2018届中考数学《第四部分第三讲第3课时分段函数的应用》同步练习.pdf

第 3 课时分段函数的应用(60 分)1(15 分)2017 安徽某超市销售一种商品，成本每千克40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元经市场调查，每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价 x(元/kg)506070 销售量 y(kg)1008060(1)求 y 与 x 之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求 W与 x 之间的函数表达式(利润收入 成本)；(3)试说明(2)中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)根据题意，设 ykxb，其中 k，b 为待定的常数，由表中的数据得50kb100，60kb80，解得k2，b200，y2x200(40 x80)；(2)根据题意得 Wy(x40)(2x200)(x40)2x2280 x8 000(40 x80)；(3)由(2)可知：W2(x70)21 800，当售价 x 在满足 40 x70 的范围内，利润 W 随着 x 的增大而增大；当售价在满足70 x80 的范围内，利润W 随着 x 的增大而减小 当 x70 时，利润 W 取得最大值，最大值为1 800元2(15 分)2016 襄阳襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为30 元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y2x140（40 x60），x80（60 x70）.(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750 万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围解：(1)W2x2200 x4 200（40 x60），x2110 x2 400（60 x70）；(2)由(1)知，当 40 x60 时，W2(x50)2800.2600，W最大值为 800 万元答：当该产品的售价定为50 元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当 40 x60 时，令 W750，得2(x50)2800750，解得 x145，x255.由函数 W2(x50)2800 的性质可知，当 45x55 时，W750，当 60 x70 时，W最大值为 600750.答：要使企业销售该产品的年利润不少于750 万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为 45x55.3(15 分)2017 荆州荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 p(元/kg)与时间第 t 天之间的函数关系为 p14t16（1t40，t为整数），12t46（41t80，t为整数），日销售量 y(kg)与时间第 t 天之间的函数关系如图 331 所示(1)求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？(4)在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售1 kg 小龙虾，就捐赠 m(m7)元给村里的特困户 在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求 m 的取值范围【解析】(1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；(2)设日销售利润为 W，分 1t40 和 41t80两种 情况，根据“总利润每千克利润 销售”列出函数表 达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出 W2 400 时 x 的值，结合函数图象即可得出 答案；(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1t40 且销售利润随时间 t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案解：(1)设函数表达式为 yktb，将(1，198)，(80，40)代入，得198kb，4080kb，解得k2，b200，y2t200(1t80，t 为整数)；(2)设日销售利润为 W，则 W(p6)y，当 1t40 时，W14t166(2t200)12(t30)22 450，当 t30 时，W最大2 450；当 41t80 时，w 12t466(2t200)(t90)2100，当 t41 时，W最大2 301，2 4502 301，第 30 天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；(3)由(2)得当 1t40 时，W12(t30)22 450，令 W2 400，即12(t30)22 4502 400，解得 t120，t240，由函数 W12(t30)22 450的图象(如答图)可知，当 20t40时，日销售利润不低于 2 400元，第 3 题答图而当 41 t80 时，W最大2 3012 400，图 331t 的取值范围是 20 t40，共有 21 天符合条件；(4)设日销售利润为 W，根据题意，得W14t166m(2t200)12t2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称轴为 t2m30，W随 t 的增大而增大，且1 t40，由二次函数的图象及其性质可知2m3040，解得 m5，又m7，5 m7.4(15 分)小慧和小聪沿图332中景区公路游览小慧乘坐车速为30 km/h 的电动汽车，早上 7：00 从宾馆出发，游玩后中午12：00 回到宾馆小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00 小聪到达宾馆图中的图象分别表示两人离宾馆的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系试结合图中信息回答：图 332(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段 AB，GH 的交点 B 的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？解：(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50 202.5(h)，小聪上午 10：00 到达宾馆，小聪从飞瀑出发的时刻为102.57.5，即 7：30.