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小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018 届高三数学 3 月“二诊”模拟考试试题理（考试用时：120 分全卷满分：150 分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第卷（选择题部分，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合22,|1416xyAx y，(,)|3 xBx yy，则AB的子集的个数是：（）A 4 B3 C 2 D1 2.已知21,ee为单位向量，且1e与212ee垂直，则21,ee的夹角为（）A.30 B.60 C.120 D.1503 若等差数列na满足12201520163aaaa，则na的前 2016 项之和2016S（）A 1506 B1508 C1510 D 1512 4.给出下列四个命题：“若0 x为=y fx的极值点，则00fx”的逆命题为真命题；“平面向量a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是0ba若命题1:01px，则1:01px；命题“xR，使得210 xx”的否定是：“xR均有210 xx”.其中不正确的个数是（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知平行四边形中，为线段的中点，则（）A.B.2 C.D.16设，则对任意实数a、b，若 a+b0 则（）A f（a）+f（b）0 Bf（a）+f（b）0 C f（a）f（b）0 Df（a）f（b）0 7.定义22矩阵12142334=a aa aa aa a，若cossin3()cos(2)cossin2xxf xxxx，则()f x（）A.图象关于,0中心对称 B.图象关于直线2x对称 C.在区间,06上单调递增 D.周期为的奇函数8.如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（）A 17 B16 C15 D14 9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31 天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为na，则132931242830aaaaaaaa的值为（）A.165 B.1615 C.1629 D.1631第 8 题图小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学10.已知函数|()cosxf xex，若(21)()fxf x，则x的取值范围为（）A1(,1,)3B1,13C1(,2D1,)211.已知2,0,1,3a，1,2b，则曲线221axby为椭圆的概率是（）A.37 B.47 C.12 D.3812.已知定义在,4上的函数fx与其导函数fx满足14()()0 xxfxfx，若11211202xf xyefxy，则点,x y所在区域的面积为（）A.12 B.6 C.18 D.9 第卷（非选择题部分，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4 题，每小题5 分，共 20 分13.已知抛物线的准线方程为，则实数 a 的值为 .14.设函数ln,0()21,0 xxf xxx，D是由x轴和曲线()yf x及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2222zxyxy在D上的最小值为 .15在区间0,1上随机地取两个数,x y，则事件“5yx”发生的概率为16.已知数列na与nb满足*12()3nnabnN，若nb的前n项和为3(21)nnT且8(3)2nnabn对一切*nN恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题:（本题包括6 小题，共70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17（本题满分为12 分）在 ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，ABC的面积为（）求c 的值；2y2yax小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图2图1OGGCABDABCDEFFEO（）求cos（B C）的值18.（本小题满分12 分）时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2 天按照 300 元计算；超过两天的部分每天收费标准为100 元（不足1 天的部分按1 天计算）有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2 天还车的概率分别为1 1,3 2；2 天以上且不超过3 天还车的概率分别1 1,2 3；两人租车时间都不会超过4 天（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E19.（本小题满分12 分）如图 1，在矩形ABCD中，5,2ABAD，点,E F分别在边,AB CD上，且4,1AEDF，AC交DE于点G现将ADF沿AF折起，使得平面ADF平面ABCF，得到图2（）在图2中，求证：CEDG；（）若点M是线段DE上的一动点，问点M在什么位置时，二面角MAFD的余弦值为3520.（本小题满分12 分）椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在第一象限相交于点M，1|2MF（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B不重合，直线PA与直线3x相交于点S，直线PB与直线3x相交于点T，求证：以线段ST为直径的圆恒过定点21.（本小题满分12 分）已知函数22()ln,()f xxax aRx（）若()f x在2x处取极值，求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（）当0a时，若()f x有唯一的零点0 x，求0.x注 x表示不超过x的最大整数，如0.60,2.12,1.52.参考数据：ln 20.693,ln31.099,ln51.609,ln 71.946.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10 分。22.