北京西城区2023年高三上学期期末数学试题及答案.pdf

北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学第 1 页（共 6 页）北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学2023.1 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集2,1,0,1,2,3U ，集合2|2AxxZ，则UA?（A）1,0,1（B）2,2,3（C）2,1,2（D）2,0,3（2）设复数3iz，则复数i z在复平面内对应的点的坐标是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(3,1)（3）已知函数()lg|f xx，则()f x（A）是奇函数，且在(0,)上是增函数（B）是奇函数，且在(0,)上是减函数（C）是偶函数，且在(0,)上是增函数（D）是偶函数，且在(0,)上是减函数（4）已知双曲线22:33Cxy，则C的焦点到其渐近线的距离为（A）2（B）3（C）2（D）3 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2 页（共 6 页）（5）设,x yR，且01xy，则（A）22xy（B）tantanxy（C）42xy（D）1(2)xyyx（6）在ABC中，若4c，1ba，1cos4C ，则ABC的面积是（A）1（B）34（C）15（D）3 154（7）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动 某地某天024时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数10290,012,5624,1224ttytt 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（A）5小时（B）6小时（C）7小时（D）8小时（8）设,均为锐角，则“2”是“sin()sin”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在ABC中，1,90ACBCC?P为AB边上的动点，则PB PC 的取值 范围是（A）1,14（B）1,18（C）1,24（D）1,28 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 3 页（共 6 页）（10）如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直1是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，2是正方形CDEF及其内部的点构成的集合 设1AB，给出下列三个结论：1M,2N，使2MN；1M,2N，使EMBN；1M,2N，使EM与BN所成的角为60?其中所有正确结论的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）341()xx的展开式中常数项为_（用数字作答）（12）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l则以点F为圆心，且与直线l相切的圆的方程是_ （13）已知na是等差数列，15a，且2342,4,6aaa成等比数列，则6a _；na的前n项和nS _ （14）设函数2,1,()(2)1,1.xaxf xa xx 若2a，则()f x的单调递增区间是_；若()f x的值域为(,)，则a的取值范围是_（15）人口问题是关系民族发展的大事历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：0000()(0)()ertKKxf ttxxK，其中00,K rx均为正常数，且0Kx，该模型描述了人口随时间t的变化规律给出下列三个结论：0(0)fx；()f t在0,)上是增函数；0,)t，()f tK 其中所有正确结论的序号是_ 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 5 页（共 6 页）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数22()2sin(cossin)3cos222xxf xxx（）求()f x的最小正周期；（）若(0,)x，且()1f x ，求x的取值范围 （17）（本小题 14 分）如图，四边形ABCD为梯形，/ABCD，四边形ADEF为平行四边形（）求证：/CE平面ABF；（）若AB 平面ADEF，AFAD，1AFADCD，2AB，求：（）直线AB与平面BCF所成角的正弦值；（）点D到平面BCF的距离 （18）（本小题 13 分）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：12 月 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5（）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；（）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望EX；（）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为21s，同期各月轿车与对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为22s，写出21s与22s的大小关系（结论不要求证明）北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 6 页（共 6 页）（19）（本小题 15 分）如图，已知椭圆2222:1(0)yxEabab的一个焦点为1(0,1)F，离心率为22（）求椭圆E的方程；（）过点1F作斜率为k的直线交椭圆E于两点,A B，AB的中点为M设O为原点，射线OM交椭圆E于点C当ABC与ABO的面积相等时，求k的值 （20）（本小题 15 分）已知函数()lneexf xaxx，其中aR（）当0a 时，求曲线()yf x在点(,()11f处的切线方程；（）当0a 时，判断()f x的零点个数，并加以证明；（）当0a 时，证明：存在实数m，使()f xm恒成立 （21）（本小题 15 分）已知12:,(4)nnAa aan?为有穷数列 若对任意的0,1,1in?，都有1|1iiaa（规定0naa），则称nA具有性质P 设(,)|1,22(,1,2,)ijnaaTi jjini jn?（）判断数列4:1,0.1,1.2,0.5A，5:1,2,2.5,1.5,2A是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合nT；（）若4A具有性质P，证明：4T ；（）给定正整数n，对所有具有性质P的数列nA，求nT中元素个数的最小值 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高 三 数 学 答 案 及 评 分 参 考 第 1 页（共 6 页）北京市西城区 202 22023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 2023.