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小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学每日一题规范练 题目 1 已知向量a(sin ，2)，b(cos，1)，则ab，其中 0，2.(1)求 tan 4的值；(2)若 5cos()35cos，0 2，求 的值2016 年_月_日(周一)题目 2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD和DD1的中点求证：(1)EF平面C1BD；(2)A1C平面C1BD.2016 年_月_日(周二)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 3 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为 120，AB，AC的长度均大于200 米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长为 200 米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1 米，AQ段围墙高1.5 米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？2016 年_月_日(周三)题目 4 已知椭圆C：x24y221 的上顶点为A，直线l：ykxm交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.(1)若m0 时，求k1k2的值；(2)若k1k2 1 时，证明：直线l：ykxm过定点2016 年_月_日(周四)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 5 在数列 an，bn中，已知a10，a21，b1 1，b212，数列 an的前n项和为Sn，数列 bn的前n项和为Tn，且满足SnSn1n2，2Tn23Tn1Tn，其中n为正整数(1)求数列 an，bn的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使Tn1mTnm 1bm 2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由2016 年_月_日(周五)题目 6 设函数f(x)x2ln xax2b在点(x0，f(x0)处的切线方程为yxb.(1)求实数a及x0的值；(2)求证：对任意实数b 0，e2，函数f(x)有且仅有两个零点2016 年_月_日(周六)题目 7 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac2b.(1)求证：B2；(2)当ABBC 2，b23时，求ABC的面积2016 年_月_日(周一)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 8 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点(1)求证：OE平面BCC1B1；(2)求证：平面B1DC平面B1DE.2016 年_月_日(周二)题目 9 椭圆M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且经过点P1，22.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值2016 年_月_日(周三)题目 10 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为 2 km，AD为小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分 现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)设点P到边AD的距离为t(单位：km)，BEF的面积为S(单位：km2)(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点P，使隔离出的BEF面积S超过 3 km2？并说明理由2016 年_月_日(周四)题目 11 已知函数f(x)kexx2(其中kR，e 是自然对数的底数)(1)若k0，试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)若k2，当x(0，)时，试比较f(x)与 2 的大小；(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求k的取值范围，并证明0f(x1)1.2016 年_月_日(周五)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 12 已知数列 an为等差数列，Sn为其前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2a5a1a14，令bn1anan1，数列 bn的前n项和为Tn.(1)求an及Tn；(2)是否存在正整数m，n(1 mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由2016 年_月_日(周六)题目 13 已知向量a(cos，sin)，b(2，1)(1)若ab，求sin cos sin cos 的值；(2)若|ab|2，0，2，求 sin4的值2016 年_月_日(周一)题目 14 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.2016 年_月_日(周二)题目 15 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为yx2548x 8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？