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专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总常用知识点：常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：一、常见函数的定义域总结如下：（1）一般形式的定义域：xRcbxaxybkxy2（2）分式形式的定义域：x0 xky（3）根式的形式定义域：x0 xy（4）对数形式的定义域：x0 xyalog二、函数的性质二、函数的性质1、函数的单调性当时，恒有，在所在的区间上是增加的。21xx)()(21xfxf)(xf21xx，当时，恒有，在所在的区间上是减少的。21xx)()(21xfxf)(xf21xx，2、函数的奇偶性定义：设函数的定义区间关于坐标原点对称（即若，则有）)(xfy DDxDx(1)偶函数，恒有。)(xfDx)()(xfxf(2)奇函数，恒有。)(xfDx)()(xfxf三、基本初等函数三、基本初等函数1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。cy),(x2、幂函数：，(是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。uxy uu3、指数函数定义:，(是常数且，).图形过（0,1）点。xaxfy)(a0a1a4、对数函数定义:，(是常数且，)。图形过（1,0）点。xxfyalog)(a0a1a5、三角函数(1)正弦函数:xysin，。2T),()(fD 1,1)(Df(2)余弦函数:.xycos，。2T),()(fD 1,1)(Df(3)正切函数:.xytan，.T,2)12(,|)(ZRkkxxxfD),()(Df(4)余切函数:.xycot，.T,|)(ZRkkxxxfD),()(Df5、反三角函数(1)反正弦函数:，。xysinarc 1,1)(fD2,2)(Df(2)反余弦函数:，。xyarccos 1,1)(fD,0)(Df(3)反正切函数:，。xyarctan),()(fD)2,2()(Df(4)反余切函数:，。xyarccot),()(fD),0()(Df极限极限一、求极限的方法一、求极限的方法1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则二、函数极限的四则运算法则设，则AuxlimBvxlim（1）BAvuvuxxxlimlim)(lim（2）.ABvuvuxxxlimlim)(lim推论（a)，(为常数)。vCvCxxlim)(limC（b）nxnxuu)lim(lim（3），().BAvuvuxxxlimlimlim0B（4）设为多项式，则)(xPnnnaxaxaxP110)()()(lim00 xPxPxx（5）设均为多项式，且，则)(),(xQxP0)(xQ)()()()(lim000 xQxPxQxPxx三、等价无穷小三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当时，0 xxx sinxx tanxx arctan，。xx arcsinxx)1ln(xex1221cos1xx对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当时，其余类0 sin似。四、两个重要极限四、两个重要极限重要极限 I 。1sinlim0 xxx它可以用下面更直观的结构式表示：1 sinlim0 重要极限 II 。exxx11lim其结构可以表示为：e 11lim八、洛必达八、洛必达(LHospital)法则法则“”型和“”型不定式，存在有（或）。00Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim一元函数微分学一元函数微分学一、导数的定义一、导数的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点)(xfy 0 xx0 xx仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果当xx0y)()(00 xfxxfy时，函数的增量与自变量的增量之比的极限0 xyx=注意两个符号和在题目中可能换成其0limxxy0limxxxfxxf)()(00）（0 xf x0 x他的符号表示。二、求导公式二、求导公式1、基本初等函数的导数公式（1）(为常数)0)(CC（2）（为任意常数）1)(xx（3）特殊情况 aaaxxln)()1,0(aaxxee)(（4），axexxaaln1log1)(log)1,0,0(aaxxx1)(ln（5）xxcos)(sin（6）xxsin)(cos（7）xx2cos1)(tan（8）xx2sin1)(cot（9）211)(arcsinxx)11(x（10）)11(11)(arccos2xxx（11）211)(arctanxx（12）211)cot(xxarc2、导数的四则运算公式（1）)()()()(xvxuxvxu（2）)()()()()()(xvxuxvxuxvxu（3）（为常数）ukku k（4）)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu3、复合函数求导公式：设,，且及都可导，则复合函数)(ufy)(xu)(uf)(x的导数为。)(xfy)().(xufdxdududydxdy三、导数的应用三、导数的应用1、函数的单调性则在内严格单调增加。0)(xf)(xf),(ba则在内严格单调减少。0)(xf)(xf),(ba2、函数的极值的点函数的驻点。设为0)(xf)(xf0 x（1）若时，；时，则为的极大值点。0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf)(0 xf)(xf（2）若时，；时，则为的极小值点。