非等间距组合灰色预测模型.pdf
第37 卷第21 期2007 年11月数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORYVol.37No.21Nove.,2007非等间距组合灰色预测模型王丰效(陕西理工学院 数学系,陕西 汉中723000)摘要:对于非等间距原始数据序列,根据灰色预测模型建模特点,提出了一类非等间距灰色组合预测方法,弥补了传统非等间距原始数据预测模型的不足,提高了灰色预测的精度.实例表明结果理想可靠,有较好的实际意义.关键词:非等间距;GM(1,1)模型;灰色预测;组合预测1引言收稿日期:2006-08-21基金项目:陕西理工学院科研基金(XY0108,SL G0422)灰色系统理论在很多领域得到了广泛的应用,基于贫信息的灰预测成功的解决了许多信息不完全的预测问题.对于等间距微分方程型的动态模型GM(1,1),很多文献对其进行了研究,并提出了许多改进措施 15.然而,在实际应用是所获取的原始数据可能是不完备的,可能缺少部分原始数据,因而出现非等间距的情况.文献 68 进一步研究了非等间距的预测问题.这些文献都很好的解决了灰色预测问题.对于同一预测问题而言,由于考虑的角度、方式和层次等不同,可为其提供不同的预测方法,将这些方法进行组合,可增大信息量,能够更好地进行预测.组合预测将各种预测效果进行综合考虑,比单个预测模型更系统、更全面,而且,Bates 和Granger 9证明了2 种或2 种以上无偏的单项预测可以组合出优于每个单项的预测结果,即能够有效地提高预测的精度.基于组合预测模型的优越性和灰色预测模型的建模机理,本文提出了一类新的灰色组合预测方法,弥补了传统灰色预测模型的不足,有效地提高了预测的精度,为灰色预测提供了新的思路,通过实例分析和精度检验,结果比较理想.2非等距灰色组合预测模型灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思路是,把一个随时间变化的数据列通过累加,生成新的数据列,根据灰微分方程的白化微分方程的解,还原后即得灰色GM(1,1)预测模型.从GM(1,1)预测模型提出以来,该模型的应用越来越广泛,如何提高拟合和预测精度一直是科技工作者感兴趣的问题,不少研究者都致力于寻求各种修正方法以提高预测精度.非等间距原始数据序列广泛存在,为了解决其预测问题,通常采用与等间距灰色预测相类似的方法建立一次累加生成序列的白化微分方程,进而构造背景值得到预测模型.非等间距灰色组合预测模型的基本思路是:将一个随时间变化的非等间距的原始数据序列,利用两种不同的灰色预测方法建立预测模型,再将所得到的两个预测模型进行组合,组合权系数采用最小二乘原理或者Shapley 值法确定,从而得到灰色组合预测模型.设原始数据序列为x(0)(ki)=x(0)(k1),x(0)(k2),x(0)(kn),间距?ki=ki-ki-1不为常数.假定用两种不同的方法得到其预测估计值分别为 x?(0)1和 y?(0)1,则灰色组合预测模型为x?(0)(ki)=?1x?(0)1(ki)+?2y?(0)1(ki)其中参数?1和?2为组合权系数.为了建立组合预测模型,这里采用两种不同的预测方法,一是直接利用原始数据建立非等间距预测模型 x?(0)1(ki),二是将不等间距原始数据序列通过内插法改造成等间距的数据序列,建立灰色预测GM(1,1)模型 y?(0)1(ki).2.1非等间距灰色预测模型原始数据序列为 x(0)(ki)=x(0)(k1),x(0)(k2),x(0)(kn),对其进行一次累加得到累加生成序列 x(1)1(ki)=x(1)1(k1),x(1)1(k2),x(1)1(kn),其中 x(1)1(ki)=ij=1x(0)(kj)?kj.对累加生成序列建立白化微分方程:dx(1)1(t)dt+ax(1)1(t)=u(1)若规定 t=k1时,x(1)1(k1)=x(0)(k1),则响应函数为:x?(1)1(ki)=x(0)(k1)-uae-a(ki-k1)+ua,i=1,2,(2)还原后模型表达式为:x?(0)1(ki+1)=1?ki+1(1-ea?ki+1)x(0)(k1)-uae-a(ki+1-k1)(3)上述模型中参数 a 和 u 可由下式得到,a,uT=(BTB)-1BTYN,其中B=-y-(k2)1-y-(k3)1?-y-(kn)1,YN=x(0)(k2)x(0)(k3)?x(0)(kn)注意到 y-(ki+1)为 x(1)1(t)在区间 ki,ki+1 背景值,而且 y-(ki+1)在区间 ki,ki+1 背景值满足ki+1kix(1)1(t)dt=y-(ki+1)在建立非等间距预测模型时,关键是如何处理离散点 ki的导数.传统非等间距灰色预测模型大都是用差分来表示 x(1)1在 ki的导数,从而灰导数的背景值用 y-(ki+1)=(x(1)1(ki+1)+x(1)1(ki)/2 来代替,显然 这种方法 不太合 理.