2016 年_月_日(周三)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 16 已知ABC的两顶点坐标A(1，0)，B(1，0)，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程2016 年_月_日(周四)题目 17 已知数列 an的前n项和Snann21，数列 bn 满足 3nbn1(n1)an1nan，且b13.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列 bn 的前n项和，求Tn，并求满足Tn7 时n的最大值2016 年_月_日(周五)题目 18 已知mR，f(x)2x3 3x26(mm2)x.(1)当m1 时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)若m12，2 且关于x的不等式(m1)2(1 4m)f(x)20 在区间 k，0 上恒成立，求k的最小值k(m)2016 年_月_日(周六)题目 19 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan Btan A12ca.(1)求B；(2)若 cosC613，求 sin A的值2016 年_月_日(周一)题目 20 在如图的多面体中，AE底面BEFC，ADEFBC，BEADEF12BC，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求证：EG平面BDF.2016 年_月_日(周二)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 21 已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP 2PB.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围2016 年_月_日(周三)题目 22 如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，EOF23.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，ADEF，且点A，D在EF上，设AOD2.(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于 的函数关系式；(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cos 的值2016 年_月_日(周四)题目 23 数列 an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN*)，等差数列 bn满足b33，b59.(1)分别求数列 an，bn 的通项公式；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)设cnbn2an2(nN*)，求证：cn1cn13.2016 年_月_日(周五)题目 24 已知函数f(x)xln xax.(1)若函数f(x)在(1，)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若?x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a(a0 成立)，求实数a的取值范围2016 年_月_日(周六)题目 25 已知ABC的面积为S，且ABAC2S.(1)求 sin A；(2)若|AB|3，|ABAC|23，求 sin B.2016 年_月_日(周一)题目 26 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.2016 年_月_日(周二)题目 27 已知圆M：x2(y2)21，直线l：y 1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OAOB 16，求证：直线AB恒过定点2016 年_月_日(周三)题目 28 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5 万元，此外每生产100 件这样的产品，还需增加投入0.25 万元，经市场调查知这种产品年需求量为500 件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为0.05t120 000t2万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？2016 年_月_日(周四)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 题目 29 设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)x1 时，f(x)有极值，证明：当 0，2时，|f(cos)f(sin )|2.2016 年_月_日(周五)题目 30 设数列 an 是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a564，S5S348.(1)求数列 an的通项公式；(2)对于正整数k，m，l(kml)，求证：“mk1 且lk3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；(3)设数列 bn满足：对任意的正整数n，都有a1bna2bn1a3bn2anb132n14n6，且集合Mnbnan，nN*中有且仅有3个元素，试求 的取值范围2016 年_月_日(周六)第五部分每日一题规范练 题目 1 解(1)ab，sin 2cos 0，即 tan 2.tan 41tan 1tan 1 21 2 3.