超静定结构的分析.ppt

第三部分第三部分 超静定结构的分析超静定结构的分析 第八章第八章 力力 法法 第一节第一节 力法基本概念力法基本概念1 1、力法基本概念、力法基本概念 1 1）.力法基本未知量力法基本未知量超静定结构是有多余约束的几何不变超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。用静力平衡条件不能求解的显见原因。2 2）力法基本体系）力法基本体系 (a)a)原结构原结构 (b)b)基本体基本体系系 图图8-1-1 8-1-1 返回返回返回返回力法的基本未知量力法的基本未知量是超静定结构多是超静定结构多余约束中的多余力余约束中的多余力如图如图8-1-18-1-1(a)a)所示为有一个多余约束所示为有一个多余约束的几何不变体系。取的几何不变体系。取B B支座链杆为多余支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力约束，去掉后代以多余力x1，见图见图(b)b)。设想设想x1是已知的，图是已知的，图(b)b)所示体系就是所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果结构的计算问题。换句话说，如果x1等等于原结构于原结构B B支座的反力，则图支座的反力，则图(b)b)所示体所示体系就能代替原结构进行分析。系就能代替原结构进行分析。本章中，力法基本体系的结构一定是本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫静定结构，力法基本体系的结构叫力力法基本结构。法基本结构。3 3）力法基本方程）力法基本方程 力法基本方程力法基本方程，应是求解结构多余约束，应是求解结构多余约束中多余力的条件方程。中多余力的条件方程。受力条件只能从原结构的外荷载、多余受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图余约束力定性一致考虑，见图8-1-18-1-1。变形和位移条件变形和位移条件是结构内部对外力的响是结构内部对外力的响应的外部表现形式，见图应的外部表现形式，见图8-1-2(8-1-2(a)a)、(b)(b)所示，可以由基本结构中的多余力处沿所示，可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条该多余力方向的位移与原结构一致的条件件定量分析定量分析。(a)a)原结构原结构 (b)b)基本体系基本体系 该条件可表示为：该条件可表示为：(a(a)利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用的两种情况，分别分析后在多余力单独作用的两种情况，分别分析后在叠加。分解后，见图叠加。分解后，见图(c)c)、(d)(d)所示所示 (c(c)(d(d)叠加叠加与与+=即：即：得：得：+=0 0 (b)b)=使使 式式(b)b)改写成：改写成：+=0 0 (c)c)力力法法基基本本方方程程，是是基基本本结结构构上上多多余余力力处处沿沿多多余余力力方方向向的的位位移移与与原原结结构构一一致致的条件。的条件。即位移条件即位移条件。试用力法计算图试用力法计算图(a)a)所示超静定所示超静定梁，并作梁的弯矩图。梁，并作梁的弯矩图。例例8-1-18-1-1(a)a)原结构原结构 解：解：1)1)取基本体系如图取基本体系如图(b)b)。(b)b)基本体系基本体系见图见图(c)c)、(d)(d)作作图图和和 图图(c(c)(d)(d)作弯矩图，见图作弯矩图，见图(e)e)。(e(e)2 2、力法基本未知量的确定、力法基本未知量的确定 确确定定力力法法基基本本未未知知量量，即即要要求求确确定定多多余余力力的的数数量量，同同时时也也要要求求确确定定相相应的基本体系。应的基本体系。见图见图8-1-3(8-1-3(a)a)所示连续梁，去掉两个所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b)b)(a)a)原结构原结构 (b)b)基本结构基本结构1 1 (c)c)基本结构基本结构2 2 图图8-1-38-1-3 力力法法基基本本未未知知量量数数=结结构构的的多多余余约约束数束数=结构的超静定次数结构的超静定次数 (A)A)一个超静定结构的多余约束数是一定一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。的，但是基本体系却不是唯一的。对于较复杂的超静定结构，侧可采用 拆除约束法。拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。是力法的基本未知量数。