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第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动 刚体刚体 rigid body：在外力（在外力（无论多大无论多大）作用下，作用下，形形状和大小都不状和大小都不发生发生变化变化的物体。的物体。1、刚体、刚体运动时运动时，各质元之间的各质元之间的相对相对相对相对距离距离距离距离保持不变。保持不变。2、刚体是一种理想模型。视作、刚体是一种理想模型。视作特殊质点组特殊质点组特殊质点组特殊质点组。一、刚体的一、刚体的平动平动刚体运动时，体内任意两点刚体运动时，体内任意两点连线的方向始终保持不变连线的方向始终保持不变。刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式平动平动 translation 转动转动 rotation 平动的特点：平动的特点：1)刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同2)刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动 刚体平动刚体平动 质心运动质心运动实际实际:对质心对质心有有“质心运动定理质心运动定理”5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述二、刚体的二、刚体的定轴定轴转动转动 当当刚刚体体内内所所有有点点都都绕绕同同一一直直线线作作圆圆周周运运动动，这这种种运动称为运动称为转动转动。若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的转动称为转动称为定轴转动定轴转动。特特特特点点点点：刚刚刚刚体体体体内内内内所所所所有有有有点点点点具具具具有有有有相相相相同同同同的的的的角角角角位位位位移移移移、角角角角速速速速度度度度和和和和角角角角加加加加速速速速度度度度。刚刚刚刚体体体体上上上上任任任任一一一一点点点点作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动的的的的规规规规律律律律即即即即代代代代表表表表了了了了刚刚刚刚体定轴转动的规律。体定轴转动的规律。体定轴转动的规律。体定轴转动的规律。刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+三、刚体定轴转动的描述三、刚体定轴转动的描述1.各点都各点都在自己的转动平面内作在自己的转动平面内作圆周运动圆周运动描述的物理量描述的物理量刚体上刚体上某某点点的线量的线量与角量的关系：与角量的关系：对刚体不存在整体的线速度！对刚体不存在整体的线速度！就是刚体转动的角位置、就是刚体转动的角位置、角加速度、角加速度 2.各点各点转动的半径不同转动的半径不同 线速度不同线速度不同rv例：已知：例：已知：求：求：解：解：1、在刚体定轴转动中，角速度和角加速度均沿轴、在刚体定轴转动中，角速度和角加速度均沿轴向。其指向可用向。其指向可用正负正负表示。表示。说说 明明 3、角加速度的方向与角速度增量、角加速度的方向与角速度增量的方向一致，当的方向一致，当 与与 同号时，加速同号时，加速转动；转动；与与 异号时，减速转动。异号时，减速转动。方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向 2、4、刚体定轴、刚体定轴匀变速匀变速转动方程转动方程与与 同形同形一、转动定律一、转动定律 刚体内任一质元刚体内任一质元 i，其转动半径为，其转动半径为ri,所受合外力为所受合外力为Fi，刚体对轴刚体对轴 的转动惯量的转动惯量 5.2 刚体刚体定轴转动的运动定律定轴转动的运动定律即：即：内力为内力为 fi 刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位应用转动应用转动定律解题定律解题步骤与用步骤与用牛顿第二牛顿第二定律时相定律时相同。同。刚体所受的刚体所受的对于对于某一固定转轴的某一固定转轴的合外力矩等于合外力矩等于刚刚体对此转轴的体对此转轴的转转动惯量与动惯量与刚体在刚体在此合外力矩作用此合外力矩作用下所获得的下所获得的角加角加速度的乘积速度的乘积刚体的重力矩刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于质心时所等于刚体全部质量集中于质心时所产生的重力矩产生的重力矩.重力矩大小：重力矩大小：细杆质量细杆质量m,长长LNotes:方向与角加速度方向与角加速度 方向一致为方向一致为正，相反为负正，相反为负.例：几个力同时作用在一个具有固定转例：几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体零，则此刚体(A)(A)必然不会转动必然不会转动(B)(B)转速必然不变转速必然不变(C)(C)转速必然改变转速必然改变(D)(D)转速可能不变，也可能改变转速可能不变，也可能改变答案：答案：(D)若若矢量和不矢量和不为零，结果？为零，结果？