(式中*表示复数的共轭。Pr 为极点，即复特征值。Ar 是对应于极点 Pr 的残数。为了进一步理解（3.42）的物理意义，作如下粗略的推导：()()1112=+=SBKCSMSSB ()121+=KCSmS 121)+=kScmS因此()()()221/1+=kScmSSBSH(3.43)()=+=mkkkktkkkScSm12/在许多文献中，将（3.30）或（3.43）称为传递函数的实模态展开，而将（3.42）称为传递函数的复模态展开。在（3.43）式及（3.30）式的推导中都使用了比例阻尼的假定，而（3.42）附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法179则不受此限制。3 3 3 3.2.2.2.2 机械导纳测量机械导纳测量机械系统任意两点的传递函数也称为机械导纳。导纳测量是模态分析的关键。为了获得正确的导纳必须注意以下几个环节：一、结构支承。有两种方式支承结构即自由悬挂或固定在地基上。用弹性绳垂直悬挂是一种常用的方法。在这种情况下，无论何种构件都存在六个刚体模态，频率都接近于零。实际上不可能提供真正自由的支承条件，当结构刚体模态的频率小于第 1 阶弯曲振动模态的10一 20时，就认为是允许的自由支承。这时刚体模态不会对弯曲模态产生影响。另一种支承方式将结构物固定在地面上，则应保证联接刚性为无穷大。但地基本身以及地基与试件的联接都不可能绝对刚性。如果仿照机器或建筑物实际安装条件，结构经过拆卸并重新安装后可以得到重复性好的结果，则认为联接是合格的。应该注意到，这两种支承方法所获得的模态参数是不同的，因为结构的边界条件不同。究竟采用何种支承方式还与模态试验的目的有关。如果感兴趣的是建立机器或部件的数学模型并与有限元计算对比，则应自由悬挂为宜。如果着眼于研究机器的共振频率及隔振减振，则应该尽可能模拟机器的实际安装状况。严格说来，在这种情况下所得到的模态参数是机器包括基础在内的系统的模态参数。二、激励方法使用 FFT 原理进行导纳计算要求激励信号中包含宽的频率成分，稳态随机激励或瞬态激励是常用的两种宽带激励方法。采用稳态随机激励必须使用激振器。根据结构大小，即所需激振力大小及频率范围，分别使用机械式、液压式、电磁式或电动式，后者是最常用的。激振动固有频率应高于被测结构的分析频率。在柔性杆与结构之间串联力传感器。在随机信号发生器、功率放大器、激振器、柔性杆几个环节上，信号都有衰减与相移，不能用信号发生器的输出电压作为力信号而必须将与结构上相联的力传感器作为力信号。理论上白噪声激励能获得结构的全部模态；物理上却得不到实际的白噪声信号，且施力及测量的各个机电环节上都有滤波作用，因此宽带激励必须选择合适的中心频率及带宽，以保证在频段内力信号有平直的自功率谱并有足够的能量激发此频段内结构的全部模态。脉冲激励的数学原理是脉冲函数（函数）具有与白噪声相同的平直频谱，而它的近似实现却比稳态随机简易得多，因此得到广泛的应用。脉冲激励还有两个突出的优点：它具有一定的重复性，不需进行许多次平均（一般 3 4 次就够了，而稳态随机则需要多达几附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法180十次平均）；在一个 FFT 块内，力和响应信号都已基本衰减，非整周期函数在幅值上的精度较差。对于大型结构，锤击也难以激发出整体模态。由于激振器安装困难，用稳态激励总是测量传递函数矩阵的一列，即通过移动测量点得到。锤击法通常移动施力点的位置、固定加速度计测振点位置，即测量传递函数的一行。根据动力互易原理，这两种测量所得到的结果应该相同。然而，有时在某些位置或某些方向上敲击结构可能是比较困难的。在这种情况下，也可以固定敲击位置和敲击方向，移动三向传感器测量响应。采用冲击方法进行机械导纳测量还必须考虑如下几个限制：1非线性限制：对具有明显非线性的结构进行导纳测量时要特别小心。在这种情况下，最好用接触式激振器进行正弦或随机激振，而不要采用冲击激励技术。