专题四 导 数.docx

专题四导 数导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单 调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用.导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理.§ 41导数概念与导数的运算【知识要点】1 .导数概念:平均变化率：对于函数y=/u）,定义/区）一八斗）为函数 尸危）从X到也的平均x2 一百变化率.换言之，如果自变量X在均处有增量Ax,那么函数;（X）相应地有增量八祀十八幻凡布），则比值加0 一就叫做函数y=«x）从加到xo+之间的平均变化率.Ax（2）函数y=.«x）在x = x（）处的导数：函数y=/（x）在x = %o处的瞬时变化率是 lim /（）+常-公）,我们称它为函数尸危）在x=xo处的导数，记作f （xo）,即 - Ax八%。）=帆八%。）=帆/(x0 + Ay)-/(x0)Ax/(x + Ax)-/(x)Ax（3）函数y=/（x）的导函数（导数）：当x变化时，/ （x）是x的一个函数，我们称它为函数y=#尤）的导函数（简称导数），即fx） = lim 2 .导数的几何意义:函数）二大尤）在点xo处的导数（超）就是曲线y=/（x）在点（枇，«xo）处的切线的斜率，即k=(5).3 .导数的运算：(1)几种常见函数的导数：(O' =0(。为常数)；="i(x>0, 金Q")；(siru)' =cosx；(4)(cosx)' sinx； O' =e"；)'=a"ln3>0,且 aWl)；(Inx)=；%®(log6/x) = ogae(a>0,且 W1). x(2)导数的运算法则：w(x) ± v(x)' = uf(x) ± M(x)；(2)w(x)v(x)r = uf(x)v(x) + uxvx)；解：(1)由+是R上的奇函数，知火0) = 0,解得d=O,所以次x) = . + cx3#。)，/(x) = 3or2+c(6ZO).由当x=l时，式应取得极值-2,得*1)=+。=2,且/(1) = 3+。=0,解得q = 1, c 3 ,所以,外幻二X3 一3x.(2)令/ (x)>0,解得xV l,或x>l；令/ (x)<0,解得一 1Vx<1,从而函数人犬)在区间(一8, 1)内为增函数，(-1, 1)内为减函数，在(1, +8)内为增 函数.故当x£1, 1时，兀x)的最大值是4一1) = 2,最小值是41)=2,所以，对任意的、%2e( B 1), /(xi)Ax2)I<2( 2)=4.【评析】使用导数判断函数的单调性，进而解决极值(最值)问题是常用方法，较为简便.例8 已知函数«x)=xlnx.求危)的最小值;(2)若对所有都有人1,求实数。的取值范围.解：(1/幻的定义域为(0, +8),於)的导数/(匠=1+成.令/(幻>0,解得X,；令/(x)VO,解得0<x<，.ee从而“X)在(02)单调递减，在d,+00)单调递增. ee所以，当x =,时，式犬)取得最小值一!. ee(2)解法一：令 g(x) =«x) (ax 1),则 gf(x)=f(x)a= 1 (7+lnx,若当无>1 时，gf(x)= 1 a+wc> 1 6/0,故g(x)在(1, +8)上为增函数，所以，x2l时,g(x)2g(l)=l即汽幻办一1.若。>1,方程g'a)=O的根为期=>一1,此时,若e(l, xo),则g%r)V。,故g(x)在该区间为减函数.所以，%e(l, xo)时，g(x)<g(l)= 1 a<0,f(x)<ax 1,与题设1 相矛盾.综上，满足条件的。的取值范围是(一8, 1.解法二：依题意，得./U)NqX1在1, +8)上恒成立，即不等式。Wlnx +，对于x£l, +8)恒成立.令g(x) = lnx + -,则 gx) = -V = (1-) xxx x当 X>1 时，因为 g'(x) = L(l l)0, X X故g(x)是(1，+8)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(l)=l，从而的取值范围是(一8, 1.已知函数/。)=1()+ aln(x-1)其中£N*,。为常数.(1)当=2时，求函数八工)的极值；当4=1时，证明：对任意的正整数，当x22时，有1.解：(1)由已知得函数於)的定义域为x I %>1,当=2 时，%所以尸(幻=2-(：与/)2当6Z>0时，由次光)=0得玉=1 + J1,=1 J2 < 1，此时ff(x)=此时ff(x)=-a(x-x1 )(x-x2)(1-x)3当x£(l,汨)时，/(x)<0, «r)单调递减；当尤£(xi，+8)时，八灯>0,汽幻单调递增.