经济数学第1章函数极限与连续课件.pptx

1.1 函数1.2 极限的概念1.3 极限的运算1.4 函数的连续性第第1章章 函数极限与连续函数极限与连续结束当自变量当自变量x取数值取数值 时，与时，与 对应的因变量对应的因变量y的值称的值称为函数为函数 在点在点 处的函数值处的函数值,记为记为 或或 .当当x 取取遍遍D内的各个数值时内的各个数值时,对应的变量对应的变量y 取值的全体组成取值的全体组成定义定义1 设设x与与y是两个变量，若当变量是两个变量，若当变量x在非空数集在非空数集D内任取内任取一个数值时，变量一个数值时，变量x 按照某种对应法则按照某种对应法则f 总有一个确定的总有一个确定的数值数值y 与之对应，则称变量与之对应，则称变量y为变量为变量x 的的函数，记作函数，记作称称D为该函数的定义域为该函数的定义域.记为记为Df 称称x为自变量，称为自变量，称y为因变量为因变量.1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念数集称做这个函数的值域数集称做这个函数的值域.记为记为Zf。1.1 1.1 函函 数数 1.1.2 1.1.2 函数的表示法函数的表示法 例例1 1 已知某商品的总成本函数为：已知某商品的总成本函数为：例例2 2 某工厂全年某工厂全年1 16 6月原材料进货数量如下表，月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 T(月)123456Q(吨)111012111212(1)公式法公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法系，是函数的公式表示法.如例如例1是用公式法表示函数是用公式法表示函数.(2)表格法表格法 自变量自变量x与因变量与因变量y的一些对应值用表格列出的一些对应值用表格列出(3)图示法图示法 用函数用函数y=f(x)的图形给出自变量的图形给出自变量x与与因变量因变量y 之间的关系之间的关系.例例3 3 需求函数与供给函需求函数与供给函数数.,.,如图如图.P表示商品价格表示商品价格,Q表示需求量表示需求量,供给量供给量,E点点为需求和供给平衡点为需求和供给平衡点 SSEQPOQ=(P)Q=f(P)说明说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。互补充。例例4 求函数求函数 的定义域的定义域(1)(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。注注:(2)(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数它们是相同的函数 (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集成的数集.(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.解解 当分母当分母 时时,此函数式都有意义此函数式都有意义 因此函数的定义域为因此函数的定义域为例例5求函数求函数 的定义域的定义域.所以函数的定义域为所以函数的定义域为 与与 .解要使函数解要使函数y 有定义，必须使有定义，必须使这两个不等式的公共解为这两个不等式的公共解为解解 当当 时时,函数值函数值 设有函数设有函数 ,问它们是否为同一个函数问它们是否为同一个函数.例例6由于由于 与与 的定义域不同的定义域不同,所以它所以它们不是同一个函数们不是同一个函数.但是但是 的定义域的定义域而而 在点在点 无无定义定义其定义域为其定义域为在实际问题中在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数数称为分段函数 例如符号函数例如符号函数 是一个分段函数，它的定义域为是一个分段函数，它的定义域为 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数是表示几个函数.f(x)的定义域是的定义域是0,2，例例7当当 时时,当当 时时,定义定义 设设y是是u的函数，的函数，y=f(u)，而，而u是是x的函数的函数 ，并且，并且 的值域包含的值域包含f(u)的定义的定义域，即域，即 ，则，则y 通过通过u 的联系也是的联系也是x的函的函数，称此函数是由数，称此函数是由y=f(u)及及 复合而成的复合复合而成的复合函数，记作函数，记作1.1.3 复合函数复合函数并称并称 x 为自变量，称为自变量，称 u 为中间变量为中间变量.例例8 分析函数分析函数 是由哪是由哪 几个函数复合而成几个函数复合而成.解解复合而成复合而成,并易知其定义域为并易知其定义域为例例9 求由函数求由函数 组成的复合函数并求其组成的复合函数并求其 定义域定义域.解解 由于由于 的定义域为的定义域为 与与u=3x1的值域的值域 有公共部分，有公共部分，由于由于 必须必须 ，从而，从而 ，故复合函数的定义域是故复合函数的定义域是 .所以由它们可以组成复合函数所以由它们可以组成复合函数例例10 设设解解(1)幂函数幂函数幂函数幂函数 的定义域随的定义域随 的不同而不同的不同而不同.1.1.基本初等函数基本初等函数(是常数是常数)当当 为无理数时为无理数时,规定规定 的定义域为的定义域为指数函数指数函数 的定义域为的定义域为 .