((完整版))等差等比数列知识点梳理及经典例题-推荐文档.pdf
数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师0A A、等差数列知识点及经典例题、等差数列知识点及经典例题一、数列一、数列由由与与的关系求的关系求nanSna由求时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段nSna函数的形式表示为。11(1)(2)nnnSnaSSn例例根据下列条件，确定数列的通项公式。na分析：分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。nanS解答：解答：（1）（2）累乘可得，故（3）数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师1二、等差数列及其前二、等差数列及其前 n n 项和项和（一）等差数列的判定（一）等差数列的判定1 1、等差数列的判定通常有两种方法：、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。1()(2)nnaadn常数112(2)nnnaaan2 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n n 项和直接判断。项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为 n 的一次函数，即=An+B,则是等差数列；nanana（2）前 n 项和法：若数列的前 n 项和是的形式（A，B 是常数），则是等nanS2nSAnBnna差数列。注：注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例例已知数列的前 n 项和为，且满足nanS111120(2),2nnnnSSS SnaA（1）求证：是等差数列；1nS（2）求的表达式。na分析：分析：（1）与的关系结论；1120nnnnSSS SA1nS11nS（2）由的关系式的关系式1nSnSna解答：解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以1nnS SA11nS1nS1nS11nS1nS 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师2=2 为首项，以 2 为公差的等差数列。11S11a（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当 n2 时，1nS11SnS12n=2=。又，不适合上式，故。nanS1nS12(1)n n112a 1(1)21(2)2(1)nnann n【例例】已知数列已知数列an的各项均为正数，的各项均为正数，a11.其前其前 n 项和项和 Sn满足满足 2Sn2pa anp(pR)，则，则an的通项公式为的通项公式为2 n_a11，2a12pa a1p，2 1即 22p1p，得 p1.于是 2Sn2a an1.2 n当 n2 时，有 2Sn12aan11，两式相减，得 2an2a 2aanan1，整理，得2n12 n2n12(anan1)(anan1)0.12又an0，anan1，于是an是等差数列，故 an1(n1).1212n12（二）等差数列的基本运算（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d 及前 n 项和公式，共涉及na1a11()(1)22nnn aan nSnad五个量，d,n,“知三求二”，体现了用方程的思想方程的思想解决问题；1ananS2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而和 d 是等差数列的两个基本量，1a用它们表示已知和未知是常用方法。注：注：因为，故数列是等差数列。11(1)222nSdddnaannnSn例例已知数列的首项=3，通项，且，成等差数nx1x2(,)nnxpnq nNp q为常数1x4x5x 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师3列。求：（1）的值；,p q（2）数列的前 n 项和的公式。nxnS分析：分析：（1）由=3 与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成1x1x4x5x,p qnx两个可求和的数列分别求和。解答解答：（1）由=3 得1x23pq又，得454515424,25,2xpq xpqxxx且5532528pqpq由联立得。1,1pq（2）由（1）得，nxnn2（三）等差数列的性质（三）等差数列的性质1 1、等差数列的单调性：、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足，前 n 项和最大；100nnaanS（2）若 a10，且满足，前 n 项和最小；100nnaanS（3）除上面方法外，还可将的前 n 项和的最值问题看作关于 n 的二次函数最值问题，利用二nanS次函数的图象或配方法求解，注意。nN 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师6例例已知数列是等差数列。na（1）若,(),;mnm nan am mna求（2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求解答：解答：设首项为，公差为，1ad（1）由，,mnan am1nmdmn()(1)0.m nmaamnm dnn （2）由已知可得解得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2m nmn mnSmn admn【例】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*，满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有1log3anlog3an1Tn1.(1)解当 n1 时，由 2Sn3an3 得，2a13a13，a13.当 n2 时，由 2Sn3an3 得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即 2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当 n1 时，a13 也适合 an3n.an的通项公式为 an3n.(2)证明bn1log3anlog3an11log33nlog33n1，1(n1)n1n1n1Tnb1b2bn(1)()()1212131n1n11Sn，得15265n，562log114.925n ，最小正整数n15【其他考点题其他考点题】1、设an（nN N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且，则下列结论错误的是56SS678SSS（C）数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师12A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值解析：由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然 C 选项是错误的。2、（C）limn2123nn(A)2 (B)4 (C)(D)0213、已知 a、b、c 成等比数列，a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，且 xy0，那么的值为（B ）。ycxa （A）1 （B）2 （C）3 （D）44、已知等差数列已知等差数列 na的前的前n项和为项和为22(,),nSpnnq p qR nN（）求）求q q的值；的值；（）若）若 a a1 1与与 a a5 5的等差中项为的等差中项为 1818，b bn n满足满足22lognnab，求数列的，求数列的bbn n 前前 n n 项和。项和。()解法一：当1n 时，112aSpq,当2n 时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pnp.na是等差数列,222pqpp,0q4 分解法二：当1n 时,112aSpq,当2n 时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq22pmp.当3n 时,1122 2(1)22naapnpp npp.22232apqppq.又222232appp,所以3232pqp,得0q.4 分()解：1532aaa,318a.又362app,6218pp,4p 86nan8 分 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师13又22lognnab得432nnb.12b,4(1)1414322162nnnnbb,即 nb是等比数列。所以数列 nb的前n项和2(1 16)2(161)1 1615nnnT.