当。<0, /(x)VO恒成立，所以«x)无极值.综上所述， =2 13寸，当。0时，./U)在x = i+J2处取得极小值，极小值为了(i+j2)= q(i + in2). V a a 2 a当时，力>)无极值.(2)证法一：因为。=1,所以/'(x) =!- + ln(x-l).-ln(x- l),(1 一 x)当为偶数时，令g(x) = x l(1 - X)则夕(x) = l +r != £z2 +B_>0(x>2).八 (X 1 严 X-l X 1 (X 1 严所以当工22时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此 g(x) = x _ 1 -ln(x _ 1) 2 g(2) = 0恒成立, (x-l)所以yu)wx1成立.当为奇数时，要证1,由于n <0,所以只需证ln(%1)W九一1,令 h(x)=x 1 ln(x 1),1r-2则(x) = l= >0(x>2).xx所以，当时，/z(x)=x1ln(x1)单调递增，又以2)=1>0, 所以，当时，恒有/?(x)>0,即ln(xl)Vx1成立.综上所述，结论成立.证法二：当 =1 时，/(%)=-+ ln(x-l). (1-x)当x22时，对任意的正整数小恒有一-一 <1, (一)故只需证明1+ln(xl)Wx1.令 h(x)=x 1 1 +ln(x l)=x2ln(x 1), x£2, + °°),贝ij(x) = l-匚=七匚，x 1 x 1当时，"(x)20,故/z(x)在2, +8)上单调递增，因此当 x>2 时，久龙)2/1(2)=0,即 l+ln(xl)Wx1 成立.故当 xN2 时' 有一!一 + ln(x-l)<x-l (17)即 y(x)Wx1.练习4-2一、选择题：1 .函数y=l+3x一炉有()(A)极小值-2,极大值2(B)极小值一2,极大值3(C)极小值一1,极大值1(D)极小值一1,极大值3.尸(%)是函数y="x)的导函数，>=/'(犬)图象如图所示，则y=«x)的图象最有可能是().函数人力=加一x在R上为减函数，则的取值范围是()(A)6Z<O(B)WO(C)a<-(D)a<-332 .设q£R,若函数/U) = e'+ax, x£R有大于零的极值点，则。的取值范围是()11(A)aV 1(B)> 1(C)tz<(D)a>ee二、填空题：3 .函数危尸%3 -3加+2旅在x= 1处取得极小值-1,则+/?=.4 .函数y=x(l%2)在0, 1上的最大值为.5 .已知函数人幻=2?6/+。在2, 2上的最小值为一37,则实数。=.6 .有一块边长为6m的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为 m.三、解答题：7 .已知函数/(x)=x3+qx2+法3，Z?£R)的图象过点P(l, 2),且在点尸处的切线斜率为8.(1)求m的值；(2)求函数火X)的单调区间；(3)求函数«x)在区间1，1上的最大值与最小值.TT.当 X£(0,5)时，证明：taar>x.8 .已知函数/(x) = e"v.(1)证明：,/U)的导数/。)22；(2)若对所有尤2。都有次求的取值范围.§4-3定积分与微积分基本定理【知识要点】1 .曲边梯形的面积与定积分：(1)定积分定义：设函数y=/(x)定义在区间加上.用分点Q=XoVxi<X2<x=把区间加分为个小区间，其长度依次为A%i=Xi+i如z=0, 1, 2,n1.记 力为这些小区间长度的最大者.当4趋近于。时，所有的小区间的长度都趋近于0.在每个 小区间内任取一点作和式S=£/(苧)" 当X -0时，如果和式的极限存在，我 /=0们把和式S的极限叫做函数,/(X)在区间，句上的定积分，记作，7(x)dx,即17(%)改 =照白©). /=017(%)改 =照白©). /=0其中火X)叫做被积函数,。叫做积分下限，人叫做积分上限,此时称函数/U)在区间4,切上可积.(2)定积分性质：定积分有三条主要的性质:(*bpb好(x)dx = k y(x)dx (k 为常数)； J。Jarbfb j /(x) 土 g(x)dx = J /(x)dx± f g(x)dx； J aJ aJ arbf(? I /(x)dx = f(x)dx + /(x)dx(Q <c <b).JaJ aJc说明：性质对于有限个函数(两个以上)也成立；性质对于把区间Q,切分成有限个(两 个以上)区间也成立.