采用冲击激励时，使响应信号达到一定幅值所需能量是在一段很短（与分析时间周期相比）的时间内输入到结构上的，与正弦和随机激振相比，冲击脉冲力必须要大得多，因而非线性的影响也就增加了。对一个非线性明显的系统测量，保持激励力的水平不变是非常重要的。在这方面，正弦激励技术更好，如果用一个手锤来进行冲击激励，则每次冲击力的幅值可能变化很大，因此这种测量方法对于非线性系统来说其重复性是比较差的。2信噪比问题：冲击测量时，由于平均信号电平比峰值电平低，这就需要一个低噪音的试验环境和有尽可能大的动态范围的测量系统。为了达到这一要求，一般不宜使用模拟磁带记录技术。一个不可忽略的噪声问题是由于力信号历程比总的记录长度短，这种情况会引起仪器电噪声和由于机械原因诱发的背景噪声，这些背景信号的均方值与输入力信号的均方值相比是不可忽略的。这种噪声可以用加窗方法来降低。3频率分辨率限制：离散博里叶变换（包括有限带宽和“细化”分析）的频率增量位为 Hz）等于记录长度（单位为秒）的倒数，由于每个记录代表一个单次冲击事件，所以记录的长度被限定为结构的脉冲响应衰减到与背景噪声相当的水平所需要的时间。因此，可得到的频率分辨率不仅取决于结构的响应，而且取决于背景噪声的大小。如果试验结构呈现出很高的模态密度，即在一个窄频带内有多个共振峰，在这种情况下，对于精确的导纳测量来说，要得到足够细的分辨率可能是困难的。这里；最好使用一种具有细化分析的稳态激励方法。由于冲击的固有特性，它的频谱从直流扩展到某一个上限频率。由于不能限定激励频附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法181带，从而限制了用“细化”分析改进冲击测量的频率分辨率的效果。而且进一步增加了对测量系统动态范围的要求，它还增加了在测量系统中由于高幅值的带外信号引起的无法检查的过载（“削波”）的危险。4阻尼限制：冲击激励对于大阻尼结构试验有局限性，这是因为较短的响应历程使得人们必须在频率分辨率和背景噪声电平之间作折衷选择。这种局限性也可理解为是对一定幅值的冲击力来讲大阻尼结构的响应平均能量水平低。大阻尼结构可能需要较高的能量连续的激励以平衡它较高的内部能量耗散，并为精确测量提供足够的响应数据。对于阻尼特别小的结构来说，又会产生另外一个问题。因为这样的结构的频率响应函数呈现出很尖的共振峰，这需要高分辨率的细化测量以获得精确的共振峰的位置，利用指数衰减窗给数据加上一个已知的衰减可以有助于解决这一问题。5对操作者技巧的依赖性：用手锤进行导纳测量的精度取决于操作者保持正确的冲击位置和方向的能力。如果仔细地施加冲击，这些影响通常可以控制在可以接受的限度内，但如果结构较小且要求很精确的几何位置，则这些影响就不可忽视。三、量钢与校正模态试验的成功与否的一个重要环节是传感器的标定。尤其是模态分析用于结构的动力修改时，一定要进行可靠的校正并送人正确的工程单位。uTekL 采用如下量纲系：力：牛顿（即千克米秒2）加速度：米秒速度：米秒位移：米加速度导纳：1千克速度导纳：秒千克位移导纳：秒/千克参数拟合所得到的未归一残数量纲与所使用的测量传感器有关，通常为加速度导纳的量纲。为了得到正确的导纳测量，必须正确设置传感器与前置放大器的灵敏度。通常采用加速度计测量振动响应。将前置放大器上灵敏度设置成与加速度计出厂标定的灵敏度一致。例如一只国产 YJ 系列压电式加速度计 YE14117 参考灵敏度为 1.12pcg，采用 BK2635前置放大器，将它的灵敏度旋纽设置为 0.112Pcms（即 l.12Pcg）则每一个加速度单附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法182位 ms的输出电压为该仪器 mv/Unit out 所指旋纽所指数值，它也就是 uTekL 所要求的校正因子（每一工程单位输出的毫伏数）。上述过程表明测量已按照量纲要求进行了正确设置，但还没有进行可靠的标定，因为它假定出厂传感器以及前置放大器的灵敏度是正确的。