拆除约束法常要用到约束的约束数，现拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下：归纳如下：切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于去掉一个约束；相当于去掉一个约束；（1）切开一个单铰或去掉一个固定铰切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；支座，相当于去掉两个约束；切断一根连续杆或去掉一个固定切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个约束；支座，相当于去掉三个约束；将固定端换成固定铰支座或在一根将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加一个单铰，相当于去掉连续杆上加一个单铰，相当于去掉三个约束。三个约束。（2）（3）（4）用拆除约束法判定结构的力法基本未用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：知量，应注意：结构上的多余约束一定要拆干净，结构上的多余约束一定要拆干净，即最后应是一个无多余约束的几何即最后应是一个无多余约束的几何不变体系；不变体系；要避免将必要约束拆掉，即最后不应要避免将必要约束拆掉，即最后不应是几何可变体系或几何瞬变体系。是几何可变体系或几何瞬变体系。（2）（1）例例8-1-2试确定图试确定图(a)、(b)所示结构的基本未所示结构的基本未知量知量。(a)(a1)(a2)(b)(b1)(b2)第二节第二节 在荷载作用下的力法方程在荷载作用下的力法方程及示例及示例 1 1、两次超静定结构的力法方程、两次超静定结构的力法方程(a)取原结构的力法基本体系如图取原结构的力法基本体系如图(b)(b)方向的位移条件方向的位移条件 方向的位移条件方向的位移条件 分分别别考考虑虑基基本本结结构构在在各各个个多多余余力力、荷荷载载单单独独作作用用下下的的位位移移情情况况，见见图图(c)、(d)、(e)所示。所示。(c)(d)(e)将各因素单独作用基本结构的位移将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得：叠加，得：(a)引入位移影响系数引入位移影响系数,并代入位移条件，并代入位移条件，式式(a)写成：写成：(b)式式(b)既是两次超静定结构在荷载作既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。用下的力法方程。2 2、次超静定结构的力法方程（力法、次超静定结构的力法方程（力法典型方程）典型方程）由两次超静定结构的力法方程推由两次超静定结构的力法方程推广，得：广，得：.(8-2-1)写成矩阵形式：写成矩阵形式：力法方程力法方程是力法基本结构与原结是力法基本结构与原结构一致的位移条件。构一致的位移条件。+=(8-2-1a)柔度矩阵的特征：柔度矩阵的特征：在在柔柔度度矩矩阵阵的的主主对对角角线线上上（左左上上角角至至右右下下角角的的斜斜直直线线）排排列列的的是是主主系系数数。主主对对角角线线两两侧侧，排排列列的的是是副副系系数数。根根据据位位移移互互等等定定理理，在在主主对对角角线线两两侧侧对对称称位位置置上上的的副副系系数数互互等等。所所以以，力力法法方方程程的的柔柔度度矩矩阵阵是是一一个个对对称称方方阵阵，其其独独立立的的柔柔度度系系数为个数为个。例例8-2-1使用力法计算图使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作所示超静定梁，并作弯矩图。弯矩图。(a)解：解：1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图法基本体系。见图(b)。(b)基本体系基本体系 2)写力法方程。写力法方程。(a)3)求力法方程中的系数和自由项。求力法方程中的系数和自由项。作基本结构分别在各多余力及荷载作用作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。（1）(c)(d)(e)图乘求系数和自由项。图乘求系数和自由项。(2)可由可由 的面积与该面积形心处的竖的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做标相乘得出，叫做自乘自乘。可由可由 图的面积与该面积形心对图的面积与该面积形心对对应的图的竖标相乘得出（由位移互对应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），等定理，也可交换取面积和竖标），叫做叫做互乘互乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，演由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图变成各弯矩图自乘自乘或或互乘互乘的过程。的过程。将所的系数和自由项代入力法方程将所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求解多余力。并求解多余力。