在定积分的定义中，7(x)ck限定下限小于上限，即为了计算方便，我们把定rapb积分的定义扩展，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)ck-f(x)ck.(3)几种典型的曲边梯形面积的计算方法：由三条直线x=a, x=b(a<b)9 积 S = £/(x)dx.由三条直线x=a, x=b(a<h),x轴，一条曲线y=/(x)(/U)20)围成的曲边梯形的面x轴，一条曲线y=/a)(/a)wo)围成的曲边梯形的面1/(©dr = -/(x)dxJ aJa，x=b(ab),两条曲线y=«x), y=g(x)(/(x)>g(x)围成的平面图形的面积S = J"(X)g(x)dx由三条直线x = a, x = b(a<b),X轴，一条曲线y=/U)围成的曲边梯形的面积s = £/(x)dx-p(x)ck,即在区间m，勿上，八工)有正有负，求曲边梯形的面积时应分段 计算.2 .微积分基本定理：如果Fx) = fix),且於)在他，加上可积，则 r/(x)dr=F(/?)-F(6Z)，其中F(x)叫做/(x)的一个原函数.原函数在口，句上的改变量F JbF()简记作F(x) * ,因此微积分基本定理可以写成，/(x)ch = F(x) |；> F(b)-F(a).【复习要求】1. 了解定积分的概念；2. 了解微积分基本定理的含义.【例题分析】例1计算下列定积分： f2x2dx ；JO(2) £ sinxdx ；(4) 2(3%_$山%)(& ；Jop 2(5) +bx+ c)ck ；JOW： (1) f2x2dx = ix3 Io=-.Jo 310 3(6)2兀 .(sin x-cosx)dx.71(2)£ sinxck = -cosx|J=-cos7i + cosO = 2 .7132E(4) 2 (3%- sin x)dx = ( x2 + cosx) K =J。2(5) J (ax2 + bx + c)dx = (_ . H + ex) |q= IFC.°33(6)(6)71(sin x-cosx)dx = (-cosx-sinx) I” 一2 .【评析】求一般分为两步：求«x)的原函数F(x)；计算尸3)一的值， 对于求较复杂函数的定积分还要依据定积分的性质.例2计算下列定积分：(1) f |x|dx；设/(x) = F ",°， 求f/(x)dx.JTcOSX-l,X>0.解：(l)J：|%|d_¥ = 2f%dx = 2xg%2c=.(2) f(x)dx - j0x2dx + £ (cos x-l)dx = * 匕 +(sin x-x) |；)=sinl .【评析】设/(x)在区间。，刈上连续，则/(X)是偶函数时，)。)心= J-a2/(x)dx;/(x)是奇函数时，£/(x)dr = 0.当/U)是分段函数时，求积分应分段进行.例3求曲线y=e, y=e=及直线x=l所围成图形的面积.解：两条曲线>=8, >=)，的交点为(0, 1),故所求面积 s = f e e-x )dr = (ex +。一、)匕=e + 2.JO9 R例4过原点的直线I与抛物线2以3>0)所围成图形的面积为,求直线i的 方程.解：设直线/的方程为>=依，将其代入y=f 2奴(。>0),解得x=0或x=2+Z.r2a+kc 、， x2a + k 9 x、透当 2q + 上>0 时，所求面积为 S= (kx-x2+2ax)dx = (x 丁)1；Jo2 J_(2 + 攵)3u2当2a + k<0时，所求面积为S(2a+ k)3-6-3*3 =43,解得=-5。62一、选择题：1.曲线在点(1, e)处导数为()。z/2 c 、,2a+ k 2 x'、e_ Jz人 *x x + 2ax)dx (x 3 )弓/左,此时直线/的方程为y= -5ax.习题4令(2 ：攵)3 2/,解得 = ，此时直线/的方程为y = QX.二6.(A)l(B)e(C)-l(D)-e.曲线y：%3 2x+4在点(1, 3)处切线的倾斜角为()(A)30°(B)45°(C)60°(C)60°(D)120°.函数段)的定义域为开区间(m b),导函数FQ)在(m3内的图象如图所示,则函数/U) 在开区间(。，。)内有极小值点()(A)l 个(C)3 个(B)2 个(D)4 个4 .函数/(x)=xliu:的最小值是()(A)e(B) e(C)e-,(D)e 15 .设汽¥)、g。)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且r(x)g(x)/U)g <x)<0,则当。