(2)由(1)知 tan 2，又 0，2，sin 255，cos 55，5cos()35cos，5(cos cos sin sin)35cos，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即5cos 25sin 35cos，cossin，即 tan 1，又 02，4.题目 2 证明(1)连接AD1，E，F分别是AD和DD1的中点，EFAD1.正方体ABCDA1B1C1D1，ABD1C1，ABD1C1.四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1BC1，EFBC1.又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，EF平面C1BD.(2)连接AC，则ACBD.正方体ABCDA1B1C1D1，AA1平面ABCD，AA1BD.又AA1ACA，BD平面AA1C，A1CBD.同理可证A1CBC1.又BDBC1B，A1C平面C1BD.题目 3 解设APx米，AQy米(1)则xy 200，APQ的面积S12xysin 120 34xy.S34xy222 5003.当且仅当xy100 时取“”即APAQ100 米时，三角地块APQ面积最大(2)由题意得100(1x1.5 y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最少，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120 x2y2xy(200 1.5y)2y2(2001.5y)y 1.75y2400y40 0000y4003.当y8007时，PQ有最小值200217，此时x2007.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即AP2007米，AQ8007时，篱笆用料最省 题目 4(1)解当m0 时，直线l：ykx代入椭圆C：x24y221 的方程，得到x2 2k2x24，解得P212k2，2k12k2，Q212k2，2k12k2，所以k12k12k22212k22k212k22，k22k12k22212k22k21 2k22，所以k1k24k22（12k2）412.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l：ykxm代入椭圆C：x24y221 的方程，并整理得到(1 2k2)x24kmx 2m240，则 0，且x1x24km12k2，x1x22m2412k2.由k1k2 1 知y12x1y22x2 1.即y1y22(y1y2)2x1x20，(kx1m)(kx2m)2(kx1mkx2m)x1x220，k2x1x2mk(x1x2)m22k(x1x2)22mx1x2 2 0，(k2 1)2m2412k2k(m2)4km12k2m2 22m20，(k2 1)(2m24)k(m2)(4km)(m222m2)(1 2k2)0，所以 3m222m20，解得m2(舍)或m23，所以直线l过定点0，23.题目 5 解(1)因为SnSn1n2，所以当n2 时，Sn1Sn(n1)2，两式相减得anan12n1，又a2a11 也适合上式，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以anan12n1 对一切nN*成立，所以当n2 时，an1an 2n3，再相减得an1an12，所以数列 an 的奇数项成公差为2 的等差数列、偶数项也成公差为2 的等差数列，又a10，a21，可解得ann1.因为 2Tn 23Tn1Tn，所以 2Tn 22Tn1Tn1Tn，即 2bn2bn1，又 2b2b1，所以对一切nN*均有 2bn1bn，所以数列 bn 成公比为12的等比数列，所以bn12n1.(2)因为bn12n1，所以Tn112n1122 112n，由Tn1mTnm1bm 2得2 112n1m2 112nm112m 1，即（2m）2n1（2m）2n2 112m1，11（2m）2n2112m 1，1（2m）2n212m 1，因为 2m 1 0，所以(2m)2n20，且(2 m)2n22m1，即(2 m)2n 22m 1且(2 m)2n2.即m2 且mN*，故m1，此时 2n2226，(21)2n2，故n 2，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为(1，2)题目 6(1)解因为f(x)2xln xx2ax，所以在点(x0，f(x0)处的切线方程为yxx20ln x0ax20 x0b，其中2x0ln x0 x02ax0 1，x20ln x0ax20 x0bb，解得x0 1，a1.(2)证明因为函数f(x)x2ln xx2b(x0)，所以f(x)2xln xx，令f(x)2xln xx0，得xe，且当x(0，e)时，f(x)0，即f(x)x2ln xx2b在x(0，e)上单调递减；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当x(e，)时，f(x)0，即f(x)x2lnxx2b在x(e，)上单调递增；所以f(x)有最小值f(e)be2 0.又f(e)e2e2b0，所以f(x)x2ln xx2b在(e，e)上一定有一解，下面证明存在x1(0，e)使f(x1)0，令h(x)xln xx1，h(x)ln x，所以当x(0，1)时，h(x)xln xx1 在(0，1)上单调递减，所以当x(0，1)时，h(x)xln xx1h(1)0，所以当x(0，1)时，f(x)x2ln xx2bbx，取x1min1，b，则f(x1)bx10，所以f(x)x2ln xx2b在(x1，e)上一定有一解，综上所述，函数f(x)在(0，)上有且仅有两个零点 题目 7(1)证明cos Ba2c2b22aca2c212（ac）22ac12（ac）22ac0，又B(0，)B2(当且仅当ac时取得等号)(2)解ABBC 2，accos B2，由余弦定理得b2a2c22accos B12，a2c216，又ac2b26，ac4，cos B12，又B 0，2，sin B32.SABC12acsin B3.