(3)简化为：简化为：(b)解方程，得：解方程，得：(c)作弯矩图。见图作弯矩图。见图(f)。(4)(f)M图图 利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端（控制截面）弯矩值：（控制截面）弯矩值：（上侧受拉）（上侧受拉）（下侧受拉）（下侧受拉）说明：说明：(1)超超静静定定结结构构的的内内力力只只与与杆杆件件刚刚度度EI的的相对值有关，而与其绝对值无关。相对值有关，而与其绝对值无关。(2)作最后弯矩图的叠加公式：作最后弯矩图的叠加公式：(3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚力法解题一般步骤：（针对梁和刚架，并仅在荷载作用下）架，并仅在荷载作用下）确定结构的力法基本未知量，并绘出确定结构的力法基本未知量，并绘出相应的力法基本体系；相应的力法基本体系；1 作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作用下的弯矩图；载作用下的弯矩图；3 求力法方程中的系数和自由项；求力法方程中的系数和自由项；2 将系数和自由项代入力法方程，求解多将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；余未知力；4 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯矩图；的弯矩图；5 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结构的轴力图；作结构的轴力图；6 校核力法计算结果。校核力法计算结果。7 例例8-2-2计算图计算图(a)所示超静定刚架，并作弯矩图。所示超静定刚架，并作弯矩图。(a)解：解：1)确定基本未知量，并选择基本体系。确定基本未知量，并选择基本体系。对图对图(b)、(c)所示的两个基本体系比所示的两个基本体系比较。较。(b)基本体系基本体系1(c)基本体系基本体系1(b1)(b2)(b3)(c1)(c2)(c3)2)计算系数和自由项计算系数和自由项 3)将系数和自由项代入力法方程，并求解：将系数和自由项代入力法方程，并求解：解得：解得：4)计算杆端弯矩，并作弯矩图计算杆端弯矩，并作弯矩图（右侧受拉（右侧受拉）（左、上侧受拉）（左、上侧受拉）(d)M图图 说明：说明：力法简化计算主要是使力法方程解耦或使力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。联立数目减少。当所有的副系数等于零时，力法方程是完当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应是尽可能多的副系数等于零应是尽可能多的副系数等于零。在选择力法基本体系上注意比较对照，往在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有利于得出正确的结果。效果，节省时间并有利于得出正确的结果。例例8-2-3用力法计算图用力法计算图(a)所示组合结构，求出各所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已矩图。已知梁式杆的抗弯刚度知梁式杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆常数，各桁架杆的轴向刚度的轴向刚度EA=常数，且常数，且A=I/16。(a)解：解：1)确定力法基本体系确定力法基本体系(b)力法方程为：力法方程为：2)计算力法方程中的系数和自由项计算力法方程中的系数和自由项(c)因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图图(d)。(d)显然，计算系数或自由项均应分别考虑显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计算式。计算如下：算式。计算如下：3)将系数和自由项代入力法方程，并解之：将系数和自由项代入力法方程，并解之：4)计算内力计算内力（下侧受拉）（下侧受拉）桁架杆轴力：桁架杆轴力：（压力）（压力）（拉力（拉力）(e)力法方程中的柔度系数和荷载作用时自力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式：由项计算公式：梁和刚架：梁和刚架：桁架：桁架：对对于于曲曲杆杆或或拱拱结结构构，将将梁梁和和刚刚架架相相应应的的计计算算式式中中对对x的的积积分分换换乘乘对对曲曲线线杆杆轴轴的的的的积积分，即将分，即将dx换成换成ds。组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。自的计算式计算后叠加。