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第一章 矩阵的相似变换本讲稿第一页，共六十二页1.1 特征值与特征向量特征值与特征向量第一章第一章 矩阵的相似变换矩阵的相似变换定义定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使 ，则 叫做 的特征值，叫做 的属于特征值 的特征向量。本讲稿第二页，共六十二页（3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质：（2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。）特征值的几何重数不大于它的代数重数。（1）一个特征向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。本讲稿第三页，共六十二页（4）设设 是是 的的 个互不同的特征值，个互不同的特征值，的几何重数为的几何重数为 ，是对应于是对应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。本讲稿第四页，共六十二页（5）设 阶方阵 的特征值为 ，则 本讲稿第五页，共六十二页 1.2 相似对角化相似对角化定义：设定义：设 ，若存在，若存在 使得使得 则称则称相似矩阵的性质相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。的迹，有相同的谱。定义定义：设：设 ，如果，如果 相似于一个对角相似于一个对角矩阵，则称矩阵，则称 可对角化可对角化。本讲稿第六页，共六十二页定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要可以对角化的充分必要条件是条件是 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。本讲稿第七页，共六十二页于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重）由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑无关的特征向量。下面我们考虑解解：先求出先求出 的特征值的特征值本讲稿第八页，共六十二页于是于是 从而不相似对角矩阵，从而不相似对角矩阵，不能对角化不能对角化。本讲稿第九页，共六十二页1.3 Jordan标准形介绍本讲稿第十页，共六十二页1.4 Hamilton-Cayley定理本讲稿第十一页，共六十二页 1.5 向量的内积向量的内积内积的性质：内积的性质：本讲稿第十二页，共六十二页本讲稿第十三页，共六十二页解解：根据定义可知根据定义可知例例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度本讲稿第十四页，共六十二页定义定义：长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任何的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量一个非零的向量 ，向量，向量是单位向量，称此过程为是单位向量，称此过程为单位化单位化。定义定义：如果：如果 ，则称，则称 与与 正交。正交。本讲稿第十五页，共六十二页定义定义 设设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组。正交向量组。定义定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为向量，则称此向量组为标准正交向量组。标准正交向量组。本讲稿第十六页，共六十二页与向量组与向量组都是标准正交向量组。都是标准正交向量组。例例 在在 中向量组中向量组本讲稿第十七页，共六十二页定理定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程:设设 是是 个线性无关的向量，个线性无关的向量，利用这利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向个向量完全可以构造一个标准正交向量组。量组。本讲稿第十八页，共六十二页第一步第一步 正交化正交化容易验证容易验证 是一个正交向量组是一个正交向量组.本讲稿第十九页，共六十二页第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个标准的正交向量组。是一个标准的正交向量组。例例1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。本讲稿第二十页，共六十二页再单位化再单位化 解解：先正交化：先正交化本讲稿第二十一页，共六十二页那么那么 即为所求的标准正交向量组。即为所求的标准正交向量组。本讲稿第二十二页，共六十二页定义：定义：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足则称则称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满足阶实矩阵，如果其满足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵。本讲稿第二十三页，共六十二页例例：是一个正交矩阵是一个正交矩阵本讲稿第二十四页，共六十二页是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵本讲稿第二十五页，共六十二页（5）设）设 且且 ，如果，如果 则则 是一个酉矩阵。通常称为是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵矩阵。是一个酉矩阵是一个酉矩阵本讲稿第二十六页，共六十二页设设 ，那么，那么酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：本讲稿第二十七页，共六十二页定理定理：设设 ，是一个酉矩阵的充分必是一个酉矩阵的充分必要条件为要条件为 的的 个列（或行）向量组是标准正个列（或行）向量组是标准正交向量组。交向量组。本讲稿第二十八页，共六十二页1.6 酉相似下的标准形酉相似下的标准形定义定义：设 ，若存在 ，使得则称 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。本讲稿第二十九页，共六十二页证明证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，因为 构成 的一个标准正交基，故本讲稿第三十页，共六十二页，因此本讲稿第三十一页，共六十二页令那么其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)注意注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元素等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵为矩阵 的全部特征值的全部特征值.本讲稿第三十二页，共六十二页试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.