题目 8 证明(1)连接BC1，设BC1B1CF，连接OF.因为O，F分别是B1D与B1C的中点，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以OFDC，且OF12DC，又E为AB中点，所以EBDC，且EB12DC，从而OFEB，OFEB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OEBF，又OE?平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以OE平面BCC1B1.(2)因为DC平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1DC.又BC1B1C，且DC，B1C?平面B1DC，DCB1CC，所以BC1平面B1DC，BC1OE，所以OE平面B1DC，又OE?平面B1DE，所以平面B1DC平面B1DE.题目 9 解(1)依题意有c22a，1a212b21，又因为a2b2c2，所以a22，b21，故椭圆M的方程为x22y21.(2)设直线AC：yk1x，直线BD：yk2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)联立x22y21，yk1x得方程(2k211)x2 20，x2Ax2C22k21 1，故OAOC1k2122k211.同理，OBOD1k2222k221.又因为ACBD，所以OBOD11k12221k121，其中k10.从而菱形ABCD的面积S2OAOB21k2122k21111k12221k121，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学整理得S4121k11k12，其中k10.故当k1 1 或 1 时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为83.题目 10 解(1)如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2，4)设边缘线AC所在抛物线的方程为yax2(a0)，把(2，4)代入，得4a22，解得a1，所以抛物线的方程为yx2.因为y 2x.所以过P(t，t2)的切线EF方程为y2txt2.令y0，得Et2，0；令x2，得F(2，4tt2)，所以S122t2(4tt2)，所以S14(t3 8t216t)，定义域为(0，2(2)S14(3t216t16)34(t4)t43，由S(t)0 得 0t43(t4 舍去)所以S(t)在 0，43上是增函数，在43，2 上是减函数，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以S在(0，2 上有最大值S436427.又因为6427317273，所以不存在点P，使隔离出的BEF面积S超过 3 km2.题目 11 解(1)由f(x)kex2x可知，当k0 时，由于x(0，)，f(x)kex2x0，故函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(2)当k2 时，f(x)2exx2，则f(x)2ex2x，令h(x)2ex 2x，h(x)2ex2，由于x(0，)，故h(x)2ex20，于是h(x)2ex2x在(0，)上为增函数，所以h(x)2ex2xh(0)20，即f(x)2ex2x0 在(0，)上恒成立，从而f(x)2exx2在(0，)上为增函数，故f(x)2exx2f(0)2.(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f(x)kex2x0 的两个根，即方程k2xex有两个根，设(x)2xex，则(x)22xex，当x0 时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当 0 x1 时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当x1 时，(x)0，函数(x)单调递减且(x)0.要使k2xex有两个根，只需0k(1)2e，如图所示，故实数k的取值范围是0，2e.又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足 0 x11x2，由f(x1)kex12x10，得k2x1ex1.f(x1)kex1x212x1ex1ex1x21x212x1(x11)21，由于x1(0，1)，故 0(x11)211，所以 0f(x1)1.题目 12 解(1)因为 an为等差数列，设公差为d，则由题意得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学a5a7 22，a2a5a1a14，即2a110d22，（a1d）（a14d）a1（a113d），整理得a15d11，d2a1?d2，a11，所以an 1(n1)22n1.由bn1anan11（2n1）（2n1）12(12n112n1)所以Tn12(1 13131512n112n1)n2n1.(2)假设存在正整数m，n(1mn)使T1，Tm，Tn成等比数列，则由(1)知，Tnn2n1，所以T113，Tmm2m1，Tnn2n1，所以有T2mT1Tn?m2m1213n2n1?m24m2 4m1n6n3?4m24m1m26n3n?3n4m12m2m2，因为n0，所以 4m12m20?162m162，因为mN*，m1，m2，当m2时，代入式，得n12.综上，当m 2，n12 时可以使T1，Tm，Tn成等比数列 题目 13 解(1)由ab，可知ab2cos sin 0，所以 sin 2cos ，所以sin cos sin cos 2cos cos 2cos cos 13.