第一节定积分的定义精选文档.ppt

第一节定积分的定义本讲稿第一页，共十二页 积分积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿阿基米德基米德用用“穷竭法穷竭法”、我国的、我国的刘徽刘徽用用“割圆术割圆术”，都曾，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些都是定积分的雏计算过一些几何体的面积和体积，这些都是定积分的雏形。直到形。直到17世纪中叶，世纪中叶，牛顿牛顿和和莱布尼兹莱布尼兹先后提出了定积先后提出了定积分的概念，并发现了积分和微分的之间的内在联系，分的概念，并发现了积分和微分的之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决有关实际问题的有利工具，并使各自独立的微分和决有关实际问题的有利工具，并使各自独立的微分和积分联系在一起，构成了完整的理论体系积分联系在一起，构成了完整的理论体系-微积分学微积分学。第一第一节定定积分的概念分的概念本讲稿第二页，共十二页1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲设曲边梯形是由连续曲线线及及 x 轴、两直线轴、两直线所围成，所围成，求其面积求其面积 A。矩形面积矩形面积 A梯形面积梯形面积 A一、定积分的概念一、定积分的概念本讲稿第三页，共十二页1)大化小大化小在区间在区间 a,b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形；个小曲边梯形；2)常代变常代变在第在第i 个窄曲边梯形上任取个窄曲边梯形上任取作以作以为底，为底，为高的小矩形，为高的小矩形，并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得解决步骤：解决步骤：本讲稿第四页，共十二页4)取极限取极限令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积3)近似和近似和教学演示实验教学演示实验本讲稿第五页，共十二页设某物体作直线运动，设某物体作直线运动，且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s。解决步骤解决步骤1)大化小大化小将它分成将它分成 n 个小段个小段在每个小在每个小2)常代变常代变已知速度已知速度段上物体经过的路程为段上物体经过的路程为2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程本讲稿第六页，共十二页4)取极限取极限上述两个问题的共性：上述两个问题的共性：解决问题的方法步骤相同：解决问题的方法步骤相同：“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”所求量的结构式相同：所求量的结构式相同：特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限所要计算的量（面积、路程）决定于一个所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数函数以及自变量的一个以及自变量的一个变化区间变化区间；3)近似和近似和本讲稿第七页，共十二页任一种分法任一种分法任取任取总趋于确定的总趋于确定的则称此极限则称此极限 I 为函数为函数在区间在区间上的上的，即，即此时称此时称 f(x)在在a,b上上可积可积。记作记作二、定积分的定义二、定积分的定义 定义定义1只要只要时，时，极限极限 I,定积分定积分，本讲稿第八页，共十二页积分上限积分上限积分下限积分下限 被被积积函函数数 被被积积表表达达式式 积积分分变变量量 积积分分和和定积分仅与定积分仅与被积函数被积函数及及积分区间积分区间有关，有关，而与积分而与积分变量用什么字母表示无关，变量用什么字母表示无关，即即本讲稿第九页，共十二页利用定义计算定积分利用定义计算定积分解：解：将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为取取 例例1，则，则本讲稿第十页，共十二页注：注：利用利用得得两端分别相加，得两端分别相加，得即即本讲稿第十一页，共十二页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和定积分的几何意义定积分的几何意义本讲稿第十二页，共十二页