最简单的标定方法是比较法，采用标准加速度计以及与之配套的电荷放大器作为依据，这种方法简单易行，能具有 2以内的精度。对于模态分析，感兴趣的是获得可靠的导纳数据，可以用一种简易的系统标定法同时标定加速度计及力传感器。用一个已知质量块代替试验对象，而保持与真实试验完全一样的仪器布置及接线。质量块的加速度导纳等于 1m（m 为质量）。对质量块激振，将力传感器与安装在质量块上的加速度计的输出信号分别经前置放大后通人双通道 FFT 分析仪（uTekL），其传递函数的虚部是零，实部是一个常数 1/m。这种系统标定方法虽然精度也难保证很高，但可以直观地检验试验设计的正确与否。因为在实际操作中，校正因子送错了数量级的情况是常常发生。还需注意力传感与加速度计的安置方向，以保证机械导纳不要相差一个负号。因为不同的力传感与前置放大器的组合，产生的力脉冲可能是正也可能是负脉冲。在触发采集前先用示波功能检查力信号的正负。然后用质量块进行校正试验，应保证其导纳是接近于一个正常数 1m。四、力和指数窗采用稳态随机激励，为了减少能量泄漏，可以用哈宁窗、平顶窗或 Kaiserbessal 窗计权处理；脉冲激励则原理上不能采用上述各种窗处理。锤击法能量小，信噪比低。在 FFT 数据块（一般 N=1024）中，只有几个点是力信号其余全部是噪声，噪声的能量与力信号的相当。我们希望力信号的时间序列，在脉冲过后维持为零，而在脉冲存在时所加时间窗对力信号不产生畸变，窄矩形窗可以满足这个要求。因此，力窗采用窄的矩形窗。锤击响应信号可表示为两部分之和，即（3.44）()()tntxtX+=)(x(t)是振动响应，它以负指数规律衰减；可用下式表示：(3.45)()()()=+=mkkkkKttAtx1sinexp|其中m 阶数；各阶阻尼；k附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法183Ak各阶初位移。n（t）噪声，在一个 FFT 块上均匀分布。锤击振动的响应信号是指数衰减信号，对于阻尼较大的系统，衰减很快，信号很快被噪声淹没。因此在 FFT 块的前端信号大、信噪比大；在 FFT 块的末端信号小，信噪比小。为了提高信噪比，采用负指数窗计权是一个有效的方法。若在一个 FFT 块长度上乘以负指数窗。W(t)=exp(-at)(3.46)则对 FFT 的前端有用信号影响甚小，而对 FFT 块末端的噪声电平则大大抑制，从而提高了较大阻尼情况下的分析的信噪比。负指数窗的另一个作用是增加了系统的阻尼，采用负指数窗后模态分析得到的阻尼比应是k+0这对小阻尼结构的分析带来了好处，使得在半功率带宽内取得的频率点增多，但对相邻模态耦合严重时，增加阻尼加剧了这种耦合，因此并非加负指数窗对分析都有好处，如果脉冲信号较强，噪声抑制较好，响应在一个 FFT 块内已经衰减得很小时，则力和响应可以不加窗，其效果比加窗好。负指数窗对小阻尼结构还有减小截断误差的作用。在一个 FFT 块的末端如果响应已经衰减到最大值 1%则截断非整周期引起的能量泄漏已经很小。一种方便的检查方法是检验在记录中点处响应信号峰值是不是响应最大峰值的 10。3 3 3 3.3 3 3 3 uTekLuTekLuTekLuTekL 参数识别原理参数识别原理uTekL 在频域内进行模态参数，利用导纳函数进行曲线拟合。目前投入 uTekL 的参数识别程序从原理上分为实模态和复模态，从目的上分为单测点拟合识别频率阻尼以及多测点同时识别振形；从方法上分为单自由度（SDOF），多自由度（MDOF）及整体拟合，从操作上分为光标线法及光标带法等。一、实模态参数优化识别原理uTekL 对于实模态分析采用虚频特性或实频特性之一进行拟合。不管何种模态识别方法本质上都是利用大量的数据信息去拟合出为数不十分多的模态参数，有的识别方法在复数域上利用试验传递函数的导纳圆进行拟合。本方法对于实模态的加速度或位移响应的拟合，利用虚频特性数据进行识别；对于速度响应则采用实频特性数据进行识别。只用虚频特性或实频特性之一进行识别，使得最小二乘列向量的阶数小了一倍。