(2)由ab(cos 2，sin 1)，可得|ab|（cos 2）2（sin 1）264cos 2sin 2，即 12cos sin 0，又 cos2sin21，且 0，2，解得 sin 35，cos 45，所以 sin422(sin cos)2235457210.题目 14 证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以EFPD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF平面PAD.题目 15 解(1)每吨平均成本为yx(万元)则yxx58 000 x482x58 000 x4832，当且仅当x58 000 x，即x200 时取等号年产量为200 吨时，每吨平均成本最低为32 万元(2)设年获得总利润为R(x)万元则R(x)40 xy 40 xx2548x8 000 x2588x8 000 15(x220)21 680(0 x210)R(x)在 0，210 上是增函数，x210 时，R(x)有最大值为15(210 220)21 680 1 660.年产量为210 吨时，可获得最大利润1 660 万元 题目 16 解(1)由题知CACBCPCQAPBQ 2CPAB4AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)，设曲线M：x2a2y2b21(ab0，y 0)，则a24，b2a2AB223，所以曲线M：x24y231(y 0)为所求(2)注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1，0)，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学设lBC：xmy1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由xmy1，3x24y212，消x得(3m2 4)y26my90，所以y1，23m6m213m24，所以y1y26m3m24，y1y293m24，因为AC(my12，y1)，AD(my22，y2)，所以ACAD(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)49（m21）3m2412m23m2 4479m23m2 4.注意到点A在以CD为直径的圆上，所以ACAD0，即m73，所以直线BC的方程 3x7y 30 或3x7y 30 为所求 题目 17 解(1)n2 时，Snann21，Sn1an1(n1)21，两式相减，得ananan12n1，an12n1.an2n1，3nbn1(n1)(2n3)n(2n1)4n3，bn14n33n，当n2 时，bn4n13n1，又b13 适合上式，bn4n13n1.(2)由(1)知，bn4n13n1，Tn317311324n 53n24n 13n1，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学13Tn3373211334n53n14n13n，得23Tn34343243n14n13n3413（113n 1）1134n13n54n53n.Tn1524n523n1.TnTn14（n1）523n4n 523n1（4n3）3n0.TnTn1，即 Tn为递增数列又T35997，T46497，Tn7 时，n的最大值为3.题目 18 解(1)当m1 时，f(x)2x33x2，f(x)6x26x.切线斜率为kf(1)12，f(1)5，所以切线方程为y12x7.(2)令f(x)6x26x6(mm2)0，可得x1m，x2m1，因为m12，2，所以m1(m)2m10.当m10，且 2m 10，即12m1 时f(x)极大f(m)4m33m2，f(x)极小f(m 1)(m1)2(1 4m)令g(m)f(x)极大 4m33m2，则g(m)12m26m0.故g(m)在12，1 上单调递增，故g(m)g(1)120 恒成立令h(x)f(x)(m1)2(14m)，显然h(m1)f(m1)(m1)2(14m)0，令h(x0)h(m1)(x0m 1)，设x(m1)2(axb)2x3 3x26(mm2)x(m 1)2(1 4m)，比较两边系数得a2，b4m1，故x0ba14m2.结合图象可知，要使(m1)2(1 4m)f(x)恒成立小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则只需x0k 0即可，故kmink(m)x014m212m1；当m10 即 1m2 时，同可知，g(m)f(x)极大4m33m2，又g(m)在(1，2 上单调递增，故g(m)g(2)20 恒成立同理可知kmink(m)x014m2(1 m2)，综上可知，k(m)14m2m12，2.题目 19 解(1)由tan Btan A12ca及正弦定理得sin Bcos Acos Bsin A12sin Csin A，所以sin Bcos Acos Bsin Acos Bsin A2sin Csin A，即sin（AB）cos Bsin A2sin Csin A，则sin Ccos Bsin A2sin Csin A.因为在ABC中，sin A0，sin C0，所以 cos B12.因为B(0，)，所以B3.(2)因为 0C23，所以6C656.因为 cosC613，所以 sinC6223.所以 sin A sin(BC)sinC3sinC66sinC6cos 6cosC6sin 62616.题目 20 证明(1)ADEF，EFBC，ADBC.又BC2AD，G是BC的中点，AD綊BG，四边形ADGB是平行四边形，ABDG.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AB?平面DEG，DG?平面DEG，AB平面DEG.(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，DFAE，AE底面BEFC，DF平面BCFE，EG?平面BCFE，DFEG.EF綊BG，EFBE，四边形BGFE为菱形，BFEG，又BFDFF，BF?平面BFD，DF?平面BFD，EG平面BDF.