当当a1时，它严格时，它严格单调增加；当单调增加；当0a1时，它严格单调增加；当时，它严格单调增加；当0a1时，时，它严格单调减少它严格单调减少.对于任何限定的对于任何限定的a，的值域都的值域都是是 ，函数的图形都过，函数的图形都过(1,0)点点.(2)指数函数是常数）指数函数是常数）在高等数学中，常用到以在高等数学中，常用到以e为底的指数函数为底的指数函数 和以和以e为底的对数函数为底的对数函数 (记作记作ln x),ln x称为自然对数称为自然对数.这里这里 e =2.718 2818 ，是一个无理数是一个无理数.(4)三角函数三角函数常用的三角函数有：常用的三角函数有：正弦函数正弦函数 y=sin x;余弦函数余弦函数 y=cos x;y=sin x与与y=cos x 的定义域均为的定义域均为 ，它们都，它们都是以是以 为周期的函数，都是有界函数为周期的函数，都是有界函数.数，并且在开区间数，并且在开区间 内都是无界函数内都是无界函数.正切函数正切函数 y=tan x;余切函数余切函数 y=cot x;tan x与与cot x是以是以 为周期的周期函数，并且在其定为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数义域内是无界函数.sin x,tan x及及cot x是奇函数，是奇函数，cos x是是偶函数偶函数.此外还有正割函数此外还有正割函数y y=sec=secx,余割函数余割函数y y=csc=cscx,其中其中 .它们都是以它们都是以 为周期的函为周期的函(5)反三角函数反三角函数三角函数三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和和y=cot x的反函的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作称为主值分支，分别记作反正弦函数反正弦函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数2 2 初等函数初等函数定义定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称称 为初等函数为初等函数.初等函数都可以用一个公式表式初等函数都可以用一个公式表式大部分分段函数不是初等函数大部分分段函数不是初等函数是非初等函数是非初等函数定义定义3 设函数设函数y=f(x)是定义在是定义在Df上的一个函数，其值域为上的一个函数，其值域为Zf ,对任意对任意y Zf ,如果有唯一确定的满足如果有唯一确定的满足y=f(x)的的x Df与与之对应，则得到一个定义在之对应，则得到一个定义在Zf上以上以y为自变量的函数，我为自变量的函数，我们称它为函数们称它为函数y=f(x)的反函数，记作的反函数，记作1.1.5 1.1.5 反函数与隐函数反函数与隐函数1 1 反函数反函数习惯上，常用习惯上，常用x来表示自变量，来表示自变量，y 表示因变量，所表示因变量，所以我们可以将反函数改写成以我们可以将反函数改写成在直角坐标系中的在直角坐标系中的 图形与图形与y=f(x)的图形是的图形是关于直线关于直线y=x 对称的对称的.例例11 设函数设函数y=2x3，求它的反函数并画出图形，求它的反函数并画出图形.解解于是得反函数于是得反函数 变变量量之之间间的的函函数数关关系系，是是由由某某个个二二元元方方程程 给给出的，这样的函数称为隐函数出的，这样的函数称为隐函数例例 有有些些隐隐函函数数可可以以改改写写成成显显函函数数的的形形式式，而而有有些些隐隐函函数数不不能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做 隐函数的显化隐函数的显化2 隐函数隐函数1 1 奇偶性奇偶性设函数设函数y=f(x)的定义域的定义域D是关于原点对称的，即是关于原点对称的，即当当 时，时，有有 .则称则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称；轴对称；如果对于任意的如果对于任意的 ，均有，均有则称函数则称函数f(x)为奇函数为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称奇函数的图形关于坐标原点对称.如果对任意的如果对任意的 ,均有均有1.1.6 1.1.6 函数的基本性质函数的基本性质例例12 讨论下列函数的奇偶性讨论下列函数的奇偶性:解解 设函数设函数y=f(x),如果存在正常数如果存在正常数 T,使得对于定义域内使得对于定义域内的任何的任何x均有均有 f(x+T)=f(x)成立，则称函数成立，则称函数y=f(x)为为显然，若显然，若T是周期函数是周期函数f(x)的周期，则的周期，则kT也是也是f(x)的周期的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就，通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期是指最小正周期.2 周期性周期性 周期函数，周期函数，T为为f(x)的周期的周期.例如，函数例如，函数y=sin x及及y=cos x都是以都是以 为周期的为周期的周期函数；周期函数；函数函数y=tan x及及y=cot x都是以都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.