人口统计模型【数学建模】 (2).doc

城市人口统计模型人口统计模型（1）： 某城市1990年的人口密度近似为。 表示距市中心 r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人.试求距市中心2km区域内的人口数；人口统计模型（2）： 若人口密度近似为（单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数。设表示t时刻某城市的人口数.假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：（1） t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；（2） 在一段时期内，比如说从到，由于死亡或迁移，时刻的人口数的一部分在时刻仍然存在， 我们用来表示，是这段时间的长度.试建立在任意时刻t人口规模的模型.如果，2000年时该城市的人口数为，试预测2010年时该城市的人口数. 根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解. 第一步：（I） 假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成 n 个小区间，每个小区间的长度为.每个小区间确定了一个环，如下图所示.让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数.第j个环的面积为：在第 j 个环内，人口密度可看成数，所以此环内的人口数近似为：第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为： 所以人口数: 第三步 （1） 当 时， 距市中心2km区域内的人口数大约为229 100. （2） 当 时， 距市中心2km区域内的人口数大约为1 160 200. 第四步：（II） 数学建模：我们把的时间区间分成n等分，每个小区间的长度为.初始时刻的人数为，到时刻将只剩下.当很小时，从时刻到，净增人口的比率近似为常数.这段时期净增的人口数近似为.时刻到内净增加的人口到时刻只剩下.所以在时刻的总人口数近似为：当无限增大时， （1）第五步：将及，代入（1）式得 1990年时该城市大约有人口1 280万. 人口统计模型（I）中两个人口密度和有一个共同特点，即随着r的增大，减少，这是符合实际的.另外，需要指出的是，当人口密度选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确地估算人口数至关重要.3