力法解题的主要步骤为：力法解题的主要步骤为：判定结构的力法基本未知量，确定基本体判定结构的力法基本未知量，确定基本体系，并写出力法方程系，并写出力法方程(1)计算基本结构在各印数单独作用下的内力，计算基本结构在各印数单独作用下的内力，然后计算力法方程中的系数和自由项；然后计算力法方程中的系数和自由项；(2)将系数和自由项代入力法方程，并求解出多将系数和自由项代入力法方程，并求解出多余力；余力；(3)计算控制截面内力，做内力图，并进行最后计算控制截面内力，做内力图，并进行最后结果的校核。结果的校核。(4)第三节第三节 力法中的对称性利用力法中的对称性利用 若结构是对称的，荷载是正对称若结构是对称的，荷载是正对称时，结构的内力分布也是正对称时，结构的内力分布也是正对称的；荷载是反对称时，结构的内的；荷载是反对称时，结构的内力分布也是反对称的。力分布也是反对称的。若取对称的基本结构，并且多余若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，力也具有正或（和）反对称性，则，在正对称荷载作用下，结构则，在正对称荷载作用下，结构只有正对称多余力，反对称多余只有正对称多余力，反对称多余力等于零；在反对称荷载作用下，力等于零；在反对称荷载作用下，结构只有反对称多余力，正对称结构只有反对称多余力，正对称多余力等于零多余力等于零。例例8-3-1计算并绘制一超静定刚架分别在图计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所示荷载作用下的弯矩图。所示荷载作用下的弯矩图。(b)(a)返回返回 解：解：图图(a)，刚架在正对称荷载下的内力计算：刚架在正对称荷载下的内力计算：(a1)(a2)返回返回由图由图(a2)、(a3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项：(a3)代入力法方程，解得：代入力法方程，解得：计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：（外侧受拉）（外侧受拉）弯矩图见图弯矩图见图(c)。(c)图图(b)，刚架在反对称荷载下的内力计算：刚架在反对称荷载下的内力计算：取对称的基本结构，只考虑反对称的多取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，见图余力，见图(b1)、(b2)。(b1)(b2)(b3)由图由图(b2)、(b3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项：代入力法方程，解得：代入力法方程，解得：计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：（左侧受拉）（左侧受拉）（右侧受拉）（右侧受拉）弯矩图见图弯矩图见图(d)。(d)力法利用对称性需要且仅需要力法利用对称性需要且仅需要(1)取对称的基取对称的基本结构；本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反使多余力具有正对称或（和）反对称性。这两条必须同时满足。而不需要考对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑荷载是否具有对称或反对称性。虑荷载是否具有对称或反对称性。(a)原结构原结构 图图8-3-1(a)所示为一般荷载作用下的对所示为一般荷载作用下的对称结构，力法基本未知量为称结构，力法基本未知量为3,因而力法因而力法方程为：方程为：(a)取对称的基本结构如图取对称的基本结构如图(b)，其上的多余其上的多余力具有正对称和反对称性。力具有正对称和反对称性。(b)基本体系基本体系 其上的多余力具有正对称和反对称性。其上的多余力具有正对称和反对称性。基本结构在各多余力单独作用下弯矩图基本结构在各多余力单独作用下弯矩图自然具有相应的对称和反对称性。自然具有相应的对称和反对称性。(c)(d)(e)(f)代入方程代入方程(a)，得：得：(b)副系数为两个单位弯矩图的互乘，由于副系数为两个单位弯矩图的互乘，由于正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，所以有副系数：所以有副系数：利用对称性计算图利用对称性计算图(a)所示对称刚架。所示对称刚架。例例8-3-2(a)图图(a)所示对称刚架，为两次超静定结构所示对称刚架，为两次超静定结构。取图取图(c)所示基本结构，但在对称位置上所示基本结构，但在对称位置上的两个多余力在一般荷载作用下不具有的两个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，也不具有反对称性。对称性，也不具有反对称性。(c)仍然取与图仍然取与图(c)相同的基本结构，所不相同的基本结构，所不用的是将在对称位置上的两个多余力进用的是将在对称位置上的两个多余力进行分组，分成一组正对称的和一组反对行分组，分成一组正对称的和一组反对称的，见图称的，见图(b)所示。所示。