解解 设所求的周期为设所求的周期为T，由于，由于例例13 求函数的周期，其中求函数的周期，其中 为常数为常数并注意到并注意到 的周期为的周期为 ,只需只需使上式成立的最小正数为使上式成立的最小正数为所以函数所以函数 的周期为的周期为3 3 单调性单调性设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义(即即是函数是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的如果对于任意的 ，当，当 时，均有时，均有则称函数则称函数y=f(x)在区间在区间上单调增加上单调增加(或单调减少或单调减少).单调增加单调增加(或单调减少或单调减少)的函数又称为单调递增的函数又称为单调递增(单调递减单调递减)函数函数,统称为单调函数统称为单调函数,使函数保持单调使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间.函数函数 内是单调减少的，在区间内是单调减少的，在区间 上是单调增加的上是单调增加的,而在区间而在区间 内则不是单调内则不是单调函数函数.单调增加的函数的图形是沿单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；轴正向上升的；单调减少的函数的图形是沿单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；轴正向下降的；例如，函数例如，函数 内是单调增加的内是单调增加的.4 4 有界性有界性设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，数集，数集 ,如果存在如果存在正数正数M，使得对于任意的，使得对于任意的 ,都有不等式都有不等式成立，则称成立，则称f(x)在在X上有界，如果这样的上有界，如果这样的M不存在，就不存在，就称函数称函数f(x)在在X上无界上无界.如果如果M为为f(x)的一个界，易知比的一个界，易知比M大的任何一个正大的任何一个正数都是数都是f(x)的界的界.如果如果f(x)在在x上无界，那么对于任意一个给定的上无界，那么对于任意一个给定的正数正数M，X中总有相应的点中总有相应的点 ，使，使 .当函数当函数y=f(x)在区间在区间a,b上有界时，函数上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线的图形恰好位于直线y=M 和和y=之间之间.这里取这里取=1.函数函数y=sin x 的图形位于直线的图形位于直线y=1与与y=1之间之间.例如，函数例如，函数f(x)=sin x在在 内是有界的内是有界的.这是因为对于任意的这是因为对于任意的 ，都有都有 成立，成立，应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围特点，还要注意自变量的变化范围.例如，函数例如，函数 在区间在区间(1,2)内是有界的内是有界的.事实上，若取事实上，若取=1，则对于任何，则对于任何 而而 在区间在区间(0,1)内是无界的内是无界的.1.1.7 1.1.7 函数关系的建立函数关系的建立例例14 14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以内，每千米内，每千米k元；超过千米，超过部分每千米元；超过千米，超过部分每千米 元元,求求运价运价P 和运送里程和运送里程s s 之间的函数关系之间的函数关系 解解 根据题意可列出函数关系如下根据题意可列出函数关系如下 这里运价这里运价P和运送里程和运送里程s 之间的函数关系是用之间的函数关系是用 分段函数表示的分段函数表示的 总成本函数总成本函数 平均成本函数平均成本函数1 1 总成本函数总成本函数 某某商商品品的的总总成成本本是是指指生生产产一一定定数数量量的的产产品品所所需需的的全全部部经经济济资资源源投投入入(劳劳力力、原原料料、设设备备等等)的的价价格格或或费费用用总总额额，它由固定成本与可变成本组成它由固定成本与可变成本组成 平平均均成成本本是是生生产产一一定定数数量量的的产产品品，平平均均每每单单位位产产品品的的成本成本 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数1.1.8 1.1.8 常见的经济函数常见的经济函数2 2 总收益函数总收益函数总总收收益益是是生生产产者者出出售售一一定定量量产产品品所所得得到到的的全全部部收收入入，是是销售量的函数销售量的函数 设设p为商品价格，为为商品价格，为Q 销售量，为总收益，则有销售量，为总收益，则有 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 3 3 总利润函数总利润函数 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为C，销售收益函数，销售收益函数R为，为，则销售某商品个单位时的总利润函数为则销售某商品个单位时的总利润函数为 例例15 15 已知某产品的总成本函数为已知某产品的总成本函数为 求当生产求当生产100100个该种产品时的总成本和平均成本个该种产品时的总成本和平均成本平均成本为平均成本为 4 4 需求函数与供给函数需求函数与供给函数解由题意，产量为解由题意，产量为100时的时的 总成本函数为总成本函数为 1 1 数列的概念数列的概念定义定义1 1 自变量为正整数的函数自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数由小到大排成一列数 称为数列，将其简记为称为数列，将其简记为 称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项1.2.1 数列的极限数列的极限1.2 1.2 极限的概念极限的概念(1)(3)(4(4)(2)即即数列数列数列数列数列数列2.