((完整版))考研数学《概率论与数理统计》知识点总结-推荐文档.pdf

第一章概率论的基本概念定义：随机试验随机试验 E 的每个结果样本点样本点组成样本空间样本空间 S，S 的子集为 E 的随机事件，单个样本点为基本事件基本事件1AB，A 发生必导致 B 发生2AB 和事件，A，B 至少一个发生，AB 发生3AB 记 AB 积事件，A，B 同时发生，AB 发生4AB 差事件，A 发生，B 不发生，AB 发生事件关系：5AB=，A 与 B 互不相容互不相容(互斥)，A 与 B不能同时发生，基本事件两两互不相容6AB=S 且 AB=，A 与 B 互为逆事件逆事件或对立对立事件事件，A 与 B 中必有且仅有一个发生，记 B=ASA事件运算：交换律、结合律、分配率略概率：概率就是 n 趋向无穷时的频率，记P(A)德摩根律：，BABABABA1P()=02(有限可加性)P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)，Ai互不相容概率性质:3若 AB，则 P(BA)=P(B)P(A)5P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)4对任意事件 A，有)A(1)A(PP古典概型：即等可能概型，满足：1S 包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：中样本点总数中样本点数SA)A(nkP超几何分布：，其中nNknDNkDpraCra条件概率：)A()AB()AB(PPP乘法定理：)A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP全概率公式：，其中为 S 的划分划分)B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPPiB贝叶斯公式：，或)A()B()BA()AB(PPPPiiinjjjBPBAPAP1)()()()()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP独立性：满足 P(AB)=P(A)P(B)，则 A，B 相互独立相互独立，简称 A，B 独立独立定理一：A，B 独立，则P(B|A)=P(B)定理二：A，B 独立，则 A 与，与，与也相互独立BABAB第 2 章随机变量及其分布(01)分布：，k=0，1 kkppkXP1)1(（0p1）伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A 及A二项式分布：记 Xb（n，p），knkknppCkXP)1(n 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变其中 A 发生 k 次，即二项式分布泊松分布：记 X（），!kekXPk,2,1,0k泊松定理：，其中当，应用泊松定理近似效果颇佳!)1(limkeppCkknkknnnp20n05.0p随机变量分布函数：，)(xXPxFx)()(1221xFxFxXxP连续型随机变量：，X 为连续型随机变量连续型随机变量，为 X 的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度概率密度xttfxFd)()()(xf概率密度性质：1；2；3；40)(xf1d)(xxf21d)()()(1221xxxxfxFxFxXxP，f(x)在 x 点连续；5PX=a=0)()(xfxF均匀分布：记 XU(a，b)；其它，01)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF，10)(性质：对 acc+lb，有abllcXcP指数分布：；其它，001)(xexfx其它，001)(xexFx无记忆性无记忆性：tXPsXtsXP正态分布：记；),(2NX2)(exp21)(22xxfttxFxd2)(exp21)(22性质：1f(x)关于 x=对称，且 P-hX=Pz=，00(或 g(x)x1时，F（x2，y）F（x1，y）；y2y1时，F（x，y2）F（x，y1）20F（x，y）1 且 F（，y）=0，F（x，）=0，F（，）=0，F（+，+）=13F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即 F（x，y）关于 x 右连续，关于 y 也右连续F（x，y）性质：4对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有 Px1Xx2，y10有或，11lim1knknXnPPXknkXnX11定义：Y1，Y2，Y n，是一个随机变量序列，a 是一个常数若对任意 0，有1|limaYPnn则称序列Y1，Y2，Y n，依依概率收敛于概率收敛于 a记aYPn伯努利大数定理：对任意 0 有或1limpnfPAn0limpnfPAn其中 f A是 n 次独立重复实验中事件A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率定理一：设 X1,X2,X n,相互独立并服从同一分布，且 E(X k)=，D(X k)=2 0，则 n时有 