【推荐下载】课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数的单调性与最值学.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.2函数的单调性与最值考纲展示?1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.考点 1 函数单调性的判断(证明)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有 _，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有 _，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_ 自左向右看图象是_ 答案：f(x1)f(x2)上升的下降的(1)教材习题改编 函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()Ak12Bk12Dk12答案：D(2)教材习题改编 当k1，即a0，故 0a1.(2)2017 广东佛山联考 试讨论函数f(x)axx1(a0)在(1,1)上的单调性 解 解法一(定义法)：设 1x1x20 时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0 时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0 得x2，又ux2x2 在(，1)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylog 12u为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，1)，故选C.(2)求函数yx22|x|1 的单调区间 解 由于yx22x1，x0，x22x1，x0，即yx22，x0，x22，x0.画出函数图象如图所示小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学单调递增区间为(，1 和0,1，单调递减区间为 1,0 和1，)题点发散1 若将本例(2)中函数变为“f(x)|x22x1|”，如何求解？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1 2，1)和(1 2，)；单调递减区间为(，12)和(1,1 2)题点发散2 若将本例(2)中函数变为“f(x)x2 2|x|1”，如何求解？解：由x22|x|10，得 12|x|12，又|x|0，0|x|12，即 12x12.根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为 12，1 和0,1，单调递减区间为 1,0 和1,1 2 点石成金 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法 提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增同减，则yf(g(x)为增函数；若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”.2017天津模拟 函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A.0，12Ba，1 C(，0)12，Da，a 1 答案：B 解析：由图象知f(x)在(，0 和12，上单调递减，而在0，12上单调递增又0a1 时，ylogax为(0，)上的减函数，所以要使g(x)f(logax)单调递减，需要logax 0，12，即 0logax12，解得xa，1，故选 B.考点 3 函数单调性的应用小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有 _；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有_；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值答案：(1)f(x)M(3)f(x)M 考情聚焦 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中主要有以下几个命题角度：角度一利用函数的单调性求最值 典题 3(1)函数f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为 _ 答案 2 解析 当x1 时，函数f(x)1x为减函数，所以f(x)在x 1 处取得最大值，为f(1)1；当xx11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac 答案 D 解析 因为f(x)的图象关于直线x 1对称由此可得f12f52.由x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减1252f52f(e)，bac.角度三利用函数的单调性求解不等式 典题 5 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2 时，x的取值范围是()A(8，)B(8,9 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C8,9 D(0,8)答案 B 解析 211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得f(x(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，xx，解得 8x9.角度四利用单调性求参数的取值范围或值 典题 6(1)2017 湖南师大附中月考 已知函数f(x)x2ax5，x1，ax，x1是R上的增函数，则a的取值范围是()A 3,0)B(，2 C 3，2 D(，0)答案 C 解析 由题设可得a0，a21，a 1a5，解得 3a 2，故选 C.(2)已 知 函 数f(x)ax，x2，12x1，x2满 足 对 任 意 的 实 数x1x2，都 有fx1fx2x1x20 成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B，138C(，2 D138，2 答案 B 解析 由题意可知，函数f(x)是 R上的减函数，于是有a20，a1221，由此解得a138，即实数a的取值范围是，138.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 点石成金 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集区间上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值 方法技巧 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)变形；(4)定号；(5)下结论2判断函数单调性的常用方法(1)定义法；(2)复合法：同增异减；(3)导数法；(4)图象法3设任意x1，x2 a，b 且x10?f(x)在a，b 上是增函数；fx1fx2x1x20?f(x)在a，b 上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0?f(x)在a，b 上是减函数 易错防范 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集真题演练集训12014北京卷 下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayx1By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)答案：A 解析：A 项，函数yx1在 1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学数，故正确；B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C项，函数y 2x12x在 R上为减函数，故错误；D项，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误22014陕西卷 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x12Bf(x)x3Cf(x)12xDf(x)3x答案：D 解析：根据各选项知，选项C，D 中的指数函数满足f(xy)f(x)f(y)又f(x)3x是增函数，故选D.32015天津卷 已知定义在R 上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDcba答案：C 解析：由f(x)2|xm|1 是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12|log23|12，bf(log25)2|log25|1 2|log25|14，cf(0)2|0|1 0，所以ca0，则x的取值范围是_答案：(1,3)解析：由题可知，当2x0.f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到的，若f(x1)0，则 1x0，当x0 时，2x0，得x1，f(x)0，得 1a无最大值，由图象可知2a2，解得a0 时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在 R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1 x)4.审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义 借助于赋值法比较出f(x2)与f(x1)的大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式 解(1)令xy0，得f(0)1.在 R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在 R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x2 2x)f(1 x)4，得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在 R上是增函数，故x2x13，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解得x1，故原不等式的解集为x|x1 方法点睛 (1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对x1或x2进行适当变形，进而将f(x1)与f(x2)比较出大小(2)求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)f(x2)的形式，然后再根据其单调性脱掉“f”，转化为关于x1与x2的不等式问题求解