<人<匕时，一定有()(A)/U)g(x) >f(b)g(b)(BVU)g(a) >/(a)g(x)(C)/(x)g3) >Kb)g(x)(DV(x)g(x) >/m)g(a)6 .设曲线丁=加在点(1, a)处的切线与直线2xy6=0平行，则a=.7 .如图，函数“X)的图象是折线段ABC,其中A, B, C的坐标分别为(0, 4), (2, 0), (6, 4),则函数#0在x=l处的导数/(1)=.。1 毕 T 5.函数y=2/ 3一12x+5在0, 3上的最大值是；最小值是.8 .设函数H幻=%3+加+ (-3)%的导函数是尸(幻，若尸是偶函数，则曲线y=“r) 在原点处的切线方程为.9 .抛物线y=fx与x轴所围成封闭图形的面积是.三、解答题：10 .设函数/(x)=xe"(ZWO).(1)求函数1外的单调区间；(2)若函数次处在区间(一1, 1)内单调递增，求上的取值范围.11 .设函数於+在x=l及x=2时取得极值.求4,。的值；若对于任意的x£0, 3,都有人幻。2成立，求。的取值范围.13.设。0,函数 /(x) = (x2 - %-)eav.a(1)当。=2时，求函数“T)的单调区间；3(2)若不等式/(%) + -0对任意实数x恒成立，求a的取值范围. a14.已知函数|尤)=111(工+)+/.(1)若当X= -1时，/(X)取得极值，求。的值，并讨论应¥)的单调性；A(2)若“V)存在极值，求Q的取值范围，并证明所有极值之和大于In.专题四导数参考答案练习41一、选择题：1. C 2. B 二、填空题： 5. 36. 4三、解答题：3. B 4. D7. (1, e)； e9. (l)y=l-e;入；(2)y = 3x2 sinx；o ,.1-lnx(3)y=3x2+12x+ll； (4)y =厂10.略解：因为抛物线,=加+云+。经过点4(1, 1), BQ, 一1)两点，所以4a+2b+c= 1.因为y=2Qx+z?,所以y I尸2=4+从 故4+/?=i.联立、，解得=3, /2=-11, c=9.11.解：由y = 2- -x22x3 + 2x2-16 = 0,产产2所以(x2)(x2+4x+8)=0,故x=2,所以两条曲线只有一个交点(2, 0).1 9对函数y = 2 求导数，得)/ =-从而曲线y = 2 在点Q, 0)处切线的斜率是一2.对函数y =2求导数，得旷=1 a从而曲线y = Y2在点(2, 0)处切线的斜率是3.4设两条切线的夹角为。，则tano=|= 1,l + (-2)x3所以两条切线的夹角的大小是45。.练习4-2一、选择题：1. D 2. C 3. B 4. A二、填空题：7. 38. 1三、解答题：9 .解：(1)=4, b=-3.(2)函数7U)的单调增区间为(一8, -3), (L+S)；减区间为(3). 3314(3)函数/)在-1, 1上的最小值为一-,最大值为6.兀.证明：设/(x)=tanxx, xe (0,).则广=心£)-1 = -L-1 = tan2 x>0, cosx cos-xIT所以函数"T)= tanr-x在区间(0,一)内单调递增.7F又式0)=0,从而当X£(0,一)时，兀刈>五0)恒成立,TT即当X £ (0,耳)时，tanx>x.10 .解：(1次o的导数八%)=数+。一七由于e'+eT>2点二77 = 2,故尸(1)22,当且仅当x=0时，等号成立.(2)令 g(x)=/(x) (7X,则g'(x) =/U)。=e"+e ra,若 当 x>0 时，g<x) = e，+e 'Q>2Q，0, 故g(x)在(0, +8)上为增函数，所以，x20时，g(x)与g(0),即«x)与ax.a +J/ 4若，>2,方程g，(x)=0的正根为 =ln此时，若x£(0, xi),则/ (x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,%E(0, xi)时,g(x)Vg(0)=0,即於)Vox,与题设«x)Qax相矛盾.综上，满足条件的的取值范围是(-8, 2.习题4一、选择题：1. B 2. B 3. A 4. D 5. C二、填空题：16. 17. -28. 5； -159. y=-3x 10.-6三、解答题：11 . (1夕(1)=(1+依/依，令(1+日)e奴=0,得x = -'(攵#0). k若%>0,则当不£(一00,-，)时，r(x)<0,函数./(X)单调递减；当(-',+00)时, kkr)>o,函数#x)单调递增.