0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf)(0 xf)(xf（3）如果在的两侧的符号相同，那么不是极值点。)(xf0 x)(0 xf3、曲线的凹凸性，则曲线在内是凹的。0)(xf)(xfy),(ba，则曲线在内是凸的。0)(xf)(xfy),(ba4、曲线的拐点（1）当在的左、右两侧异号时，点为曲线的拐点，此时)(xf0 x)(,(00 xfx)(xfy.0)(0 xf（2）当在的左、右两侧同号时，点不为曲线的拐点。)(xf0 x)(,(00 xfx)(xfy 5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式四、微分公式，求微分就是求导数。dxxfdy)(一元函数积分学一元函数积分学一、不定积分一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质（1）或)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(（2）或CxFdxxF)()(CxFxdF)()(（3）。dxxxdxxfdxxxxf)()()()()()(（4）（为常数且）。dxxfkdxxkf)()(k0k2、基本积分公式（要求熟练记忆）（1）Cdx0（2）.)1(111aCxadxxaa（3）.Cxdxxln1（4）Caadxaxxln1)1,0(aa（5）Cedxexx（6）Cxxdxcossin（7）Cxxdxsincos（8）.Cxdxxtancos12（9）.Cxdxxcotsin12（10）.Cxdxxarcsin112（11）.Cxdxxarctan1123、第一类换元积分法、第一类换元积分法对不定微分，将被积表达式凑成dxxg)(dxxg)(，这是关键的一步。)()()()()(xdxfdxxxfdxxg常用的凑微分的公式有：（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf（2）)()(1)(1baxdbaxfkadxxbaxfkkkk（3）xdxfdxxxf21)(（4）xdxfdxxxf1)1(1)1(2（5）)()()(xxxxedefdxeef（6）)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf（7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf（8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf（9）)(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf（10）)(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf（11）)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf（12）)(arccos)(arccos11)(arccos2xdxfdxxxf（13）)(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf（14）)(ln)()(xddxxx)0)(x4、分部积分法vduuvudv二、定积分公式二、定积分公式1、（牛顿（牛顿莱布尼茨公式）莱布尼茨公式）如果如果是连续函数是连续函数在区间在区间上的任意一个原函数，上的任意一个原函数，)(xF)(xf,ba则有则有。)()()(aFbFdxxfba2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线及两条直线和所)(),(21xfyxgyax 1bx 2围成的（其中是下面的曲线，是上面的曲线），1y2y则其面积可由下式求出：.)()(dxxgxfSba3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平)0)()(xfxfy)(,babxaxx面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋x转体的体积可由下式求出：V.)()(22dxxfdxxfVbabax多元函数微分学多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。)(xfy)(xgy ya o b xo a x x+dx b xy )(xfy 2、全微分公式：。yBxAyxdfdz),(3、复合函数的偏导数利用函数结构图如果、在点处存在连续的偏导数，),(yxu),(yxv),(yxxuyuxv，且在对应于的点处，函数存在连续的偏导数，则yv),(yx),(vu),(vufz uzvz复合函数在点处存在对及的连续偏导数，且),(),(yxyxfz),(yxxy，。xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz4、隐函数的导数对于方程所确定的隐函数，可以由下列公式求出对的导数：0),(yxF)(xfy yxy，),(),(yxFyxFyyx2、隐函数的偏导数对于由方程所确定的隐函数，可用下列公式求偏导数：0),(zyxF),(yxfz，),(),(zyxFzyxFxzzx),(),(zyxFzyxFyzzy5、二元函数的极值设函数在点的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且),(00yxfz),(00yx，又设，0),(00yxfx0),(00yxfyAyxfxx),(00 Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00 则：（1）当时，函数在点处取得极值，且当02 ACB),(yxf),(00yx0A时有极大值，当时有极小值。0A（2）当时，函数在点处无极值。