思考思考二二、转动惯量、转动惯量（moment of inertia）反映刚体转动惯性大小的物理量。反映刚体转动惯性大小的物理量。1.定义：定义：例：如图例：如图对于质量连续分布的刚体对于质量连续分布的刚体：质量线密度：质量线密度：质量面密度：质量面密度：质量体密度：质量体密度md1）总质量总质量m 越大，越大，J 越大越大;2）质量分布离轴越远，质量分布离轴越远，J 越大；越大；3）轴位置不同，）轴位置不同，J 不同。不同。2.决定刚体转动惯量的因素：决定刚体转动惯量的因素：Om,RRm,ROO3.平行轴定理平行轴定理（parallel axis theorem）zLCMzC点是刚体的质心点是刚体的质心M,L例：有两个半径相同、质量相等的细圆例：有两个半径相同、质量相等的细圆环环A和和B，A环的质量分布均匀，环的质量分布均匀，B环不均环不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为的转动惯量分别为JA和和JB，则，则(A)JAJB (B)JA设设得解。得解。T1T2 若若 M=0，则则T1=T2讨论：讨论：无相对滑动无相对滑动例例5.2 固固定定在在一一起起的的两两个个同同轴轴均均匀匀圆圆柱柱体体可可绕绕其其光光滑滑的的水水平平对对称称轴轴OO 转转动动，设设大大小小圆圆柱柱体体的的半半径径分分别别为为R和和r，质质量量分分别别为为M和和m，绕绕在在两两柱柱体体上上的的细细绳绳分分别别与与物物体体m1和和物物体体m2相相连，连，m1和和m2分别挂在圆柱体的两侧。求：分别挂在圆柱体的两侧。求：O Om2m1MmrR1)柱柱体体转转动动时时的的角角加加速速度度 ；2)两侧细绳的张力。两侧细绳的张力。rRO解：解：解得解得m1,m2的平动方程和柱体转动方程为的平动方程和柱体转动方程为T2T1T2T1m2gm1ga2a1讨论：讨论：(1)若若只只求求柱柱体体转转动动的的角角加加速速度度，可可将将柱柱体体和和m1,m2选选作作一一个个系系统统，系系统统受受的的合合外外力力矩矩M=m1gR m2gr，则则根根据据转转动动定定律律可可得角加速度为得角加速度为(2)若考虑绳与圆柱体的总摩擦力矩为若考虑绳与圆柱体的总摩擦力矩为M,则则以式以式(5)取代式取代式(3),再求解即可。再求解即可。一、角动量定理一、角动量定理质点的质点的角动量定理（角动量定理（对轴）：对轴）：刚体：刚体：因各质元因各质元对轴对轴的的角动量角动量方向相同方向相同，所以合矢量所以合矢量的大小就是分矢量的大小就是分矢量大小大小的直接相加，的直接相加，则则其中其中角动量定理角动量定理 5.3 刚体刚体定轴转动的角动量定轴转动的角动量u刚体刚体 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理（质点系）（质点系）二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律 M外外和和 L 须是对惯性系中的同一点或同一轴。须是对惯性系中的同一点或同一轴。角动量守恒定律角动量守恒定律u刚体刚体对定轴对定轴的角动量的角动量或写为或写为对比对比质点对定点的质点对定点的动量动量微分微分形式形式积分积分形式形式mm许多现象都可以用许多现象都可以用角动量守恒来说明角动量守恒来说明花样滑冰花样滑冰跳水跳水茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳例例5.3 一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落处自由下落到跷板的一端到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员，并把跷板另一端的演员N弹了起来。弹了起来。设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为，质量为 ，跷板可绕中部，跷板可绕中部支撑点支撑点C在竖直平面内转动，演员的质量均为在竖直平面内转动，演员的质量均为m。假定。假定演员演员M落在跷板上与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。落在跷板上与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。问演员问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度具有相同的线速度 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统,解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳,达到的高度达到的高度ll/2CABMNhmgmgNmg角动量守恒角动量守恒一、动能定理一、动能定理 5.4 刚体刚体定轴转动中的定轴转动中的能量关系能量关系1.力矩的功：用力矩的功：用角量角量表示表示力作力作的的功功 O.oF(垂直于转轴的截面垂直于转轴的截面)2.刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能3.刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理动能定理二、重力场中刚体的机械能二、重力场中刚体的机械能 系统系统-刚体刚体+地球：地球：刚体的刚体的质心质心相对势能零点的高度相对势能零点的高度转动定律：转动定律：合外力矩的功合外力矩的功刚体转动动能的增量刚体转动动能的增量转动动能定理：转动动能定理：解：过程解：过程1：质点质点与与细棒细棒相碰撞相碰撞 碰撞碰撞过程中过程中系统系统对对O点点 的合力矩为零的合力矩为零例例5.4 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)设是完全非弹性碰撞设是完全非弹性碰撞求：棒摆起的最大角度求：棒摆起的最大角度 系统对系统对O点的点的角动量守恒角动量守恒,得得细棒势能细棒势能质点势能质点势能过程过程2：质点质点、细棒细棒上摆上摆 二者二者+地球地球的的 系统系统中只有保守内力（重力）中只有保守内力（重力）作功，所以作功，所以机械能守恒机械能守恒。两式联立得解两式联立得解 以上摆前为势能零点以上摆前为势能零点例例5.5 匀匀质质细细棒棒长长 l，质质量量m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，在在竖竖直直位位置置与与放放在在地地面面上上、质质量量也也为为m的的物物体体相相撞撞（物物体体与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为）。撞撞后后，物物体体沿沿地地面面滑滑行行距距离离s而而停停止止。求求相撞后棒的质心离地面的最大高度相撞后棒的质心离地面的最大高度h。CO解解 1.棒摆落过程棒摆落过程 棒棒+地球地球 外力外力轴处支承力轴处支承力不做功不做功 机械能守恒机械能守恒（1）以竖直时质心位置处为势能零点以竖直时质心位置处为势能零点3.撞后撞后物体物体滑行过程滑行过程 匀减速直线运动匀减速直线运动（3）（4）（5）为正值表示碰后棒向左摆；反之向右摆。为正值表示碰后棒向左摆；反之向右摆。2.碰碰撞撞过过程程 棒棒+物物体体 轴轴处处支支承承力力、重重力力无无力力矩矩 角动量守恒角动量守恒（2）棒棒质质心心C上上升升机械能守恒机械能守恒解得：解得：例例5.6 如图所示，滑轮转动惯量为如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为，半径为7cm，物体质量为，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直，弹簧无伸长时，使当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；物体由静止而下落的最大距离；(2)物体速度达到最大物体速度达到最大值的位置及最大速率。值的位置及最大速率。解解：(1)分析知，分析知，机械能守恒机械能守恒,设物体下落最大距离为设物体下落最大距离为h，开始时，开始时物体所在位置为重力势能零点，则：物体所在位置为重力势能零点，则：质质 量量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动转动惯量转动惯量力力力矩力矩第二定律第二定律转动定律转动定律动动 量量角动量守恒角动量守恒力力 的的 功功力矩的功力矩的功动动 能能转动动能转动动能动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理习习5.1 工工程程上上常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在 同同 一一 中中 心心 线线 上上，A轮轮 的的 转转 动动 惯惯 量量 为为JA=10kg m2，B轮轮的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过程中，两轮的机械能有何变化？过程中，两轮的机械能有何变化？A ACBACB式中式中 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得按角动量守恒定律可得或共同转速为或共同转速为在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失失的的机机械械能为能为以各量的数值代入得以各量的数值代入得习习5.2 如图，细棒质量如图，细棒质量M、长长l，求：任意位置求：任意位置时，轴给棒的作用力。时，轴给棒的作用力。解：解：设位置设位置时，棒的角速度为时，棒的角速度为 此时轴给棒的作用力设为此时轴给棒的作用力设为Fn、Ft棒的示力图棒的示力图(3)联立联立得解得解有：有：，转动转动定律定律习习5.3 圆盘质量圆盘质量M,半径半径R,J=MR2/2,转轴光滑转轴光滑,人的质量人的质量m,开始时，两者静止。求：人在盘上开始时，两者静止。求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度解：解：在走动过程中在走动过程中,人人-盘系统角动量守恒。盘系统角动量守恒。设设任意任意时刻，人对盘时刻，人对盘:；盘对地；盘对地:则有则有