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）A（3）C （4）B（5）D （6）D （7）C（8）C（9）B（10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）4 （12）22(1)4xy（13）5 26nn （1 4）(1,2 (0,2 （1 5）（选 得 5 分；只 选 出其中 1 个得 2 分；只选出其中 2 个得 3 分）注：（13）（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；其中（14）题第一空答(1,2)也正确。三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）22()2sin(cossin)3cos222xxf xxx 2sin cos3cos2xxx 2 分 sin23cos2xx 4 分 2sin(2)3x 6 分 所以()f x的最小正周期为 7 分（）因为0 x，所以52333x 8 分 因为()1f x ，所以1sin(2)32x 9 分 所以72636x 11 分 解得3124x，所以x的取值范围是 3(,)124 13 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高 三 数 学 答 案 及 评 分 参 考 第 2 页（共 6 页）（1 7）（共14 分）解：（）如图，在射线AB上取点P，使APDC 1 分 由题设，得/AP DC，所以四边形APCD为平行四边形 所以/PC AD且PCAD 2 分 又四边形ADEF为平行四边形，所以/AD EF且ADEF 所以/PC EF且PCEF 3 分 所以四边形PCEF为平行四边形，所以/PF CE 4 分 因 为CE 平 面ABF，PF 平 面ABF，所 以/CE平 面ABF 5 分（）（）因为AB 平面ADEF，所以,ABAD ABAF 又ADAF，所以,AB AD AF两两相互垂直 6 分 如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(1,1,0)C，(0,0,1)F 所以(,)11 0BC ，(,)2 0 1BF ，(,)2 0 0AB 7 分 设平面BCF的法向量为(,)x y zm，则0,0,BCBF mm 即0,20.xyxz 令1x，则1y，2z 于是(1,1,2)m 9 分 设直线AB与平面BCF所成角为，则 6sincos,6|ABABAB mmm 11 分 所以直线AB与平面BCF所成角的正弦值为66（）因为/ABCD，所以直线CD与平面BCF所成角的正弦值为66 12 分 所以点D到平面BCF的距离为6sin6dCD 14 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高 三 数 学 答 案 及 评 分 参 考 第 3 页（共 6 页）（1 8）（共13 分）解：（）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 1(0.80.20.20.30.40.4)0.386x 故MPV月度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月 2 分 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过x的 概率为30.56 4 分（）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有 2个：3月和5月 所以X的所有可能取值为0,1,2 5 分 3335C1(0)10CP X，122335C C3(1)5CP X，212335C C3(2)10CP X 8 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 110 35 310 故X的数学期望1366012105105EX 10 分（）2212ss 13 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高 三 数 学 答 案 及 评 分 参 考 第 4 页（共 6 页）（1 9）（共15 分）解：（）由题设，2221,2,2.ccaabc 3 分 解得2,1ab 4 分 所以椭圆E的方程为2212yx 5 分（）直线AB的方程为1ykx 由221,22ykxxy 得22(2)210kxkx 7 分 设1122(,),(,)A x yB x y，则12222kxxk，121224()22yyk xxk 9 分 因为ABC与ABO的面积相等，所以点C和点O到直线AB的距离相等 所以M为线段OC的中点，即四边形OACB为平行四边形 11 分 设00(,)C x y，则OCOAOB 12 分 所以012222kxxxk，012242yyyk 将上述两式代入220022xy，得222228162(2)(2)kkk 14 分 解得2k 15 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 5 页（共 6 页）（20）（共 15 分）解：（）当0a 时，()eexf xx，所以()(1)exfxx 2 分 所以(1)0f，(1)2ef 所以曲线()yf x在点(,()11f处的切线方程为2e2eyx 4 分（）()f x有且只有一个零点，证明如下：5 分()f x的定义域为(0,)，且()(1)exafxxx 6 分 因为0a，所以()(1)e0 xafxxx 所以函数()f x在()0,上单调递增 8 分 因为(1)0f，所以()xf有且只有一个零点1x 9 分（）当0a 时，(1)e()(1)exxaxxafxxxx 设()(1)exg xxxa，则2()(31)e0 xg xxx 所以函数()g x在()0,上单调递增 10 分 因为()00ga，()1(1)e 0agaaa，所以存在0()0,xa，使得0()0g x 12 分()f x与()fx在区间()0,上的情况如下：x0(0,)x0 x0(,)x()fx0()f x 极小值 所以(0,)x，0()()xff x 14 分 取0()mf x，则对于任意的(0,)x，都有()xfm成立 15 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高 三 数 学 答 案 及 评 分 参 考 第 6 页（共 6 页）（2 1）（共15 分）解：（）数列4A不具有性质P，数列5A具有性质P 2 分 5(1,4),(2,4),(2,5),(3,5)T 4 分（）“4T ”等价于“证明(1,3)与(2,4)两元素中至少有一个在4T中”假设(1,3)与(2,4)两元素都不在4T中，则有31|1aa，且42|1aa 5 分 不妨设12aa 若23aa，则由313221()()aaaaaa，得3111aa，这与31|1aa矛盾 从而有23aa 7 分 同理34aa，从而有1234aaaa 所以0141422142|()()1aaaaaaaaaa 这与4A具有性质P矛盾 所以假设不成立，即4T 9 分（）设12min,(21)knaa aakn，规定1k 时，1knaa；kn时，+11kaa 则11,1 kkkkaaa a，所以11|1kkaa 考虑数列311:,kkkB aa a和11211:,nkknCa aaaa，由题设知，他们均具有性质P 11 分 设nT中元素个数的最小值为nd，所以11nndd 所以124124nnnddddn 由（）知41d，从而3ndn 13 分 当21nm时，令(1,2,)iai im，3(1,2,1)2m iami im；当2nm时，令(1,2,)iai im，1(1,2,)2m iami im，此时均有3ndn 所以nT中元素个数的最小值为3n 15 分