(b)计算系数和自由项：计算系数和自由项：代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力：计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：（左侧受拉）（左侧受拉）（上侧受拉）（上侧受拉）（上侧受拉）（上侧受拉）弯矩图见图弯矩图见图(g)(g)第四节第四节 在支座移动、温度改变时的在支座移动、温度改变时的力法方程及示例力法方程及示例 概念概念除荷载除荷载(狭义上的外力狭义上的外力)以外其以外其它因数使结构发生的内力，常它因数使结构发生的内力，常称为结构的称为结构的自内力自内力。1.支座移动时的内力计算支座移动时的内力计算 与荷载作用下力法思路和建立方与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是：程的方法相同，所不同的是：基本结构（静定结构）在支座基本结构（静定结构）在支座移动时是刚体位移，并且无内移动时是刚体位移，并且无内力发生力发生；12基基本本结结构构多多余余力力处处沿沿多多余余力力方方向向上上与与原原结结构构一一致致的的位位移移条件一般不全等于零。条件一般不全等于零。以图以图8-4-1(a)所示超静定梁所示超静定梁为例，考虑超静定结构在支为例，考虑超静定结构在支座移动时的力法方程座移动时的力法方程 图图8-4-1(a)(b)基本结构基本结构其多余力处沿多余力方向上与其多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移原结构一致的位移条件：条件：取力法基本体系如图取力法基本体系如图(b)叠加基本结构在各因数单独叠加基本结构在各因数单独作用下的位移，得力法方程：作用下的位移，得力法方程：(a)式式中中分别表示基本结构分别表示基本结构在支座移动时沿多余力在支座移动时沿多余力方向上的位移方向上的位移 注注基本结构的支座移动，指基基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移本结构保留的支座上的位移 例例8-4-1图图(a)所示刚架，固定所示刚架，固定支座支座A在三个约束方向上都有位在三个约束方向上都有位移发生，即水平移发生，即水平位移位移a，竖向位竖向位移移a/2，转角位移转角位移a/L。各杆各杆EI相等，并为常数。只用力法计相等，并为常数。只用力法计算该刚架，并作弯矩图。算该刚架，并作弯矩图。解解取基本体系如图取基本体系如图(b)所示。所示。力法方程：力法方程：(a)作各单位多余力单独作用下的作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并求出相应的支座反弯矩图，并求出相应的支座反力见图力见图(d)、(e)(d)(e)计算柔度系数方法同前，即：计算柔度系数方法同前，即：自由项的计算是静定结构在支自由项的计算是静定结构在支座移动时的位移计算，可按演座移动时的位移计算，可按演变过来的自由项位移）计算公变过来的自由项位移）计算公式计算。即式计算。即(8-4-1)上式中：上式中：表示基本结构由于支表示基本结构由于支座移动引起的在多余力座移动引起的在多余力 方向上的位移方向上的位移 多余力多余力 =1单独作用在单独作用在基本结构上时引起的支座反基本结构上时引起的支座反力力 基本结构的支座位移基本结构的支座位移 本例自由项计算如下：本例自由项计算如下：求解多余力：求解多余力：计算杆端弯矩右侧受拉 左侧、上侧受拉 弯矩图见图弯矩图见图(c)(c)结构在支座移动下结构在支座移动下的最后弯矩叠加公的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的式仅含各多余力的影响。即：影响。即：(8-4-2)2.温度改变时的内力计算温度改变时的内力计算 (a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构(c)图图8-4-2(d)(e)图图8-4-2图图8-4-2(a)所示两次超静定梁，所示两次超静定梁，温度改变影响下的力法方程温度改变影响下的力法方程：(b)式式中中自由项自由项分别表示基本结构在分别表示基本结构在温度改变时沿多余力温度改变时沿多余力 和和 方向上的位移。方向上的位移。自由项的计算式可写成一自由项的计算式可写成一般形式：般形式：(8-4-3)式中式中分别表示基本结构在多分别表示基本结构在多余力余力 =1单独作用下，结构单独作用下，结构的杆件中产生的轴力值和弯的杆件中产生的轴力值和弯矩图的面积。矩图的面积。例例8-4-2图图(a)所示结构，除承所示结构，除承受图示的荷载外，内外侧的温受图示的荷载外，内外侧的温度也发生了改变，其度也发生了改变，其内侧升高内侧升高了，外侧升高了。杆件截面为了，外侧升高了。杆件截面为矩形，尺寸见图示。已知：，矩形，尺寸见图示。已知：，材料在温度下的线膨胀系数为。材料在温度下的线膨胀系数为。用力法计算并作弯矩图和轴力用力法计算并作弯矩图和轴力图。图。