N(0，1)或N(0，1)或nnXknk)(1nXN(，)Xn2定理二：设 X1,X2,X n,相互独立且 E(X k)=k，D(X k)=k2 0，若存在 0 使 n时，则N(0，1)，记0|1212kknknXEBnknkknkBX)(11212knknB中心极限定理定理三：设，则 n时，(0，1)，),(pnbnNpnpnpn)1()(knknX1第六章样本及抽样分布定义：总体总体：全部值；个体个体：一个值；容量容量：个体数；有限总体有限总体：容量有限；无限总体无限总体：容量无限定义：样本样本：X1,X2,X n 相互独立并服从同一分布 F 的随机变量，称从 F 得到的容量为 n 的简单随机样本简单随机样本横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形纵坐标：频率/组距（总长度：1/；小区间长度：频率/组距）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线定义：样本样本 p 分位数分位数：记 xp，有 1样本 xi中有 np 个值xp2样本中有 n(1p)个值xpxp选择：记NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，211)()()1(分位数 x0.5，记为 Q2或 M，称为样本中位数样本中位数分位数 x0.25，记为 Q1，称为第一四分位数第一四分位数分位数 x0.75，记为 Q3，称为第三四分位数第三四分位数图形：图形特点：M 为数据中心，区间min，Q1，Q1，M，M，Q3，Q3，max数据个数各占 1/4，区间越短数据密集箱线图：四分位数间距四分位数间距：记 IQR=Q3Q1；若数据 XQ3+1.5IQR，就认为 X 是疑似异常值疑似异常值样本平均值：iniXnX11样本方差：)(11)(11221212XnXnXXnSiniini抽样分布：样本标准差：2SS 样本 k 阶(原点)矩：，kkinikXnA111样本 k阶中心矩：，k2kinikXXnB)(11经验分布函数：，)(1)(xSnxFnx表示 F 的一个样本 X1,X2,X n 中不大于 x 的随机变量的个数)(xS近似的min Q1 M Q3 max自由度为n 的 2分布：记 22（n），其中 X1,X2,X n222212nXXX是来自总体 N(0，1)的样本E(2)=n，D(2)=2n12+222（n1+n2）其他，00)2(21)(2122yexnyfynn对于 040)，其中是标准正态分布的上 分位点22)12(21)(nznz自由度为n 的 t 分布：记 tt(n)，nYXt/其中 XN(0，1)，Y2(n)，X，Y 相互独立2)1(2)1(22)1()(nntnnnthh(t)图形关于 t=0 对称；当 n 充分大时，t 分布近似于 N(0，1)分布对于 045 时，t(n)z，z是标准正态分布的上 分位点自由度为(n1，n2)的F 分布：记 FF(n1，n2)，其中 U2(n1)，21nVnUF V2(n2)，X，Y 相互独立1/FF(n2，n1)其他，001)2()2()(2)()(2)(21211)2(221212111xnynnnynnnnynnnn对于 01，满足，则称为的上上 分位分位yynnFFPnnF),(2121d)(),(),(21nnF),(21nnF点点F 分布的分位点：重要性质：F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：设 X1,X2,X n 是来自 N(，2)的样本，则有，其中是样本均值),(2nNXX定理二：设 X1,X2,X n 是来自 N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有 1；2与相互独立X2S)1()1(222nSnX2S定理三：设 X1,X2,X n 是来自 N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有X2S)1(ntnSX设 X1,X2,X n1 与 Y1,Y2,Y n2分别是来自N(1，12)和 N(2，22)的样本，且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为，则有 1XY21S22S)1,1(2122212221nnFSS定理四：2当 12=22=2时，其中，)2()()(21121121nntnnSYXw2)1()1(212222112nnSnSnSw2wwSS 第七章参数估计定义：估计量：估计量：，估计值估计值：，统称为估计估计),(21nXXX),(21nxxx令=()(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计估计)(llXElinilXnA11kl,2,1矩估计法：设总体 X 均值 及方差 2都存在，则有，XA 1212212122)(11XXnXXnAAiniini似然函数似然函数：离散：或连续：，化简可去掉与 无关的因式);()(1inixpL);()(1inixfL)(L项即为最大值，可由方程)(L或求得0)(ddL0)(lnddL当多个未知参数 