（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为sin1cos1tytx（t 为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos()写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；()若4，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标23（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f xxaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（1）若不等式()6f x的解集为|23xx，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使()()f nmfn成立，求实数m的取值范围小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学参考答案15 ACDCD 610 BCBBA 1112 DA 13 1814.6515.16【解析】在区间0,1上随机地取两个数x、y构成的区域的面积为1，事件“5yx”发生构成的区域的面积为15610011|66x dxx，所以所求概率为1616.4,)【解析】依题设，当1n时，113bT；当2n时，1113(21)3(21)32nnnnnnbTT，又当1n时，1 1133 2b，132nnb.122nna.8(3)2nnabn等价于11(22)3 28(3)2nnn，即1(3)28(3)nn，33162nn对一切*nN恒成立，令3()2nnf n，则123(1)()22nnnnf nf n11(2)2(3)422nnnnn，当4n时，(1)()f nf n，当5n时，(1)()f nf n，当4n或5时，()f n取得最大值，max1()(4)16f nf，311616，4.17解：（），ABC的面积为=absinC=sin，解得：a=5，由余弦定理可得：c=76 分（）由（）可得：cosB=，又 B（0，），可得：sinB=，cos（BC）=cosBcos+sinBsin=+=12 分18【答案】（1）718；（2）分布列见解析，750E小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车2 天内时，则甲租车3 或 4 天，其概率为11111233P；当乙租车3 天时，则甲租车4 天，其概率为21111133218P；则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为1211731818PPP 5 分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为,可为 600，700，800，900，1000，6分111111113600,700326332236111111111180011 1233232323611111159001122333236PPPP11111100011233236P 8 分故的分布列为600 700 800 900 1000 P1613361136536136 10 分故的期望为11311516007008009001000750636363636E 12 19.解：（）在矩形ABCD中，5,2ABAD,4,1AEDF,tantanDFADDAFAEDADAE，90AOEo即DEAF.在图 2 中，DOOF，EOAF.又平面ADF平面ABCF，平面ADF I平面ABCFAF，DO平面ABCF，DOCE，依题意，AECF且AECF，四边形AECF为平行四边形.CEAF,CEOE，又ODOEOI，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学CE平面DOE，又DG平面DOE，CEDG.（）如图1，在Rt ADF中，5AF，21,55ODOF，DFAE，4AEDF，845OEOD.如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，则4(,0,0)5A，1(,0,0)5F，2(0,0,)5D，8(0,0)5E，(5,0,0)FAuu u r，82(0,)55EDuuu r，48(,0)55AEuuu r，EOAF，OE平面ADF，1(0,1,0)nur为平面ADF的法向量.设EMEDuu uu ruu u r，则482(,(1),)555AMAEEDu uu u ruu u ruuu r，设2(,)nx y zuu r为平面AFM的法向量，则2200nFAnAMu u r uu u ru u r uu uu r即50482(1)0555xxyz，可取2(0,4(1)nu u r，依题意，有1222|3|cos,|516(1)n nu r u u r，整理得281890，即(43)(23)0，34，当点M在线段DE的四等分点且14DMDE时，满足题意20解：（1）解：32cea因为，又21|2bMFa，联立解得：21ab，所以椭圆C的标准方程为22141xy（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为(2)yk x，联立3x得(3 5)Sk，00()P xy设，代入椭圆的方程有：220001(2)41xyx，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学整理得：22001(4)4yx，故2020144yx，又002ykx，002ykx(kk，分别为直线PA，PB的斜率)，所以2020144ykkx，所以直线PB的方程为：1(2)4yxk，联立3x得134Tk，所以以ST为直径的圆的方程为：2225151(3)2828kkxykk，令0y，解得：532x，所以以线段ST为直径的圆恒过定点5302，21解：（1）7100 xy 4 分（2）22lnfxxaxx3222xaxfxx0 x令322g xxax，则26gxxa由0,0agx，可得6axg x在0,6a上单调递减，在,6a上单调递增由于020g，故0,6ax时，0g x又10ga，故g x在1,上有唯一零点，设为1x，从而可知fx在1(0,)x上单调递减，在1,x上单调递增由于fx有唯一零点0 x，故10,xx且01x 8 分小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又03032ln101xx.令03032ln11h xxx，可知h x在1,上单调递增由于101022ln 22 0.7077h，2932ln 3026h，故方程的唯一零点02,3x，故02x 12 分22.解：（）直线l经过定点)1,1(，-2分由2cos得22)2cos(，得曲线C的普通方程为222)2(xyx，化简得442xy；-5分（）若4，得tytx221221，的普通方程为2xy，-6分则直线l的极坐标方程为2cossin，-8分联立曲线C：2cos得1sin，取2，得2，所以直线l与曲线C的交点为)2,2(-10分23.【解析】（）由|2|6xaa得，|2|6xaa,626axaa,即33ax,32a,1a.（）由（1）知()|21|1f xx,令()()()nf nfn,则124,211212124,22124,2n nnnnnn n，()n的最小值为4，实数m的取值范围是4,).