如 果用 y-(ki+1)=x(1)1(ki+1)+(1-)x(1)1(ki),但是必须事先给出参数 的估计值,从而使计算过程变得复杂.为了确定背景值,这里利用 x(1)1(t)为指数曲线形式可近似表示为 x(1)1(t)=cebt,并假定该曲线通过两点(ki,x(1)1(ki)和(ki+1,x(1)1(ki+1),从而有x(1)1(ki)=cebki,x(1)1(ki+1)=cebki+1通过确定参数 b 和 c,可得:y-(ki+1)=kjkix(1)1(t)dt=ki+1kicebtdt=cb(ebki+1-ebki),y-(ki+1)=x(1)1(ki+1)-x(1)1(ki)ln x(1)1(ki+1)-ln x(1)1(ki)?ki+1(5)40数学的实践与认识37 卷公式(5)给出了非等间距灰色预测中背景值的计算公式,当然该公式对等间距的灰色预测模型同样适用.2.2灰色预测GM(1,1)模型由于原始数据序列是非等间距的,不能直接利用GM(1,1)模型.但是,非等间距原始数据序列可以看成是等间距序列,只是某些原因使得数据缺失造成的,因而假定对非等间距数据序列,客观地存在着等间距的原始数据序列,进一步假设,我们已经得到了与这些原始数据较为符合的GM(1,1)曲线模型,其离散形式为 1,2y?(1)1(i+1)=y(0)1(1)-uae-ai+ua(6)若令 c=y(0)1(1)-u/a 上式即为y?(1)1(i+1)=ce-ai+u/a,还原成原始数据估计值,则有y?(0)1(i+1)=y?(1)1(i+1)-y?(1)1(i)=c(1-ea)e-ai(7)有了表达式(7),剩下的问题就是如何利用已知的原始数据序列估计(7)中的参数,当然,可以采用曲线拟合的方法.对于非等间距的原始数据序列建立灰色预测GM(1,1)模型的基本思想是:设法将非等间距的原始数据序列通过内插法转化成等间距的情形,然后,利用等间距数据建立GM(1,1)模型.2.3灰色组合预测模型根据2.1 和2.2 的方法得到了两个灰色预测模型后,建立灰色组合预测的关键在于权系数的确定,为了得到权系数的估计值,这里采用最小二乘原理.也就是依据(3)和(7)式中的模型估计值(ki,x?(0)1(ki),y?(0)1(ki),i=1,2,n,来拟合组合模型 x?(0)(ki)=?1x?(0)1(ki)+?2y?(0)1(ki)中的参数?1和?2,假定计算的?1和?2的估计值分别为?1和?2,则可得到灰色组合预测模型x?(0)(ki)=?1x?(0)1(ki)+?2y?(0)1(ki)(8)上式中的x?(0)1(ki)和 y?(0)1(ki)的表达式分别为(3)和(7).2.4预测模型的精度检验下面讨论模型的检验,假定!(ki)=x(0)(ki)-x?(0)(ki)为模型残差,x(0)的均值和方差分别为 x-=1nni=1x(0)(ki)和 s21=1nni=1(x(0)(ki)-x-)2,而残差的均值和方差分别为!-=1nni=1!(i)和 s22=1nni=1(!(ki)-!-)2.称 C=s2s1为均方差比值,p=P(!e(k)-e-!0.6745s1)称为小误差概率.指标 C 越小越好.C 越小,表示 s1越大而s2越小.s1大,表明原始数据方差大,原始数据离散程度大.s2小,表明残差方差小,残差离散程度小.C 小,表明尽管原始数据很离散,而模型所得计算值与实际值之差并不太离散.指标 p 越大越好.p 越大,表明残差与残差平均值之差小于给定值 0.6745S1 的点越多.关于模型精度检验等级见文献 2 表 1.3应用实例为了说明本文所建立的灰色组合预测模型的预测精度,进一步检验对原始数据序列的预测特性和预测精度,这里选择文献 2 中的一个例子,算例中给出了钛合金疲劳强度岁随4121期王丰效:非等间距组合灰色预测模型温度的变化数据见表 1.关于模型精度的检验采用残差检验,残差为 q(ki)=x(0)(ki)-x?(0)(ki).相对误差为!(ki)=q(ki)/x?(0)(ki)和平均相对误差为!-=n-1ni=1!(ki)!.表1钛合金疲劳强度与温度的关系温度100130170210240270310340380疲劳强度560.00557.54536.10516.10505.60486.10467.40453.80436.40这是一个非等间距原始数据序列,根据非等间距的灰色预测方法(2.1),由最小二乘法估计参数 a 和u,利用数学软件Matlab 可得计算结果为 a=0.00098,u=566.03340.代入(3)可计算拟合结果见表2.对原始数据利用内插法进行等间距处理,再建立预测模型.由最小二乘法估计参数 a 和u,利用数学软件Matlab 可得计算结果为a=0.001126,u=16.831676.代入(7)可计算拟合结果见表2.根据表2 中两种方法的估计值数据以及原始数据,利用最小二乘原理确定组合预测模型中的权系数,利用数学软件Matlab 可得计算结果为?1=0.89,?2=0.11,代入灰色组合预测模型可得组合预测模型的拟合估计值,结果见表2.