数列的极限数列的极限数列（数列（1 1）当）当n无限增大时无限增大时,无限趋近于无限趋近于0 0，即数列（即数列（1 1）以）以0 0为它的变化趋向；为它的变化趋向；数列（数列（2 2）当）当n无限增大时无限增大时,un=无限趋近于常数无限趋近于常数1,1,即数列（即数列（2 2）以）以1 1为它的变化趋向为它的变化趋向；数列（数列（3 3），当），当n无限增大时，无限增大时，其奇数项为其奇数项为1 1，偶，偶数项为数项为-1-1，随着，随着n 的增大，它的通项在的增大，它的通项在-1,+1-1,+1之间变动，之间变动，所以当所以当n 无限增大时，没有确定的变化趋向；无限增大时，没有确定的变化趋向；数列（数列（4 4）当）当n 无限增大时，无限增大时，un也无限增大也无限增大 定义定义2 如果当如果当n无限地增大时，通项无限地增大时，通项un无限地趋向于无限地趋向于某个确定的常数某个确定的常数a，则说当，则说当n趋于无穷大时，趋于无穷大时，un 以以a为为极极限，记成限，记成 但是，像数列但是，像数列 等等 当当n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？如果有，极限是什么？直观上可以看出直观上可以看出单调增加或单调减少的数列统称为单调数列单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.成立成立,则称数列则称数列 是单调减少的是单调减少的.若有若有3.单调数列与有界数列单调数列与有界数列数列数列(2)(4)(2)(4)是单调增加的，数列是单调增加的，数列(1)(1)单调减少的单调减少的.对于数列对于数列 ,若有若有成立成立,则称数列则称数列 是单调增加的是单调增加的;对于数列对于数列 ，若存在正数，若存在正数M，使得对于一切的，使得对于一切的n都有都有成立，则称数列成立，则称数列 是有界的，否则称是有界的，否则称 是无界的是无界的.容易验证数列容易验证数列(1)(2)(3)是有界的；而数列是有界的；而数列(4)是无是无界的界的.无界数列一定是发散的无界数列一定是发散的.注意注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列例如，数列 是有界的，而是有界的，而 却是发散数列却是发散数列.定理定理1 1单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 1.当当x时时,函数函数f(x)的极限的极限函数函数当当x+时时,函数函数 f(x)无限趋近于常无限趋近于常数数1 1，此时我们称，此时我们称1 1为为当当x+时函时函数数f(x)的极限的极限.定义定义3 3 如果当自变量如果当自变量x无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)无限趋近无限趋近于某个确定的常数于某个确定的常数A，则称常数，则称常数A为函数为函数f(x)当当x+时时的极限，记为的极限，记为或或1.2.2 函数的极限函数的极限-11当当x-时时,函数函数 f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数1 1，此时我们称，此时我们称1 1为为当当x-时函数时函数f(x)的极限的极限.定义定义4 4 如果当如果当 无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)无限趋近无限趋近于某个确定的常数于某个确定的常数A，则称常数，则称常数A为函数为函数f(x)当当x+时的极限，记为时的极限，记为(x)或或定理定理2 2的充要条件是的充要条件是2 当当xx0时时,函数函数f(x)的极限的极限当当x1 1时时,的值无限趋近的值无限趋近于常数于常数2 2，此时我们称当，此时我们称当x趋近于趋近于1 1时，时，函数函数 极限为极限为2 2 定义定义5 设函数设函数 f(x)在在的某邻域内有定义（的某邻域内有定义（x0可以除外）可以除外）,如果当自变量如果当自变量x 趋近于趋近于x0 时时,函数函数 f(x)的函数值无限趋近于的函数值无限趋近于某个确定的常数某个确定的常数 A,则称则称A为函数为函数 f(x)当当xx0时的极限，时的极限，或或21考查函数考查函数记为记为 2 2 在定义在定义5 5中，中，x 是以任意方式趋近于是以任意方式趋近于 的，但在有的，但在有些问题中，往往只需要考虑点些问题中，往往只需要考虑点x 从从 的一侧趋近于的一侧趋近于 时，时，函数函数f(x)的变化趋向的变化趋向 注注:1.