由基带 FFT 分析所得试验传递函数（当 FFT 块大小等于 1024时），一般是401 条谱线，即有 401 个复数频率特性函数。在小阻尼的情况，其中只有共振附近的数据才是有效的。远离共振处的数据信噪比很低，相干函数很小，因此，只需在每阶模态频率附近取出传递附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法184函数的有限个数据。这样处理不仅大大提高了识别的速度而且因为剔去了非共振区域内信噪比差的数据从而提高了识别精度。选取的方法分为光标线法及光标带法两种，如正文图4.9.2 和图 4.9.3 所示。由（3.29），略去下标 L 和 p 令位移导纳、速度导纳及加速度导纳为(3.47)()()()jIRHip+=其中(3.48)()=nkKKASR1()=mkKKATI1（位移导纳）()WSKK/22=（速度导纳）（3.49）KKKKWS/22=(加速度导纳)()KKKWS/222=（位移导纳）()KKKKWT/2=（速度导纳）（3.50）()KKKWT/222=(加速度导纳)KKKKWT/22=KPKLKKmA/=()2222222KKKKW+=第 k 阶固有频率K第 k 阶阻尼比K第 k 阶模态质量Km第 k 阶振型的第 l 个元素iK首先研究某一个加速度导纳测量的某一阶模态的拟合，由（3.48），m=1，略去阶次的下标 k。(3.51)()TAI=其中(3.52)()WTT/23=附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法185根据光标线或光标带法，选取共振附近若干个点的频响函数虚部试验数据，I（1），I（2），I（3）I（r）如果试验没有任何误差则应满足：(3.53)()()22222234/2jjjjjAII+=(j=1,2,r)式中及 A 是待识常数，及 I是已知数据。不幸的是包含在（3.53）分母中，,jj,因此是一个非线性识别问题。一个最简单的识别方法是假定一组的初始估计值，代人（3.53）得成为()jjTT=已知，（3.5l）中只有一个 A 要识别，成为线性回归问题。令 trtRTTTTIIIILL,2121=22TTATI=(3.54)=rjrjjjTTITTTIA112122/不同选取的与的初始估计必然影响所获得的最小二乘解 A，为此，应对与在二维空间导优，其目标函数为：(3.55)()=rjjjATITAIE12|其中 Ij为试验导纳的虚部，ATj为根据拟合参数构造的导纳虚部。uTekL 研究表明，频响函数对频率的变化是敏感的，而对阻尼的变化是不敏感的。因此 uTekL 将二维寻优问题又化为二个一维寻优问题。先假定一个阻尼比对频率优化，在光标确定的初始频率左右以频率分辨率为步长直接搜索，直到找到三个相邻的频率，相应的目标函数 EL，EC，ER满足如下关系：RCL,EcEL；ECER然后根据这三对与 E 值进行抛物线插值获得识别的固有频率。下一步根据已识别的，对阻尼进行优化。用黄金分割的办法寻找最合适的阻尼比分别重复上述过程，拼起来就获得了一条曲线的拟合。如果频率不是分得很开，则必须考虑模态间的耦合。由（3.51），在每一阶模态附近各选取若干点，m 阶模态总共选取了 s 个频率点。附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法186令(I=1,2,s)()iiII=(s1 向量)221,sIIIIL=（m1 向量）tmAAAA,21L=(sm 矩阵)（3.56）()iKiKiKTTTT=,则(3.51)成为(3.57)ITTTAtt1)(=在T矩阵中包含了各阶模态频率与阻尼。在某阶模态附近，该阶模态的影响总是主要的。如果在 m 个频率 m 个阻尼组成 2m 维空间优化，化时太多且无必要。uTekL 中假定在优化第 K 阶频率时，前 k-1采用已识别之频率，后。m k 1 个采用用户送人的估计值。振型是空间的整体概念，可以用上述方法，对每一个加速度测量分别拟合出(L 为总测量数)，k1，2，m，（m为阶数）。