从一到高考题体会线性逼近思想公开课.docx

从一道高考题中体会线性逼近的思想设函数/(x) = (l %2)e、.(1)讨论F(x)的单调性;(2)当x20时，/(x)%x+l,求的取值范围.(选自2017年高考全国卷(II)文科第21题).说背景本题主要考查函数的性质，导数及其应用等知识，以函数为载体，考查学生的分析问 题、解决问题的能力。1 .说题目本题主要围绕第(2)问展开说题已知条件：f(x) = (l-x2)e由(1)可知/(X)的单调性，当xNO时;(x)S4x+l待求结论：的取值范围.说解法(解法一)由 可知，可得/'(x) = e"(x2-2x+l),火x)在(1 0,1 + 0)上单调递增，在(哈1 夜)，(1 + 0,+8)上单调递增./7x) = eJ(-x2-4x-l),令/"(x) < 0得到x < 2 0或%> 2 +百，所以加)在(-2 +6,-1 +五)上为增函4/ /数且为凸函数。c因为x20时/(x)3zx+l,结合图象，) 又/(x)与y=x+l都过定点(0, 1),故在(0,1)处的切线斜率左=/'(0) = 1, ：.a>l(解法二)因为时+ l所以 xNO 时e-x>-x+ 所以/(x) = (l + x)d x) ex <(l + x)-e-x-ex =x+l (x=0 时等号成立) 只需使x+lSax+l在x20恒成立结合图象可知Q 21.说引申(1) 改范围：在-2<xW0上/(x)S 6ZX+1 ,求Q的范围1-X2(2) 改函数：xeQAJ(x) =满足题意，求a的范围e4 .说反思此种问题，很多学生会想到参变分离的方法，但实则很难前行，若该题转化为 f(X)-(7X-l<0,借助求导工具，研究g(x)=f(x)-zx-l的最大值问题，因为函数复杂也是困难重 重，所以，有没有比较简便易行的方法值得探究，需要转化解题思路。解法(一)利用导数工具研究函数的单调性与凹凸性，既从全局又从细节上，去把握函 数图像的特点，从而发现产f(x)与y=x+l在公共点(0, 1)处的切线是一个临界位置，进 而数形结合解决问题。此法学生易于入手，对于程度尚可的学生处于最近发展区内，有助于 学生转化处理能力，数形结合能力的培养。解法(二)利用+ l的变用：2x+1,将f(x)进行放缩，目的是将其转化为 线性式，从而方便与y=x+l比较。这是一种以直代曲，线性逼近的思想。但此解法要体现 “逼近”二字，放缩中应验证等号是否取到，能否真正实现以直代曲，故应把握好放缩尺度。这里有一定的技巧性，虽然解题简便，但对学生要求较高，应使用好例如/Nx + 1, InxWx 1等常用结论。对于大题，解法(一)是否欠缺一些科学性，自身也产生了一定的怀疑，与备课组成员 进行探讨，有的人认为可行，有的人认为切线只是局部性质，凹凸性是一个整体性质，两者 结合解题导出结论不谨慎。而解法(二)中以直代曲的思想若使用正确，可处理的比较简便, 对于本题更推荐以直代曲的解决方案。5 .说教法可采用学生先行，共同反思，转化思路，实践探究，升华总结的步骤。学生处理函数往 往是一上手马上求导，并没有真正分析过题目，这是一种不好的习惯，所以让学生先做先思, 然后提问讨论，共同反思的教法容易分析学生的思维定势，找出解题的瓶颈。学生是主体，教师是中心，所以，教师应给学生指明方向，带领学生一起探讨函数的多 种性质，数形结合分析探究，从图形特点中找方法。对于以直代曲的思想，在平常教学中， 也有强调+ l与lnx«尤1的应用，强化图形记忆结论，建议解法（一）后介绍解法 （-）,起到一种升华作用，可以让学生体会以直代曲方法的优越性，开阔思维，提升解决 问题的能力。