解解:首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值例例:已知矩阵已知矩阵本讲稿第三十三页，共六十二页所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量本讲稿第三十四页，共六十二页再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取本讲稿第三十五页，共六十二页计算可得计算可得本讲稿第三十六页，共六十二页本讲稿第三十七页，共六十二页再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量令令本讲稿第三十八页，共六十二页再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量本讲稿第三十九页，共六十二页取取计算可得计算可得本讲稿第四十页，共六十二页令令于是有于是有本讲稿第四十一页，共六十二页本讲稿第四十二页，共六十二页矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵正规矩阵定义定义:设设 ,如果如果 满足满足则则本讲稿第四十三页，共六十二页那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个正规矩阵正规矩阵.设设 ,如果如果 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.例例:(1)为实正规矩阵为实正规矩阵 本讲稿第四十四页，共六十二页 (2)其中其中 是不全为零的实数是不全为零的实数,容易验证这容易验证这是一个实正规矩阵是一个实正规矩阵.本讲稿第四十五页，共六十二页 (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵.(4)Hermite阵阵,反反Hermite阵阵,正交矩阵正交矩阵,酉矩阵酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵对角矩阵都是正规矩阵.本讲稿第四十六页，共六十二页引理引理1:设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵,则与则与 酉相酉相似的矩阵一定是正规矩阵似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理2:设设 是一个三角矩阵是一个三角矩阵,则则 是正规矩阵是正规矩阵的充要条件是的充要条件是 为对角矩阵为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 :设设 ,则则 酉相似于对角酉相似于对角矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是 为正规矩阵。为正规矩阵。正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理本讲稿第四十七页，共六十二页其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论:阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.本讲稿第四十八页，共六十二页例例1:设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值本讲稿第四十九页，共六十二页其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化,得到两个标准得到两个标准正交向量正交向量本讲稿第五十页，共六十二页对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量本讲稿第五十一页，共六十二页将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵本讲稿第五十二页，共六十二页则矩阵则矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有例例2:设设求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.本讲稿第五十三页，共六十二页解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系本讲稿第五十四页，共六十二页现在将现在将 单位化单位化,得到一个单位向量得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量本讲稿第五十五页，共六十二页对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量本讲稿第五十六页，共六十二页将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有本讲稿第五十七页，共六十二页推论：推论：1 Hermite矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数;反反Hermite矩阵矩阵的特征值为零或纯虚数的特征值为零或纯虚数.2 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数;实反对称矩阵的实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数特征值为零或纯虚数.3 是正规矩阵，是正规矩阵，是是 的特征值，的特征值，是对应的特征向量，则是对应的特征向量，则 是是 的特征值，对应的的特征值，对应的特征向量仍为特征向量仍为 。4 是正规矩阵，则属于不同特征值的是正规矩阵，则属于不同特征值的特征向量正交。特征向量正交。本讲稿第五十八页，共六十二页例例 :设设 是一个是一个 阶阶Hermite 阵且存在自然数阵且存在自然数 使得使得 ,证明证明:.证明证明:由于由于 是正规矩阵是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵所以存在一个酉矩阵 使得使得本讲稿第五十九页，共六十二页于是可得于是可得从而从而这样这样即即本讲稿第六十页，共六十二页Hermite正定矩阵正定矩阵定义定义:设设 是是Hermite矩阵，如果对任矩阵，如果对任意的意的 都有都有则称则称 为为Hermite正定矩阵正定矩阵(半正定矩阵半正定矩阵).定理定理:设设 是是Hermite矩阵，则下列条件等价：矩阵，则下列条件等价：（1）A是是Hermite正定矩阵；正定矩阵；（2）A的特征值全为正实数；的特征值全为正实数；（3）存在矩阵）存在矩阵 ，使得，使得 。本讲稿第六十一页，共六十二页定理定理:设设 是是Hermite矩阵，则下列条件等价：矩阵，则下列条件等价：（1）A是是Hermite半正定矩阵；半正定矩阵；（2）A的特征值全为非负实数；的特征值全为非负实数；（3）存在矩阵）存在矩阵 ，使得，使得 。定理定理:设设 则则 （1）和和 的特征值全为非负实数；的特征值全为非负实数；（2）和和 的非零特征值相同；的非零特征值相同；（3）定理定理:是是Hermite矩阵，则矩阵，则A是是Hermite正定正定矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A的各阶顺序主子式大于的各阶顺序主子式大于0.本讲稿第六十二页，共六十二页