在在 时的极限是否存在时的极限是否存在,与与 在在 点点 处有无定义以及在点处有无定义以及在点 处的函数值无关处的函数值无关如果当如果当 从从 的左侧的左侧 趋近于趋近于 (记为记为 ）时）时,以以A为为极极限限，则则称称A为为函函数数 当当 时时的的左左极极限限，记为记为或或如果当如果当 从从 的右侧的右侧 趋近于趋近于 （记为（记为 ）时）时,以以A为极限，则称为极限，则称A为函数为函数 当当 时的右极时的右极或或 ()限，记为限，记为函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系：定理定理3 3 注注:定理定理3 3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例2 2 判断函数判断函数 在在 点处是否有极限点处是否有极限.解解:因为因为所以所以定理定理4(4(唯一性定理唯一性定理)如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 2 2 函数极限的性质函数极限的性质定理定理5(5(有界性定理有界性定理)若函数若函数f(x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界在该邻域内有界定理定理6(6(两边夹定理两边夹定理)如果对于如果对于x0 0的某邻域内的一切的某邻域内的一切 x(可可以以除除外外)，有有 ，且，且则则1.1.无穷小量无穷小量定义定义7 若变量若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小在此过程下为无穷小量，简称无穷小.1.2.3 1.2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例例3例例4时的无穷小量时的无穷小量.时的无穷小量时的无穷小量.因为因为所以所以因为因为所以所以例如函数例如函数 时的无穷时的无穷小，但当小，但当时不是无穷小。时不是无穷小。当当 时，时，的极限不为零，所以当的极限不为零，所以当 时，函数时，函数 不是无穷小，而当不是无穷小，而当 时时是无穷小量。是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。出其变化过程。定理定理7 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中 (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.2.无穷小的性质无穷小的性质例例5解解 注意注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为因为 不存在不存在.所以所以时的无穷小量时的无穷小量.为有界变量为有界变量,3.无穷大量无穷大量定义定义8 在自变量在自变量x的某一变化过程中的某一变化过程中,若函数值的绝对若函数值的绝对值值 无限增大，则称无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无穷为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大大量，简称无穷大.记作记作 记记f(x)是无穷大，只是无穷大，只是为了书写的方便，同时也表明了当是为了书写的方便，同时也表明了当 时时f(x)虽然无虽然无极限，但还是有明确趋向的极限，但还是有明确趋向的.无穷大量是一个绝对值可无无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数.注意：注意：函数函数f(x)当当 时为无穷大，则极限时为无穷大，则极限 是不存在的是不存在的.利用记号利用记号4 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小无穷小(不等于不等于0)的倒的倒数是无穷大数是无穷大.定理定理9 在自变量的同一变化过程中，若在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大为无穷大,则则 为无穷小为无穷小;反之反之,若若f(x)为无穷小且为无穷小且f(x)不等于不等于0,则则 为无穷大为无穷大.例如：例如：以后，遇到类似例以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果的题目，可直接写出结果.例例6解解例例7 7考察考察 当当 时，时，为无穷大量；为无穷大量；当当 时，时，为无穷小量；为无穷小量；定理定理1 设设 ,则则 1.3.1 1.3.1 极限的运算法则极限的运算法则下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立论对数列极限也成立.1.3 1.3 极限的运算极限的运算其中自变量其中自变量x的趋势可以是的趋势可以是 等各种情形等各种情形.定理定理1中的中的(1)和和(2)可以推广到有限个函数的代数可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况和及乘积的极限情况.结论结论(2)还有如下常用的推论还有如下常用的推论.