若攵<0,则当 X£(-OO, - L)时，fx)>0,函数 “X)单调递增；当X£(-L,+oo)时, kkr(x)o,函数/(X)单调递减.(2)若人>0,则当且仅当工二1,即上W1时，函数,/(X)在区间(一1, 1)内单调递增; k若攵<0,则当且仅当 ,2 1,即Z2 1时，函数人幻在区间(一1, 1)内单调递增. k综上，函数/U)在区间(一1, 1)内单调递增时，Z的取值范围是1, 0)U(0, 1.12 .解：(l)f'(1)=6+6办+3Z7,因为函数/U)在=1及X=2取得极值，则有尸(1) = 0, r(2)=0.即 4解得 Q=3, b=4.124 + 12。+3b = 0.(2)由(1)可知，/(x) = 2x3-9x2+ 12x+8c,/,(x) = 6x2 18x+12 = 6(%1)(%2).当 x£(0, 1 州寸，/'(x)>0;当 x£(l, 2)时，r(x)VO；当 x£(2, 3)0寸，/(x)>0.所以，当x=l时，<龙)取得极大值/(l) = 5 + 8c,又10) = 8八/(3) = 9 + 8c.则当x£0, 3时，/U)的最大值为<3) = 9 + 8。.因为对于任意的x£0, 3,有J(x)，恒成立，所以 9 + 8c<c2,解得 eV 1 或 c>9,因此c的取值范围为(一8, -1)U(9, +8).13 .解:对函数危)求导得:箕a)=e%*+2)aD.(1)当=2 时,yt()=e2x(2x+2)(x-l).令r(x)>o,解得x>i或尤<1；令r(x)VO,解得一IVxVl.所以，/1)单调增区间为(一8, -1), (1, +8)；/)单调减区间为(一1, 1). 2(2)令r(x)=O,即(x+2)(xl)=o,解得x = 一，或x=L a由。>0时，列表分析得:(-8,-2) a_ 2 a(-,1) a1(1, +oo)四,=/(x)"(x)W(x)(心)* 0). v(x)v-(x)简单的复合函数(仅限于形如汽办+与)的导数：设函数y=#)，=g(x),则函数y=/()=/ga)称为复合函数.其求导步骤是：.=frl( g1 其中表示/对"求导，g表示g对x求导.一对4求导后应把4换成g(x).【复习要求】1 . 了解导数概念的实际背景；2 .理解导数的几何意义；3 .能根据导数定义求函数y=C, y=x, y=f, j=x y = «的导数；x4 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；5 .理解简单复合函数(仅限于形如危zx+。)导数的求法.【例题分析】6 1求下列函数的导数：.9x (l)j=(x+l)(x2-l)；(2)y =-；x + 1(3)y=sin2x；(4)y=e" Inx.解：(1)方法一： =(x+l)/ (x2-l) + (x+l)(x2-l)/-1+。+1) 2x=3 + 2x1.方法二： V=(x+ l)(x2 l)=x3+x2% 1,=(x3+x2%1)/ =3x2+2x 1.方法一:x-1x + 1(x iy(x+i)(x i)(x+iy(X + I)2(x + l)_(x l) _2(x + 1)2(x + 1)2丹(1方=(一丹(1方=(一Y 二 2 (x + 1)2,方法一：y,= (sin2x)' = (2siiu: cosx)' = 2(sinx)' cosx+sinr (005), = 2(cos2%sin2x) = 2cos2x.方法二：V=(sin2x)' (2x)'=cos2x 2 = 2cos2x.(4) = (e")'ln x + e' .(In xy = e"ln x +号=(In x + )e1【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件.运用公式和求 导法则求导数的基本步骤为：分析函数y=/(x)的结构特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导数；化简整理结果.应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代 数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.(如(1)(2)题 的方法二较方法一简捷).对于(3),方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将sin2x表示为siwv和/W+00+於)/极大值极小值/221当工< 时，因为工20,x > 一 ,。