组成了振型，,2,1,LiAiKiKiKL=iKA与则应进行某种平均，得到 m 个。iKiKKK在一些国外模态软件如美国SAS3.0中，只对用户选定的某一个测量进行与的识别，对其余大量测量仅仅进行残数 A 的识别。uTekL 的自动拟合方法是对每一个测量都识别A,，然后对进行平均。,由于某些测量处于节线附近。试验导纳数量很小，据此进行识别的,A 误差都很大。,此外，还常常会发生这种情况：对于不同测量凭经验选取的估计值不尽相同，使得所得到的阶数对不上号。因此，对每一个测量数据分别进行拟合的办法；尽管拟合后的频响与试验值比较接近，但整体效果却并不好（在整形动画中可以看出）。因此，uTekL 推荐使用的是下述整体拟合方法。假定固定激励点，改变测量点。首先要得到各阶频率的初始估计。用光标或光标带法在各估计频率附近选取一系列频率点，它们的试验导纳参与拟合，而光标带外的数据则放弃不用。用任何一个测量获得初始估计的方法都是不全面的，因为该测量可能位于某阶振形节线附近。因此 uTekL 采用全部测点频响函数幅频特性的集总平均曲线作为选取初始估计的依据。显然，集总平均曲线的高峰是模态的可能性最大。漏掉模态或噪声引起的虚假模态可能性较小。附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法187在公式（3.50）中 Tk与测点无关，因此 T 矩阵与测点无关。试验数据虚部 I 则组成了一个 sL 阶矩阵I,其中,残数也组成 ms 阶阶矩阵A。实模态拟合的基()iLiLII=本方程成为 I=T A（3.58）它的最小二乘解为(3.59)ITTTAtt1)(=整体拟合的目标函数为试验导纳矩阵与计算导纳矩阵之差的范数E=|I TA|(3.60)整体拟合将全部测点传递函数中有用的信息读进内容，一次拟合出 m 个频率 m 个阻尼以及残数矩阵A。位移导纳及速度导纳拟合的过程类似，区别是采用的数据和T计算公式不同。由于 uTekL 采用直接寻优方法，不管拟合质量如何，不会产生发散。最后拟合效果可以由试验曲线与计算曲线的对比图上得到考核。程序中设置了这一功能，可以方便地对比拟合前后曲线。3 3 3 3.4 4 4 4残数矩阵质量归一及传递函数矩阵残数矩阵质量归一及传递函数矩阵（3.59）获得了残数矩阵A，经过转置后，它的每一列代表某一阶振形，每一行代一个测点。例如第 k 列的 L 个元素：（3.61）kPKLKLKkPKKKkPKKkmAmAmA/2211=L它们与第 k 阶振形仅仅差一个共同的因子。LKKKL,21kPKm/根据特征值问题理论，特征向量允许相差一个任意常数。为了有一个确定的振形，应该归一。有各种归一方法，如让每一阶振形的向量长度等于 1 或某一个点的振形等于 1 或最大振形等于 1 等。结构动力修改及强迫响应模拟广泛使用质量归一的概念，所谓质量归一是在模态矩阵的正交性（3.12）中，将振形矩阵的每一列乘一个常数，使得模态质量成为 1（1 个质量单位）。具体做法是：取出残数矩阵的第 p 行,（p 为激励点）附录 3试验模态分析的数学大原理及一般方法188(K=1,2,m)KPKPKPKmA/=将它开方kPKPKm/=然后残数矩阵的任一行除以它(3.62)KiKpkiKiKmCA/=显然矩阵具有质量归一的性质 /1m=(3.63)IMt=I 为单位阵。根据固定测量点（或固定激励点），移动激励点（或测量点）得到了传递函数矩阵（3.31）的 1 列或 l 行。前面所述理论已经证明，为了得到模态参数（频率、阻尼及振形）只需测量传递函数的一行或一列就够了。当然，这里有一个前提：该固定的测量点（或激励点）位置必须不在任何一阶模态的节线上。模态试验的进程中，往往不能一下子找到这样的位置。做完模态试验后没有把握是否漏掉了重要的模态。因此需要改变固定的测量点（或激励点），再做一遍，比较两次或多次模态试验的结果。得到模态参数后，可以计算出传递函数矩阵的其他行（或其他列）。如第 i 点测量第