推论推论1 设设limf(x)存在，则对于常数存在，则对于常数c，有，有推论推论2 设设limf(x)存在，则对于正整数存在，则对于正整数k，有，有例例1解解一般地，设有多项式一般地，设有多项式(有理整函数有理整函数)则有则有即即例例2解解设有理分式函数设有理分式函数式式(1)与式与式(2)说明对于有理函数求关于说明对于有理函数求关于 的极的极限时，如果有理函数在点限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用点处的函数值，以后可以当做公式使用.例例3解解例例4解例例5解解例例6 ，然后再求极限，得，然后再求极限，得分母同时除以分母同时除以分子分子,3x解解一般地一般地,对于有理分式有对于有理分式有:其中其中n,m为正整数为正整数1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限重要极限重要极限1 其中的两个等号只在其中的两个等号只在x=0时成立时成立.证证设圆心角设圆心角 过点过点A作圆的切线与作圆的切线与OB的延的延长线交于点长线交于点C，又作，又作则则sin x=BD，tan x=AC，BODACx当当 时时首先证明不等式首先证明不等式当当 时有时有即当即当 时时BODACx而当而当 时有时有 ,从而从而即当即当 时有时有这就证明了不等式这就证明了不等式 .从而有从而有由夹逼准则，即得由夹逼准则，即得例例7解解1coslim0此题中用到此题中用到xx=例例8解解例例9解解这是重要极限这是重要极限2常用的另一种形式常用的另一种形式.重要极限重要极限2例例10解解 令令 ,则当则当 时时,因此因此例例1111解解例例12 12 设有本金设有本金10001000元，若用连续复利计算，年利元，若用连续复利计算，年利 率为率为8%8%，问，问5 5年末可得本利和为多少？年末可得本利和为多少？解解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为设复利一年计算一次，则一年末本利和为若复利一年计算若复利一年计算n次，则次，则x年末本利和为年末本利和为 x年末本利和为年末本利和为所以所以1.3.3 无穷小的比较无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，的速度，我们引入无穷小量阶的概念我们引入无穷小量阶的概念.此时也称此时也称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小.(3)如果如果 ,则称则称 是比是比 阶的无穷小阶的无穷小.记作记作(2)如果如果 ,则称则称 与与 是等价无穷小是等价无穷小,记作记作(1)如果如果 是常数是常数),则称则称 是同阶无穷小是同阶无穷小.定义定义 设设 时为无穷小时为无穷小(且且 ).所以当所以当 时时,与与x是等价无穷小是等价无穷小,即即所以当所以当 时时,是比是比x高阶的无穷小高阶的无穷小,即即例例13例例14 因为因为同理可知同理可知,当当 时时,所以当所以当 时时,是同阶无穷小是同阶无穷小.关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理.证证定理定理2根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算代替，如果选择适当，可简化运算.用定理用定理2求极限，需要预先知道一些等价无穷小求极限，需要预先知道一些等价无穷小.一些常用的等价无穷小如下：一些常用的等价无穷小如下：当当 时时例例15解解例例16解解例例17解解注意：注意：相乘相乘(除除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加但是相加(减减)的无穷小的项不能作等价代换，例如的无穷小的项不能作等价代换，例如是完全错误的是完全错误的1.4.1 1.4.1 函数连续性的概念函数连续性的概念相应的函数的改变量（增量）相应的函数的改变量（增量）:函数的函数的终值终值 与初值与初值 之差之差 称为自变量的改变量，记为称为自变量的改变量，记为1.1.改变量（增量）：改变量（增量）：1.4 1.4 函数的连续性函数的连续性0当自变量由初值当自变量由初值 变化到终值变化到终值 时，终值与初值之差时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为称为自变量的改变量，记为 定义定义1 1：设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，当自变量在点当自变量在点 处有增量处有增量 时，相应的函数有增量时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量 趋于零趋于零时，函数的增量时，函数的增量 也趋于零，即也趋于零，即则称函数则称函数 在点在点 处连续，点处连续，点 称为函数的连称为函数的连续点续点2.2.连续连续若记若记 ，则，则 ，且当，且当 时，时，故定义故定义1 1又可叙述为又可叙述为注：注：定义定义2 2：设函数设函数y=f(x)在点在点 的某邻域内有定义，若有的某邻域内有定义，若有 ,则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续.