0,所以广x0,从而«x)>0.aaa21对于时，由表可知函数在x=l时取得最小值/(1)=j<0, aa所以，当 x£R 时，/«in=/(l) = -e. a3由题意，不等式/(x) + 20对x£R恒成立， a_13所以得 e" H > 0，解得0<QWln3.a a14.解：对函数«x)求导数，得/'(x) = + 2底x + a3依题意有了'(-1)=0,故。=；.从而广(幻=2x + 3x +13x + -2(2x + l)(x + l)3X H233段)的定义域为(,+8的当<X<1时，fx)>0; 22当一1 <工<一工时，ra)o；当x一,时，/ (x)>0.311从而，/分别在区间(一一,一1),( ,+8)内单调递增，在区间(-一)内单调递减.(2)解:危)的定义域为(一0十8),“、2x2 + 2ax +1/(x):x + a方程2f+2g+ 1=0的判别式八=4，一8.若<(),即在“X)的定义域内尸。)0,故人工)无极值.若=(),则=四或q = -J5.若 q =后, e ( JI+oo),/(%)=(桓；詈当 X £ (-V2,时，/'(x)=0,叵桓,-厂)或X£(-丁,+00)时，/(x)>0,所以/U)无极值. 乙乙若a = _6”Zi,g,4（©二（血二）0, ./U）也无极值.x-飞2若A>0,即血或</，则2f+2办+1=0有两个不同的实数根一 _ J/_2_ + J2 2x 2，x? -当时一，xi一m X2一m从而/ （x）在式幻的定义域内没有零点，故«x） 无极值.当J5时，为>，忿>/'（X）在共幻的定义域内有两个不同的零点，所以 力>）在=为，元=九2处取得极值.综上，段）存在极值时，。的取值范围为（、历,+8）.f（x）的极值之和为“ri）+/（X2）= ln（xi+tz）+xi2 + ln（%2+d） +22d1e=ln（%i +。）（为+a） + （x +x?）2 2%X? = ln +片-1 > 1 ln2 = ln .cos%的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解.方法二较方法一简捷.对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准 确.例2 (1)求曲线在点(1, 1)处的切线方程；(2)过点(1, 3)作曲线的切线，求切线的方程.【分析】对于，根据导数的几何意义：函数y=/U)在点m处的导数/的)就是曲线y =/U)在点5), «xo)处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切 线方程.对于(2),注意到点(1, 3)不在曲线上，所以可设出切点，并通过导数的几何意 义确定切点的坐标，进而求出切线方程.解：(1)曲线川=口在点(L 1)处的切线斜率为率=2尤Ie=2,从而切线的方程为yl=2(x1),即2x-y1=0.(2)设切点的坐标为(x(),x；).根据导数的几何意义知，切线的斜率为V = 2x|户“° =2抽，从而切线的方程为 y-4 = 2x0(x-x0).因为这条切线过点(1, -3),所以有3 X； = 2%(1 %),整理得x；-2-3 =。，解得x()= 1,或x()=3.从而切线的方程为y 1 = 2(x+1),或y9=6(%3),即切线的方程为2x+y+1=0,或6xy9=0.【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：函数y=/U)在点xo处的导数r的)就是曲线y=/W在点(w ,”()处的切线的斜率，即 k=fx%切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.例3设函数|幻=以3+法+以。#0)为奇函数，其图象在点(1,11)处的切线与直线工 6y7=0垂直，导函数/'(X)的最小值为-12.求q, b,。的值.【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及 推理能力和运算能力.题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解 方程组来确定参数。、b、。的值.解：7(处为奇函数，优一x)=一 段)，即一ax3 bx+c= -axibx-c9/.c=0.：f'(x) = 3办2+b 的最小值为一12,：.b=l2.又直线x6y7 = 0的斜率为因此，7(1) = 3+人=6,；.6/=2.6综上,a=2, /?= 12, c=0.12例 4 已知。