表 2几种方法的拟合估计值温度100130170210240270310340380原始数据560.00557.54536.10516.10505.60486.10467.40453.80436.402.1 结果560.00557.21538.35517.55500.01485.45469.02453.11437.782.2 结果560.00554.82536.49516.28499.20485.02469.01453.49438.52组合结果560.00556.95538.14517.41499.92485.40469.02453.15437.86从表2 的几种预测模型的计算结果可以看出,组合预测模型要优于单项预测模型,而且本例数据结果表明,通过等距转化的预测模型的精度要比直接利用非等间距数据预测差.为了比较组合预测模型的预测精度和单项预测模型之间的好坏,分别计算各种预测方法的平均相对误差,计算结果为:2.1 的方法的平均相对误差为0.0031,2.2 的方法的平均相对误差为0.1269,而组合预测方法的平均相对误差为0.0024,结果表明组合预测方法的预测精度要高于另外两种预测方法.另外,利用均方差比检验和小误差概率检验的计算结果也表明组合预测方法的预测精度比单个模型的预测和拟合精度高.4结论本文给出了一种非等间距灰色预测的灰色组合预测方法,通过算例表明提出的方法有较高的拟合和预测精度,是一种比较好的灰色预测方法.对解决各个领域中普遍存在的非等间距序列的建模拟合和预测问题具有广泛的使用价值.当然,对于组合预测模型,关键在于组合权系数的选择.另外,组合预测中各个单项模型的选择以及建模方法对组合预测也有一定的影响.为了提高预测的精度,可以通过对各个单项预测模型所提供的信息量进行确定,进一步选择所提供信息量高的单项预测模型.组合权42数学的实践与认识37 卷系数的选择也可以采用其它优化方法确定.参考文献:1 Wang Linshan.Prior estimation for grey model GM(1,1)J.The Journal of Grey System,1991,(3):129139.2 王钟羡,吴春笃,史雪荣.非等间距序列的灰色模型 J.数学的实践与认识,2003,(10):1620.3 王丰效.修正GM(1,1)模型在销售量预测中的应用 J.渭南师范学院学报,2003,18(5):1113.4 王义闹,刘光珍,刘开第.GM(1,1)的一种逐步优化直接建模方法 J.系统工程理论与实践,2000,(9):99104.5 Liu Sifeng,Deng Julong.GM(1,1)coding for exponential seriesJ.The Journal of Grey System,1999,(2):147152.6 Deng Julong.A novel GM(1,1)model for non-equigap series J.T he Journal of Grey System,1997,(2):111115.7 He Xiongjun,Sun Guozheng.A non-equigap g rey model NGM(1,1)J.T he Journal of Grey System,2001,(2):189192.8 王丰效.基于归一化的非等间距灰色预测模型 J.安庆师范学院学报,2005,11(3):2426.9 Bates J M,Granger C.T he combination forecast J.Operation Research Quarterly,1969,20:451468.Unequal Interval Combination Gray Forecast ModelWANG Feng-xiao(Department of Mathematics,Shaanxi University of T echnology,Hanzhong 723000,China)Abstract:According to the building mechanism of gray model,a combination forecast methodof unequal interval gray forecast model is presented to solve practical problems for the numbersequences.It improves the unequal interval gray forecast model,and the prediction precision isimproved.By the realistic examples,the result is proved to be precise and reliable.Keywords:unequal interval;GM(1,1)model;gray forecast;combination forecast4321期王丰效:非等间距组合灰色预测模型