(a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构解解该刚架为一次超静定结构，基该刚架为一次超静定结构，基本体系如图本体系如图(b)，力法方程：力法方程：(a)(c)(d)(e)(f)计算系数和自由项：计算系数和自由项：由图由图(e)弯矩图自乘，弯矩图自乘，得：得：由图由图(e)和图和图(c)两弯矩两弯矩图图互乘，得互乘，得由式由式(8-4-3)计算：计算：(b)由题给条件知：由题给条件知：温度升高温度升高外侧温度高外侧温度高则则将以上所得值代入力法方将以上所得值代入力法方程程(a)式中，解得：式中，解得：矩形截面的抗弯刚度：矩形截面的抗弯刚度：计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：右侧右侧受拉受拉AB杆轴力：杆轴力：拉力拉力注注意意超静定结构在支座移动或温超静定结构在支座移动或温度的改变的影响下，会产生度的改变的影响下，会产生自内力，并且自内力与结构自内力，并且自内力与结构的刚度的绝对值有关；的刚度的绝对值有关；1 1超静定结构在支座移动下，或超静定结构在支座移动下，或由于温度的改变的影响，自内由于温度的改变的影响，自内力是由多余力作用在基本结构力是由多余力作用在基本结构上的内力体现的，因基本结构上的内力体现的，因基本结构是静定结构，在上述因素下不是静定结构，在上述因素下不产生内力。或者更简单得说，产生内力。或者更简单得说，自内力是由多余力引起的。自内力是由多余力引起的。2 2超超静静定定结结构构在在支支座座移移动动或或温温度度的的改改变变的的影影响响下下的的位位移移，应应考考虑虑所所取取的的力力法法基基本本结结构构的位移。的位移。3 3 第五节第五节超静定结构的位移计算及超静定结构的位移计算及 力法结果的校核力法结果的校核 1.超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算(7-3-3)1)载作用下的位移计算载作用下的位移计算(7-4-1)虚力状态（单位力作用下），虚力状态（单位力作用下），仍可由力法基本体系（基本结仍可由力法基本体系（基本结构在荷载等其他一切外因和多构在荷载等其他一切外因和多余力共同作用的体系）与原结余力共同作用的体系）与原结构一致的位移条件考虑。构一致的位移条件考虑。基本体系不仅在多余力方向与基本体系不仅在多余力方向与原结构的位移一致（力法方程原结构的位移一致（力法方程条件），并且显然应满足基本条件），并且显然应满足基本结构在任一截面上的位移都一结构在任一截面上的位移都一定与原结构一致。定与原结构一致。静定结构的位移计算静定结构的位移计算就是其任就是其任意一个基本体系的位移计算意一个基本体系的位移计算（因超静定结构的基本体系不（因超静定结构的基本体系不是唯一的，见图是唯一的，见图8-5-1(8-5-1(b)b)、(c)(c)）。）。计算超静定结构的位计算超静定结构的位移移时的虚单位力可加在其原结时的虚单位力可加在其原结构的任意一个基本结构上。构的任意一个基本结构上。超静定结构位移计算时的超静定结构位移计算时的单位虚弯矩图可以是一个单位虚弯矩图可以是一个静定结构的计算。见图静定结构的计算。见图8-5-1(e)、(f)。为了区别位移计算公式为了区别位移计算公式(7-4-1)相同的内力符号（分别表示结相同的内力符号（分别表示结构在荷载作用下的最后内力），构在荷载作用下的最后内力），并使位移计算公式更具一般形并使位移计算公式更具一般形式，将式式，将式(7-4-1)改写成：改写成：(7-5-1)超静定结构在荷载作用超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤：下的位移计算步骤：1 1计算超静定结构（原结构）计算超静定结构（原结构）在荷载作用下的内力（实际在荷载作用下的内力（实际状态）；状态）；2 2在原结构的任意一个基本结在原结构的任意一个基本结构上沿拟求位移方向施加虚构上沿拟求位移方向施加虚单位力，并计算由此单位力，并计算由此(1)(1)产产生的内力；生的内力；3 3将以上所得两种状态内力代入将以上所得两种状态内力代入位移计算公式（位移计算公式（7-5-1）计算）计算。例例8-5-1求图求图8-5-1(a)所示刚架所示刚架在荷载作用下在荷载作用下C端截面的转端截面的转角位移角位移q qC。(a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构1 1 (c)基本结构基本结构2 2(d)M图图(e)(f)图图8-5-1解刚架在荷载作用下的最后弯矩图刚架在荷载作用下的最后弯矩图已在例已在例8-2-2中得出，见图中得出，见图(d)。图图(e)、(f)示出了原结构的两个示出了原结构的两个基本结构的虚单位力作用下弯矩基本结构的虚单位力作用下弯矩图，比较后，显然后者与最后弯图，比较后，显然后者与最后弯矩图互乘较简单，因此取图矩图互乘较简单，因此取图(f)为原结构的虚力系。为原结构的虚力系。将图将图(d)、(f)互乘，得互乘，得（）一般选择虚单位弯矩图在一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能少结构上分布尽可能少的基的基本结构作虚力系。