1，1，k时：可由方程组或（）求得0ddLi0lnddLiki,2,1最大似然估计法：最大似然估计的不变性不变性：若 u=u()有单值反函数=(u)，则有，其中为最大似然估计)(uu 定时截尾样本定时截尾样本：抽样 n 件产品，固定时间段 t0内记录产品个体失效时间(0t1t2tmt0)和失效产品数量截尾样本取样：定数截尾样本定数截尾样本：抽样 n 件产品，固定失效产品数量数量 m 记录产品个体失效时间(0t1t2tm)定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布 Xe（），即产品平均寿命产品 ti时失效概率 Pt=tif(ti)d ti，寿命超过 tm的概率，则，化简得mtmettF)()()(1imimnmmntPttFCL，由得：，其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为实验总实验总)(1)(mtsmeL0)(lnddLmtsm)(时间时间结尾样本最大似然估计：定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有 s(t0)=t1+t2+tm+(nm)t0，)(01)(tsmeLmts)(0无偏性：估计量的存在且，则称是的无偏估计量无偏估计量),(21nXXX)(E)(E有效性：与都是的无偏估计量，若，则较有效有效),(211nXXX),(212nXXX)()(21DD12相合性：设的估计量，若对于任意有，则称是的相合估计相合估计),(21nXXX01|limPn量量置信区间：，和分别为置信下限置信下限和置信上限置信上限，则是1),(),(2121nnXXXXXXP),(的一个置信水平为置信区间置信区间，称为置信水平置信水平，1110正态样本置信区间：设 X1，X2，Xn是来自总体XN(，2)的样本，则有 的置信区间：枢轴量 W W 分布 a，b 不等式 置信水平 置信区间)1,0(NnX12znXP)(2znX 其中 z/2为上 分位点1先求枢轴量枢轴量：即函数 W=W(X1，X2，Xn；)，且函数 W 的分布不依赖未知参数 置信区间的求解：2对于给定置信水平，定出两常数 a，b 使 PaW50 时，)1,0()1()(limNpnpnpXnn1)1()(2zpnpnpXnP若令，则有置信0)2()(222222XnpzXnpzn22zna)2(22zXnb2Xnc 区间(，）aacbb2)4(2aacbb2)4(2单侧置信区间：若或，称(，)或(，)是 的置信水平为的单侧置信区单侧置信区1P1P1间间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）1待估其他枢轴量 W 的分布置信区间单侧置信限2已知)1,0(NnXZ)(2znX，znX znX 2未知)1(ntnSXt2tnSX，tnSX tnSX 一个正态总体2 未知)1()1(2222nSn2212222)1(,)1(SnSn，2122)1(Sn222)1(Sn1212，22已知)1,0()(22212121NnnYXZ2221212nnzYX2221212122212121nnzYXnnzYX1212=22=2未知)2()()(21121121nntnnSYXtw2)1()1(212222112nnSnSnSw12112nnStYXw2wwSS 121121121121nnStYXnnStYXww两个正态总体12/221，2未知)1,1(2122212221nnFSSF212221222211,1FSSFSS，1222122211FSSFSS122212221单个总体 XN(，2)，两个总体 XN(1，12)，YN(2，22)第八章假设实验H0：原假设原假设或零假设零假设，为理想结果假设；H1：备择假设备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设第第类错误类错误：H0实际为真时，却拒绝 H0第第类错误类错误：H0实际为假时，却接受 H0显著性检验显著性检验：只对犯第第类错误的概率加以控制，而不考虑第类错误的概率的检验P当 H0为真拒绝 H0，称为显著水平显著水平拒绝域拒绝域：取值拒绝 H0临界点临界点：拒绝域边界定义：双边假设检验双边假设检验：H0：=0，H1：0右边检验右边检验：H0：0，H1：0左边检验左边检验：H0：0，H1：0zz00tt(n1)0zz1212tt(n1+n22)412=22=2未知12120222(n1)202222FF(n11，n21)1222120tt(n1)D0D0tt(n1)7成对数据D=0D0nSDtD0|t|t2(n1)检验方法选择：主要是逐对比较法逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即 7 跟 3、4 的区别，成对数据指两样本 X 和 Y 之间存在一一对应关系，而 3 和 4 一般指 X 和 Y 相互对立，但针对同一实体关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为 1 的置信区间置信区间与显著水平为 的接受域接受域相同定义：施行特征函数施行特征函数(OC 函数函数)：()=P(接受 H0)功效函数功效函数：1()功效功效：当*H1时，1(*)的值