平面法向量与平面的向量表示课件.ppt

3.2.2平面法向量与平面的向量表示复习回顾1、直线的方向向量的定义2、如何用向量的方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行？3、如何用向量证明两直线互相垂直及求两条直线所成的角？1 1、平面的法向量平面的法向量 1 1、平面的法向量为非零向量、平面的法向量为非零向量2 2、一个平面有无数多个法向量，一个平面的所有法向、一个平面有无数多个法向量，一个平面的所有法向量互相平行量互相平行3 3、平面、平面 的一个法向量垂直于与平面的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量共面的所有向量注意：法向量是否可为零向量？注意：法向量是否可为零向量？平面的法向量是否只有一个平面的法向量是否只有一个？平面的一个法向量和与平面共面的向量之间有何关系？平面的一个法向量和与平面共面的向量之间有何关系？已知平面已知平面，如果向量，如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直，则向垂直，则向量量 叫做平面叫做平面 的法向量或说向量的法向量或说向量 与平面与平面 正交。正交。直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。条直线垂直于这个平面。已知已知a a，b b是平面是平面 内的两条相交直线，内的两条相交直线，且直线且直线na,nbna,nb，求证：，求证：nn 选取以直线和平面选取以直线和平面内的直线为基线的内的直线为基线的向量向量通过已知向量表示未知向量，通过已知向量表示未知向量，或选用基向量表示其它向量或选用基向量表示其它向量通过向量运算去证明，以加通过向量运算去证明，以加强几何位置与向量关系的相强几何位置与向量关系的相互转化互转化2 2、平面的向量表示式、平面的向量表示式2）过点 且与向量 垂直的平面满足什么条件？3）借助平面的法向量为什么可以用来表示平面？过点 且与向量 垂直的平面。（为平面内的动点）平面的向量表示式平面的向量表示式1）设设 是空间任一点，为空间内任一非零向量，适合条件是空间任一点，为空间内任一非零向量，适合条件 的点的点 的集合构成什么样的图形？的集合构成什么样的图形？过空间内一点与已知直线垂直的平面有且只有一个 我们可以借助平面的法向量的方向来刻画平面的“方向”平面的方程4）在平面直角坐标系中，平面经过点A(x0,y0,z0)平面的一个法向量为n=(A,B,C),若M(x,y,z)是平面内一点，则x,y,z满足何种关系？3、平面法向量的应用总结：1 1）总结利用向量证明两平面平行的方法。）总结利用向量证明两平面平行的方法。一个平面的一组基底与另一个平面共面一个平面的一组基底与另一个平面共面两平面的法向量互相平行两平面的法向量互相平行2）证明两平面垂直即证两平面的法向量互相垂直设 ，分别是平面 ，的法向量，两平面至少有一个非公共点3 3）如何利用平面的法向量证明直线与平面垂直？）如何利用平面的法向量证明直线与平面垂直？设 是平面 的法向量，是直线 的方向向量例例1 1：已知点：已知点A(a,0,0)A(a,0,0)，B(0,b,0)B(0,b,0)，C(0,0,c)C(0,0,c)，其中，其中abc0,abc0,求平面求平面ABCABC的一个法向量。的一个法向量。有何关系？例例2.已知已知AB、AC分别是平面分别是平面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，BC是是AC在在 内的射影，内的射影，l且且lBCBC，求证：，求证：lAC.lAC.三垂线定理：如果在平面内的三垂线定理：如果在平面内的一条一条 直线与平面的一条斜线直线与平面的一条斜线在这平面内的射影垂直，则它在这平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：如果在三垂线定理的逆定理：如果在平面内的一条平面内的一条 直线与平面的直线与平面的一条斜线垂直则它也和这条斜一条斜线垂直则它也和这条斜线在这平面内的射影垂直线在这平面内的射影垂直.课堂练习1、下列结论中，正确的有_:（1）同一平面的不同法向量是共线向量；（2）若 是平面 的法向量，是平面 的法向量，则 ；（3）设非零向量 、均与平面 共面，若 ，则 是平面 的法向量。2、平面的一个法向量为 ，平面的一个法向量为 ，则平面 与 的位置关系是_。3、已知平面经过三点 、试求平面 的一个法向量。