题目 21 解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(ab 0)，由题意知a 2，bc，又a2b2c2，则b2，所以椭圆方程为y24x221.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即y22x24，ykxm，则(2 k2)x22mkxm240，(2mk)2 4(2k2)(m2 4)0，解上述一元二次方程可得x1x22mk2k2，x1x2m242k2.又AP2PB，即有(x1，my1)2(x2，y2m)x12x2，x1x2x2，x1x2 2x22.m242k2 22mk2k22，整理得(9m2 4)k282m2，又 9m240 时不成立，k282m29m240，得49m24，此时 0.m的取值范围为 2，2323，2.题目 22 解(1)设矩形铁片的面积为S，AOM.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 03时(如图 1)，AB4cos 2，AD 24sin，SABAD(4cos 2)(2 4sin )16sin(2cos 1)当3 2时(如图 2)，AB24cos，AD24sin，故SABAD64sin cos 32sin 2.综上得，矩形铁片的面积S关于 的函数关系式为S16sin（2cos 1），03，32sin 2，32.(2)当 03时，求导得S 16cos(2cos 1)sin (2sin)16(4cos2cos 2)令S 0，得 cos 3318.记区间0，3内余弦值等于3318的角为 0(唯一存在)列表：(0，0)00，3S0S 增函数极大值减函数又当3 2时，S 32sin 2 在3，2上单调递减，所以当 0即 cos 3318时，矩形的面积最大 题目 23(1)解由an12Sn1，得an2Sn 11(n2)，得an1an2(SnSn 1)2an，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学an13an，即an1an3，又当n1 时，a2a1 3 也符合上式，an3n1.由数列 bn为等差数列，b33，b59，设 bn 公差为d，b5b3932d，d3，bn3n6.(2)证明由(1)知：an23n1，bn23n，所以cn3n3n1n3n，所以cn 1cn12n3n1 0，cn1cnc113，cn 1cn13.题目 24 解(1)因f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)ln x1（ln x）2a0 在(1，)上恒成立，所以当x(1，)时，f(x)max0，又f(x)ln x1（ln x）2a1ln x21ln xa1ln x12214a，设1ln xt，t(0，)，则y(t12)214a，故当t12，即xe2时，f(x)max14a0，解得a14，所以a的最小值为14.(2)命题“若?x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”，等价于“当xe，e2 时，有f(x)minf(x)maxa”，由(1)知，当xe，e2 时，f(x)max14a，f(x)maxa14，问题等价于：“当x e，e2时，有f(x)min14”10当a14时，f(x)max14a0，f(x)在e，e2 上为减函数，则f(x)minf(e2)e22ae214，故a1214e2.20当 0a14时，f(x)max14a0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由于f(x)(1ln x12)214a在e，e2 上为增函数，故f(x)的值域为 f(e)，f(e2)，即 a，14a，由f(x)的单调性和值域知，存在唯一x0e，e2，使f(x0)0，且满足：当xe，x0 时，f(x)0，f(x)为减函数；当xx0，e2 时，f(x)0.由f(x)minf(x0)x0ln x0ax014，x0e，e2，所以，a1ln x014x01ln e214e121414，与 0a14矛盾，不合题意综上所述，得a1214e2.题目 25 解(1)ABC的面积为S，且ABAC2S，bccos A212bcsin A，sin A2cos A，A为锐角，且sin2Acos2A sin2A12sin2A32sin2A1，sin A63.(2)设ABC中角A，B，C对边分别为a，b，c，|AB|c3，|ABAC|CB|a23，由正弦定理得csin Casin A，即3sin C2363，sin C22，又ca，则C为锐角，C4，sin BsinA4sin Acos4cosAsin4632233222366.题目 26 证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD，PA?平面PAD.所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，且CD?平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.题目 27(1)解设P(x，y)，则x2（y 2）2(y1)1，x28y.E的方程为x28y.(2)证明设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中得x28kx8b0，所以x1x2 8k，x1x2 8b.OAOBx1x2y1y2x1x2x21x2264 8bb2 16，b4，所以直线AB恒过定点(0，4)题目 28 解(1)当 0500 时，f(x)0.05 500120 00050020.25 x1000.5 121400 x，故f(x)120 000 x219400 x12，0500.(2)当 0500 时，f(x)121400 x1254344320，即b2a2b1a1；n3 时，bnanbn1an10，此时bnan单调递减，又b1a112，b2a234，b3a358，b4a4716，71612.