（1）定义）定义1与定义与定义2是等价的是等价的,即即由左右极限定义可定义左右连续定义由左右极限定义可定义左右连续定义（2）由定义）由定义2可知若函数可知若函数 在点在点 处连续，处连续，则函数则函数 在点在点 处的极限一定存在，反之不处的极限一定存在，反之不一定连续一定连续（3）当函数）当函数 在点在点 处连续时，求处连续时，求 时，只需求出时，只需求出 即可即可定义定义3 3：若函数：若函数 满足满足 ，则称，则称函函 数数 在点处左连续。在点处左连续。同理可以定义右连续同理可以定义右连续3 3、左右连续、左右连续4 4、区间连续、区间连续定义定义4 4：若函数：若函数 在（在（a,b）内每一点都连续）内每一点都连续 ，则称，则称函数函数 在（在（a,b）内连续。）内连续。由定理由定理3 3可知：函数可知：函数 在点在点 处连续既左连续又右处连续既左连续又右连续即连续即证明证明 y=sin sin x在在 内连续内连续例例1 1证证 对任意对任意有有因为因为所以所以故故 在在 内连续内连续定义定义5 5 若函数若函数y=f(x)在（在（a,b）内每一点都连续，且）内每一点都连续，且在左端点在左端点a 处右连续，在右端点处右连续，在右端点b处左连续，则称处左连续，则称函数函数y=f(x)在在a,b上连续。上连续。1.4.2 1.4.2 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类则一定满足以下条件则一定满足以下条件如果如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点在点不能满足以上任何一个条件，则点 是函数是函数 的间断点。的间断点。1.1.可去间断点：可去间断点：如果函数在点如果函数在点 的极限存在，但不等于的极限存在，但不等于 ，即，即则称则称 为为 的可去间断点。的可去间断点。例例2 2解解所以所以x=1=1为可去间断点为可去间断点重新定义新的函数：重新定义新的函数：则则x=1=1成为函数的连续点成为函数的连续点2.2.跳跃间断点：跳跃间断点：例例3 3所以所以 x=1=1为跳跃间断点为跳跃间断点左右极限存在不相等左右极限存在不相等 当当 时，函数值不断地在两点之间跳时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在动，左右极限均不存在3.3.无穷间断点无穷间断点 f(x)在点在点 的左、右极限至少有一个是无穷的左、右极限至少有一个是无穷大，则称大，则称 为为f(x)的无穷间断点的无穷间断点 例例4 4 x=0=0为为无穷间断点无穷间断点4.4.振荡间断点振荡间断点例例5x=0是其振荡间断点是其振荡间断点间断点的类型间断点的类型：第一类间断点第一类间断点:我们把左右极限都存在的间断点称为第一我们把左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点类间断点.第二类间断点第二类间断点:除第一类以外的间断点除第一类以外的间断点,即左右极限至少有即左右极限至少有 一个不存在的间断点称为第二类间断点一个不存在的间断点称为第二类间断点.例例6 6解解函数在函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义处没有定义所以所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点是函数的间断点所以所以x=-1是函数的无穷间断点是函数的无穷间断点所以所以x=0是函数的跳跃间断点是函数的跳跃间断点()()所以所以x=1是函数的可去间断点是函数的可去间断点解解分界点为分界点为 x=1,=1,x=2=2（i i）当）当 x=1=1时时 所以所以 x=1 是函数的跳跃间断点是函数的跳跃间断点()例例7（iiii）讨论）讨论 x=2=2 而而f(2)=5(2)=5 所以所以x=2是函数的连续的点是函数的连续的点因此因此,分段函数的分界点是可能间断点分段函数的分界点是可能间断点 设函数设函数y=f(u)在点在点 处连续处连续,u=f(x)在点在点 处连处连续续,且且 ,则复合函数则复合函数 在点在点 处连续处连续.1.4.3 1.4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 定理定理1 1 单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。连续函数。设设f(x),),g(x)均在点均在点 处连续处连续,则则 也在处连续也在处连续因此因此,基本初等函数在其定义域内连续基本初等函数在其定义域内连续.定理定理2 2定理定理3 3即：即：因此因此,一切初等函数在其定义区间内连续一切初等函数在其定义区间内连续.1.4.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理4 4（最值定理）闭区间上的连续函数一定（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。有最大值和最小值。注注：对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论不一定成立。不一定成立。定理定理5 5（介值定理介值定理）设函数设函数f(x)在在 a