函数的数值逼近精选PPT.ppt

函数的数值逼近2023/1/7电子工程学院1第1页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院2问题的提出n函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值n问题1：根据实验观测数据，即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。n问题2：求出函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。插值问题曲线拟合问题第2页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院3n函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代替它，使得 p(xi)=yi (i=0,1,2,n)n 函数p(xi)称为插值函数插值函数。n x0,x1,xn称为插值节点插值节点或简称节点。n 插值节点所界的区间称为插值区间插值区间。n p(xi)=yi 称为插值条件插值条件。插值问题：插值问题：第3页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院4构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使满足 Pn(xi)=yi (i=0,1,2,n)，讨论的主要内容：讨论的主要内容：n如何求出插值函数；n插值函数的存在性；n收敛性和误差估计。4.1 多项式的插值问题多项式的插值问题第4页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院5nP1(x)=a0+a1x例：例：第5页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院6nP1(x)=a0+a1x+a2x2例：例：第6页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院7 拉格朗日插值拉格朗日插值n插值多项式的存在唯一性：插值多项式的存在唯一性：第7页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院8判断系数矩阵的奇异性VandermondeVandermonde矩阵矩阵第8页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院9结论：n通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。第9页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院10例：一次和二次插值例：一次和二次插值n一次插值：一次插值：第10页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院11n由直线的点斜式公式可知：由直线的点斜式公式可知：a0a1问题?第11页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院12n直线公式：直线公式：思思路路已知（不变）的先算已知（不变）的先算 ，未知（变化）的后算。，未知（变化）的后算。基函数基函数第12页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院13n一次插值基函数一次插值基函数基函数的特性基函数的特性xkxk+1lk(x)10lk+1(x)01第13页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院14n例：例：已知lg10=1,lg20=1.3010,利用一次多项式插值计算 lg12的近似值。解：解：f(X)=lg(x),f(10)=1,f(20)=1.3010设设 第14页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院15第15页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院16n二次插值二次插值第16页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院17二次插值的基函数：二次插值的基函数：n构造三个插值基函数，使其满足：（1）基函数为二次多项式。（2）函数值满足：xk-1xkxk+1lk1(x)100lk(x)010lk+1(x)001第17页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院18n由插值基函数的要求：第18页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院19n插值公式第19页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院20n例：例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用二次多项式插值计算 lg12的近似值。解：解：f(X)=lg(x),f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010设设 第20页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院21第21页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院22拉格朗日插值多项式的一般形式拉格朗日插值多项式的一般形式n问题的提出：问题的提出：已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)在在n+1n+1个不同的点个不同的点x x0,0,x x1 1,x xn n上的函数值上的函数值y y0 0,y,y1 1,y yn n,求一个次数不超过求一个次数不超过n n的多项式的多项式P Pn n(x),(x),使：使：P Pn n(x(xi i)=y)=yi i (i=0,1,(i=0,1,n),n)第22页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院23n插值基函数插值基函数第23页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院24n插值公式：第24页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院25第25页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院264.2 插值的误差分析n定理：第26页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院27n证明(略)第27页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院28n线性插值和二次插值的截断误差为：第28页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院29思考：是否插值的节点越多，多是否插值的节点越多，多项式插值越精确？项式插值越精确？是否多项式的阶数越高，多是否多项式的阶数越高，多项式插值越精确？项式插值越精确？第29页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院30演示：多项式插值的Runge现象第30页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院31过程：第31页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院32%lagrangen.mfunction y=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0;for k=1:n L=1;for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);end end s=s+L*y0(k);end y(i)=s;endy;Lagrange插值多项式求插值的Matlab程序.第32页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院33%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2);plot(x,z,k,x,y,r)axis(-5 5-1.5 2);pause,hold onfor n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y1=lagrangen(x0,y0,x);plot(x,y1),pauseendy2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x);plot(x,y,k),hold offgtext(n=2),gtext(n=4),gtext(n=6)gtext(n=8),gtext(n=10)gtext(f(x)=1/(1+x2)比较不同的插值多项式次数对插值的影响比较不同的插值多项式次数对插值的影响第33页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院34不同次数的不同次数的Lagrange插值多项式的比较图插值多项式的比较图Runge现象现象第34页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院35x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:.05:5;y0=1./(1+t.2);p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,t);plot(t,y0,x,y,o,t,y1,.)Range现象演示（利用现象演示（利用matlab函数）函数）第35页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院36高阶多项式插值不好！高阶多项式插值不好！怎样获得高精度的插值方法怎样获得高精度的插值方法？第36页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院374.34.3 分段低次插值分段低次插值分段低次插值分段低次插值第37页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院38n随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法。第38页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院39x0 x1 xi+1xix-x0分段线性插值分段线性插值第39页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院40分段插值分段插值分段插值分段插值第40页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院41n由定义可知：Ih(x)在每个小区间xk,xk+1可表示为：第41页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院42收敛性：n证明：第42页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院43第43页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院44 在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求它的导数值也相等。数值相等而且还要求它的导数值也相等。埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值第44页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院45求解的思路：这里给出了2 n+2 个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x).其形式为 根据上面的条件来确定 2n+2 个系数，显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。第45页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院46求解的思路：第46页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院47确定基函数：n利用拉格朗日插值基函数。