0,函数/(x) =a , x£(0, +°°).设 0cxe,记曲线 y=/(x)在 xa点M(xi，人加)处的切线为/.求/的方程；(2)设/与X轴的交点是(X2，0),证明：a【分析】对于(1),根据导数的几何意义，不难求出/的方程；对于(2),涉及到不等式的 证明，依题意求出用为表示的X2后，将X2视为羽的函数，即X2 = g(Xl)，结合要证明的结论 进行推理.解：(1)对人幻求导数，得/(乃二-4，由此得切线/的方程为： 厂z 11 z 、y 一 ( )= 7 (x - $)XX：(2)依题意，切线方程中令y=0,得工2 =%2(， 。)+玉=2%一 ax；.一 %2由 0 < 为 < ,及 9 = 25 - axf = (2 - ax),有初。； a 一21 21另一*方面，%2 = 2%_ CIX 6Z(X|) H,a a从而有0<工2 - - ?当且仅当 =工时，X2=. aaa【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明.涉及 的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合， 具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法.本题中的在证明0<为工工时，还可用如下方法：-a作法，x2 = - -2x,= (1 -tzXj)2 >0.a aa利用平均值不等式，% = %(2 )=!()(2-) <-严+：-g)2 = Laa 1a例5设函数/'(x) = ax + (4*£Z),曲线y=/(x)在点(2,12)处的切线方程为y x + b(3)证明：曲线=/(九)上任一点处的切线与直线x=l和直线y=a 值，并求出此定值.解：/'(x) = (x+by1 , 11 92"2 + 厂1'伍=1,于是1/解得1或1 4c因为1八b = -t,8(2 + b)23、:所围三角形的面积为了所以/(%) = % +_ x-1(3)证明：曲线=/(九)上任一点处的切线与直线x=l和直线y=a 值，并求出此定值.解：/'(x) = (x+by1 , 11 92"2 + 厂1'伍=1,于是1/解得1或1 4c因为1八b = -t,8(2 + b)23、:所围三角形的面积为了所以/(%) = % +_ x-1(1)求/(x)的解析式；(2)证明：曲线y=/(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；=3.证明：已知函数力=x, %=，都是奇函数，X所以函数g(x) = x + 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.而 /(X)= x 1 +x-1可知，函数g(x)的图象按向量。=(1, 1)平移，即得到函数/U)的图象，故函数人幻的图象 是以点(1, 1)为中心的中心对称图形.(3)证明：在曲线上任取一点(/,与 +-). 工。一1由/'(4) = 1知，过此点的切线方程为。0 T)X； %0 +1 111/ xy-y=1-(x-x0).x()+1X0-l (%-1)2令工=1得y = *±l,切线与直线X=1交点为(1, / T令y=x得y=2x()1，切线与直线y=x交点为(2乂)- 1, 2x01).直线x=l与直线y=x的交点为(1, 1)；从而所围三角形的面积为L 也把l|2x01 1|=!|二一|2x02|=2. 2 x0 -12 % -1所以，所围三角形的面积为定值2.练习4-1一、选择题:1.(tanx)'等于(1(A)snrx2.设段)=xlnx,若尸(&)=2,则沏等于(A)e2(B)e3.函数的图象与直线y=x相切,(A)-o1 (B)71cos X )ln2 (C)V 则a等于(1(。51(D) cos X(D)ln2(D)l4.曲线y 二9 2 (A)-e221-Xe2在点(4, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()(B)4e2(C)2e2(D)e2二、填空题:1 a.尸是/(%)=一/ + 2工+ 1的导函数，则/'(1)=5 .若函数y=#x）的图象在点M（l,川）处的切线方程是y=x+2,则人1）+/'（1）=.过原点作曲线y=e的切线，则切点的坐标为；切线的斜率为.6 .设函数式幻=加代女工0）,则曲线y=/（x）在点（0,10）处的切线方程是.三、解答题：7 .求下列函数的导数：（l）y=xev；（2）?=x34-cosx；