答：小聪早上 7：30 从飞瀑出发；(2)设直线 GH 的函数表达式为 sktb，由于点 G 的坐标为12，50，点 H 的坐标为(3，0)，则有5012kb，03kb，解得k20，b60，直线 GH 的函数表达式为 s20t60，又点 B 的纵坐标为 30，当 s30 时，得 20t6030，解得 t32，点 B 的坐标为32，30.答：点 B 的实际意义是上午8：30 小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线 DF 的函数表达式为 sk1tb1，该直线过点 D 和 F(5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50 3053(h)，小慧从飞瀑准备返回时t553103(h)，即点 D 的坐标为103，50.则有103k1b150，5k1b10，解得k130，b1150.直线 DF 的函数表达式为 s30t150，小聪上午 10：00 到达宾馆后立即以 30 km/h 的速度返回飞瀑，所需时间为50 3053(h)如答图，HM 为小聪返回时 s关于 t 的函数图象，点 M 的横坐标为 353143，M143，50，设直线 HM 的函数表达式为 sk2tb2，该直线过点 H(3，0)和 M 143，50，则有50143k2b2，03k2b2，解得k230，b290.直线 HM 的函数表达式为 s30t90，由 30t9030t150，解得 t4，即 11：00.答：小聪返回途中上午11：00 遇见小慧；第 4 题答图方法二：如答图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q，由题意，可得点 E 的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又两人速度均为 30 km/h，该路段两人所花时间相同，即HQQF，点 E 的横坐标为 4.答：小聪返回途中上午11：00 遇见小慧(20 分)5(20 分)2017 黄冈月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为4 元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图 333 所示，其中 AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)图 333(1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在 8元以上(x8)，当第二年的年利润不低于103 万元时，请结合年利润 W(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围【解析】(1)求 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；(2)根据“年利润年销售量 每件的利润成本(160 万元)”，可求出年利润 W(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于103 万元”，可得 W103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，从而得出结果解：(1)当 4x8 时，设 ykx，将 A(4，40)代入，得k440160.y与 x 之间的函数关系式为y160 x.当 8x28 时，设 ykxb，将 B(8，20)，C(28，0)代入，得8kb20，28kb0.解得k1，b28.y与 x 之间的函数关系式为yx28.综上所述，得 y160 x（4x8），x28（8x28）；(2)当 4x8 时，W(x4)y160(x4)160 x160640 x.W随着 x 的增大而增大，当 x8 时，Wmax640880.当 8x28 时，W(x4)y160(x4)(x28)160 x232x272(x16)216.当 x16 时，Wmax 16.1680，当每件的销售价格定为16 元时，第一年的年利润的最大值为16万元(3)第一年的年利润为 16 万元16万元应作为第二年的成本又x8，第二年的年利润 W(x4)(x28)16 x232x128，令 W103，则x232x128103，解得 x111，x221.在平面直角坐标系中，画出 W与 x 的函数示意图如答图，观察示意图可知：当 W103时，11 x21.第 5 题答图当 11 x 21 时，第二年的年利润W不低于 103 万元(20 分)6(20 分)2017 随州某水果店在两周内，将标价为10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1 天算起，第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示 已知该种水果的进价为4.1 元/斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y 与 x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间 x(天)1x99x15x15 售价(元/斤)第 1 次降价后的价格第 2 次降价后的价格销量(斤)803x 120 x储存和损耗费用(元)403x 3x264x400(3)在(2)的条件下，若要使第15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a 元，利用不等关系“(2)中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用 127.5”求解解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意，得 10(1x)28.1，解得 x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2)第一次降价后的销售价格为10(110%)9(元/斤)，当 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；当 9x15 时，y(8.14.1)(120 x)(3x264x400)3x260 x80，综上所述，y 与 x 的函数关系式为y17.7x352（1x9，x为整数），3x260 x80（9x15，x为整数）.当 1x9 时，y17.7x352，当 x1 时，y最大334.3(元)；当 9x15 时，y3x260 x803(x10)2380，当 x10 时，y最大380(元)334.3380，在第 10 天时销售利润最大(3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a 元，依题意，得380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5，解得 a0.5，则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降0.5 元