第47页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院48确定基函数：第48页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院49确定基函数：第49页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院50确定基函数：第50页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院51Hermite插值的唯一性：n反证法：第51页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院52Hermite插值的余项第52页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院53例：n按下表求Hermite插值多项式Xj012f(x)011f(x)01第53页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院54分段Hermite插值：n分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值 f k外还给出导数值f k=mk,，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数。第54页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院55第55页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院564.4 三次样条插值n问题的提出：上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。第56页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院57n数学定义：第57页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院58讨论：n由定义，要求出S(x),在每个小区间,需要确定4个系数，共需要确定4n个系数。第58页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院59讨论：第59页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院60n从理论上，还需要2个方程。n通常，可以在a,b的两个端点附加条件。（边界条件）第60页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院61三次样条函数的计算：(1)利用分段三次Hermiter插值（三对角方程）。第61页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院62三次样条函数的计算：(2)利用二阶导数值计算（三弯矩方程）第62页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院63n积分两次得到：第63页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院64第64页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院65一维插值一维插值:yi=interp1(x,y,xi,method)methodnearest 最近点插值最近点插值 linear 线性插值线性插值 spline 样条插值样条插值 cubic 立方插值立方插值 第65页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院66二维插值二维插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)三维插值三维插值vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)第66页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院67插值方法的比较：x=-5:2:5;y=1./(1+x.*x);xi=-5:0.2:5;Yi(:,1)=1./(1+xi.*xi);Yi(:,2)=interp1(x,y,xi);Yi(:,3)=interp1(x,y,xi,spline);Yi(:,4)=interp1(x,y,xi,cubic);plot(xi,Yi)第67页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院68第68页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院69问题的提出n函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间某个区间a,ba,b上给出一系列点的函数值上给出一系列点的函数值n根据实验观测数据，即在某个区间根据实验观测数据，即在某个区间 a,ba,b上给出其他上给出其他点的函数值。点的函数值。4.5 4.5 曲线拟合曲线拟合第69页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院70曲线拟合问题问题：问题：数据有误差数据有误差解决思路：求一函数，使其在解决思路：求一函数，使其在“一定意义下一定意义下”逼近实验观测逼近实验观测数据。数据。第70页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院71曲线拟合的最小二乘方法已知数据表已知数据表 x x1 x2 xmf(x)y1 y2 ym残差残差拟合函数拟合函数第71页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院72误差的表示方法误差的表示方法:最小二乘拟合最小二乘拟合:确定拟合函数使平方误差确定拟合函数使平方误差2-范数最小范数最小第72页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院73+(xk,yk)例：直线拟合的最小二乘方法线性函数误差函数误差最小误差最小第73页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院74例：直线拟合的最小二乘方法最优化问题求解最优化问题求解第74页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院75一般情况：拟合函数的线性模型拟合函数的线性模型:给定数据表给定数据表 x x1 x2 xmf(x)y1 y2 ym第75页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院76选择函数系选择函数系:确定确定使得使得记记求二次函数求二次函数I(a0,a1,an)的最小值点的最小值点 第76页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院77计算：计算：第77页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院78则方程组可写为则方程组可写为记记 k=0,1,n化简：化简：法方程法方程第78页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院79问题：问题：方程有解吗？方程有解吗？第79页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院80(i=1,2,m)另一种分析思路：函数的向量表示函数的向量表示由由第80页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院81第81页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院82多项式拟合方法多项式拟合方法n次多项式次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+an x n 逼近逼近f(x)(m n)第82页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院83第83页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院84已知实验数据已知实验数据x 1 2 3 4 5f(x)4 4.5 6 8 9 试构造二次多项式试构造二次多项式P(x)=aP(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2 逼近逼近f(x)f(x)例：例：第84页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院85解解:将数据点代入将数据点代入,得超定方程组得超定方程组a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5a0+3a1+9a2=6a0+4a1+16a2=8a0+5a1+25a2=9第85页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院86记记适定方程组适定方程组求解求解,得得 a a0 0=3,=3,a a1 1=0.7071,=0.7071,a a2 2=0.1071=0.1071得得 P(x)=3+0.7071P(x)=3+0.7071x x+0.1071+0.1071x x2 2第86页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院87MATLABMATLAB中的多项式拟合函数中的多项式拟合函数P=polyfit(X,Y,n)求出求出(最小二乘意义下最小二乘意义下)n)n次拟合多项式次拟合多项式P(x)=aP(x)=a0 0 x xn n+a+a1 1x xn-1 n-1+a+an-1n-1x+ax+an n计算结果为系数计算结果为系数:P=a:P=a0 0,a,a1 1,a,an-1n-1,a,an n 函数的意义：函数的意义：第87页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院88y1=polyval(P,x)多项式求值命令多项式求值命令:其中其中,P,P是是n n次多项式的系数次多项式的系数,x,x是自变量的值是自变量的值,y1y1是多项式在是多项式在x x处的值处的值第88页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院89前面例题的前面例题的matlabmatlab实现：实现：X=1:5;X=1:5;Y=4,4.5,6,8,9;Y=4,4.5,6,8,9;P=polyfit(X,Y,2)P=polyfit(X,Y,2)x1=1:0.1:5;x1=1:0.1:5;y1=polyval(P,x1);y1=polyval(P,x1);plot(X,Y,o,x1,y1,r)plot(X,Y,o,x1,y1,r)第89页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院90第90页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院914.6 4.6 最佳平方逼近最佳平方逼近n用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近问用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近问题，就是最佳平方逼近问题。题，就是最佳平方逼近问题。第91页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院92权内积权内积n权内积权函数权函数第92页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院93第93页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院94法方程：第94页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院95例：第95页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院96例:第96页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院97思考：思考：选择什么类型的基函数选择什么类型的基函数族，可以使拟合问题最族，可以使拟合问题最简单？简单？第97页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院98用正交函数族作最佳平方逼近：用正交函数族作最佳平方逼近：第98页，此课件共99页哦2023/1/7电子工程学院99作业：作业：nP 8991思考题：1习题：3，5补充题：用最小二乘法，用形如y=a+bx的多项式拟合下列数据：x1925313844y19.032.349.073.397.8第99页，此课件共99页哦