本结构作虚力系。注意注意2.支座移动和温度改支座移动和温度改变时的位移计算变时的位移计算(1)支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算一般形式一般形式(7-5-1)例例8-5-2求图求图(a)所示超静定梁所示超静定梁由于由于B支座位移引起的梁中点的支座位移引起的梁中点的竖向位移。竖向位移。(a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构解解1)用力法计算原结构，作梁在支用力法计算原结构，作梁在支座移动时的最后弯矩图（实际状座移动时的最后弯矩图（实际状态）。取图态）。取图(b)所示简支梁为力所示简支梁为力法基本结构，力法方程为：法基本结构，力法方程为：(1)方程中的系数和自由项：方程中的系数和自由项：基本结构在单位多余力作用下基本结构在单位多余力作用下的弯矩图和支座移动单独作用的弯矩图和支座移动单独作用下的刚体位移见图下的刚体位移见图(d)、(f)。(c)(d)(e)M图图(f)M图图将系数和自由项代入力法将系数和自由项代入力法方程，求解多余力：方程，求解多余力：杆端弯矩：杆端弯矩：作最后弯矩图：作最后弯矩图：上侧受拉上侧受拉梁的最后弯矩图见图梁的最后弯矩图见图(e)所示。所示。2)虚设单位力见图虚设单位力见图(g)，作作虚单位弯矩图并求支座反虚单位弯矩图并求支座反力（虚力状态）。力（虚力状态）。(g)虚单位弯矩图虚单位弯矩图(h)(i)虚单位弯矩图虚单位弯矩图(h)3)利用位移计算公式利用位移计算公式(7-3-3)求位移求位移(a)（）则则说明：说明：1 1根据所取虚单位力所在的基本根据所取虚单位力所在的基本结构不同，公式结构不同，公式(a)的右侧后一的右侧后一项做相应的取舍。如若取悬臂项做相应的取舍。如若取悬臂梁建立虚单位力系，见图梁建立虚单位力系，见图(i)示，示，位移计算公式（位移计算公式（a）为零。即为零。即()2 2超静定结构在支座移动时的超静定结构在支座移动时的位移，在力法中应表现为由位移，在力法中应表现为由多余力（自内多余力（自内力）作用在基力）作用在基本结构上引起的位移，再加本结构上引起的位移，再加上基本结构在支座移动时的上基本结构在支座移动时的位移。因基本结构若有支座位移。因基本结构若有支座移动时有位移发生。移动时有位移发生。(2)温度改变时的位移算温度改变时的位移算一般形式一般形式(8-5-2)例例8-5-3图图(a)所示单跨超静定梁，所示单跨超静定梁，其上下侧的温度改变量分别为其上下侧的温度改变量分别为t1、t2，且且t2=3=3t1，h=L/10，材料的材料的线膨胀系数为线膨胀系数为a a。求梁求梁B端的转端的转角位移角位移q qB。(a)(b)原结构原结构(e)(c)(d)(f)解解1)用力法计算超静定梁在温度用力法计算超静定梁在温度改变时的内力，作弯矩图、轴改变时的内力，作弯矩图、轴力图。力图。力法基本体系见图力法基本体系见图(c)c)。由单位多余力作用下的弯矩图由单位多余力作用下的弯矩图见图见图(f)f)，自乘得：自乘得：自由自由项项代入力法方程代入力法方程解方程得：解方程得：作梁的最后弯矩图，见图作梁的最后弯矩图，见图(g)。(g)(h)3)求超静定梁求超静定梁B端转角位移端转角位移虚单位力作用在简支梁上并虚单位力作用在简支梁上并绘虚单位弯矩图，见图绘虚单位弯矩图，见图(h)由公式由公式(8-5-2)计算如下：计算如下：（）若取虚单位力作用在悬臂梁上，若取虚单位力作用在悬臂梁上，见下页图见下页图(i)，则角位移则角位移:（）(i)(i)2.力法结果校核力法结果的主要校核条件是位移条件。具体校核方法是，选择结构上某一已知位移点，计算该点位移看是否等于已知值。例例8-5-4已用力法求得图已用力法求得图(a)刚架弯矩图如图刚架弯矩图如图(b)，校核该校核该弯矩图弯矩图(a)(b)(c)解解C点的竖向位移等于零：点的竖向位移等于零：虚设单位力系见虚设单位力系见(c)，由图由图(b)、(c)互乘得：互乘得：1)选已知位移点选已知位移点2)计算该位移计算该位移例例8-5-5由力法得在支座移动由力法得在支座移动时梁的弯矩图见图时梁的弯矩图见图(b)，校核校核该弯矩图。该弯矩图。(a)(c)(b)(d)解解1)选择已知位移点选择已知位移点梁支座梁支座A端的角位移等于零：端的角位移等于零：2)计算该位移计算该位移虚设单位力系见图虚设单位力系见图(d)说明：说明：在计算超静定结构的未知位移在计算超静定结构的未知位移时，选择虚单位力所在的基本时，选择虚单位力所在的基本结构应使单位弯矩图的图形越结构应使单位弯矩图的图形越简单、在结构上分布的越少越简单、在结构上分布的越少越好；好；1 12 2在力法结果校核的已知位移在力法结果校核的已知位移计算中，选择虚单位力所在计算中，选择虚单位力所在的基本结构应使单位弯矩图的基本结构应使单位弯矩图尽可能布满结构的所有杆件尽可能布满结构的所有杆件上。上。