02 ACB),(yxf),(00yx（3）当时，函数在点处是否有极值不能确定，要用其它方02 ACB),(yxf),(00yx法另作讨论。平面与直线平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点，以为),(0000zyxM,CBAn 法向量的平面方程为 称之为平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA（2）平面的一般式方程 称之为平面的一般式方程0DCzByAx2、特殊的平面方程 表示过原点的平面方程0CzByAx 表示平行于轴的平面方程0DByAxOz 表示过轴的平面方程0 ByAxOz 表示平行于坐标平面的平面方程0 DCzxOy3、两个平面间的关系设有平面 0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA平面和互相垂直的充分必要条件是：120212121CCBBAA平面和平行的充分必要条件是：1221212121DDCCBBAA平面和重合的充分必要条件是：1221212121DDCCBBAA4、直线的方程（1）直线的标准式方程 过点且平行于向量的直线方程),(0000zyxM,pnms 称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。pzznyymxx000常称为所给直线的方向向量,pnms（2）直线的一般式方程称之为直线的一般式方程0022221111DzCyBxADzCyBxA5、两直线间关系设直线，的方程为1l2l1111111:pzznyymxxl2222221:pzznyymxxl直线，平行的充分必要条件为；1l2l2121nnmm直线，互相垂直的充分必要条件为1l2l0212121ppnnmm6、直线 与平面间的关系l设直线 与平面的方程为l pzznyymxxl000:0)()()(:000zzCyyBxxA直线 与平面垂直的充分必要条件为：lpCnBmA直线 与平面平行的充分必要条件为：l0000DCpBnAmCpBnAmo直线 落在平面上的充分必要条件为l0000DCpBnAmCpBnAmo将初等函数展开成幂级数将初等函数展开成幂级数1、定理:设在内具有任意阶导数,且)(xf),(0 xU，则在内0)(limxRnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxR),(0 xU nnnxxnxfxf)(!)()(000)(称上式为在点的泰勒级数。或称上式为将展开为的幂级数。)(xf0 x)(xf0 xx 2、几个常用的标准展开式nnxx011nnnxx)1(110!0nxennx)!12()1(sin120nxxnnn)!2()1(cos20nxxnnnnxxnnn)1()1ln(0nxxnn0)1ln(常微分方程常微分方程1、一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程通过变形后可写成 或 0),(yyxFdxxfdyyg)()(则称方程为可分离变量的微分方程.)()(ygxfy 0),(yyxF2、可分离变量微分方程的解方程必存在隐式通解。其中：,dxxfdyyg)()(CxFyG)()(dyygyG)()(.dxxfxF)()(即两边取积分。（2）一阶线性微分方程1、定义：方程 称为一阶线性微分方程.)()(xQyxPy(1)非齐次方程；0)(xQ(2)齐次方程 .0)(yxPy2、求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程的通解：,其中为任意常数。0)(yxPydxxPCey)(C（2）将齐次通解的换成。即 C)(xudxxPexuy)()(（3）代入非齐次方程,得)()(xQyxPy CdxexqeydxxPdxxP)()()(2、二阶线性常系数微分方程（1）可降阶的二阶微分方程1、型的微分方程)(xfy 例 3：求方程的通解.分析：；xeyxsin212 12cos41Cxedxyyx.212sin81CxCxedxyyx2、型的微分方程),(yxfy 解法：(1)令，方程化为；yp),(pxfp(2)解此方程得通解；),(1Cxp(3)再解方程 得原方程的通解),(1Cxy .21),(CdxCxy3、型的微分方程),(yyfy 解法：(1)令,并视为的函数,那么,yppydydppdxdydydpdxdpy(2)代入原方程,得),(pyfdydpp(3)解此方程得通解；),(1Cyp(4)再解方程 得原方程的通解),(1Cyy.21),(CxCydy例 4：求方程的通解.02 yyy分析：(1)令,并视为的函数,那么,yppydydppdxdydydpdxdpy(2)代入原方程,得 或 02 pdydpypydypdp(3)解上方程,得 ,().Cypln|ln|lnyCp1CC1(4)再解方程 .yCy11Cyy21|lnCxCy(5)于是原方程的通解为,()xCeCy1222CeC（2）常系数线性微分方程（1）、二阶常系数齐次线性方程的解。0 qyypy写出特征方程并求解.02qprr下面记,为特征方程的两个根.qp4221,rr（1）时,则齐次方程通解为：042qp。xrxreCeCy2121（2）时,则齐次方程通解为042qp.)(2121111xCCexeCeCyxrxrxr（3）时,有,则齐次方程通解为042qp,1ir)0(2ir).sincos(21xCxCeyx（2）二阶常系数非齐次方程解法方程的形式：解法步骤：)(xfqyypy(1)写出方程的特征方程；02qprr(2)求出特征方程的两个根；21,rr(3)原方程的通解如下表所示:(4)再求出非齐次方程的一个特解；)(*xy(5)那么原方程的通解为。)()()(*2211xyxyCxyCy特征方程的根方程的通解21rr xrxreCeC212121rrrrxexCC)(21 ir )sincos(21xCxCex)0(
