35直接证明和间接证明-文科带解析.docx
A.至少有一个不大于2C.至少有一个不小于2B.都小于2D.都大于2直接证明与间接证明【学习目标】1 . 了解直接证明的两种基本方法一一分析法 和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特 点.2 .了解间接证明的一种基本方法一一反证法, 了解反证法的思考过程及特点.【预习案】1 .直接证明（1）综合法：利用己知条件和某些数学定义、 定理、公理等，经过一系列的,最后推导 出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.（2）分析法：从 出发，逐步寻求使它成立的,直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条 件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做 分析法.2 .间接证明反证法：假设原命题（即在原命题 的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后 得出，因此说明假设错误，从而证明了原【预习自测】1.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成 立的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.用反证法证明”如果眇6,那么名即” 的假设内容应是（）A.%=汨B.C. %=加且即赤D.甑=赤或/赤3.设a、b、。是互不相等的正数，则下列不 等式中不恒成立的是（）A. | a-c W | ab + | cbB.3a aC. .+ 3 -1 <a+2 - yjhD. | a b +-72a-b4.在集合a, b, c,切上定义两种运算和如下:那么曲（ac）等于（）A. a B. b C. c D. d5. 设 x、八 z£RZ a=x+-9 b=y+, c= y zz+L 则 a、b、c 三数（）x【合作探究】题型一综合法【例1已知a, b, c都是实数，求证：a+lf+ c2（a+ b+ c）2 2 ab+ bc+ ca.命题成立，这样的证明方法叫做反证法.探究1设a b, c>0,证明:题型二分析法【例2】若a, b,。是不全相等的正数，求证:lg y+lg ”+lg y>lg a+lg b+lg c. 乙乙乙题型三反证法【例3】若筋y都是正实数，且x+y>2,1 + y 1 + y求证：-<2与一-<2中至少有一个成立.探究3若a, b,。均为实数，且a=x-2yJl。JT。JI+-, b= y2z+, c=z -2才+工 求证：a, b, Zooc中至少有一个大于0.【名师点睛】1 .综合法是从条件推导到结论的思维方法，它 是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达 到待证的结论.即由因导果.2 .分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求 结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或 己被证明的事实.即执果索因，用分析法寻找解题 思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析 综合法.3 .用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设：假定所要证的结论不成立，即结论的 反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过 正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公 理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推 导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因 在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从 而肯定了结论成立.（结论成立）直接证明与间接证明预习案1 . (1)推理论证 成立(2)要证明的结 论充分条件2 .不成立矛盾预习自测1. A 由分析法的定义可知.2. D 因为名>赤的否定是汨W赤，即.=或ya<氾3. D D选项成立时需得证ab>O.A中|，一 b + | c-b 2 | (ab) (c6) | = | a-c , B 作差 可证；C移项平方可证.4. A 由所给的定义运算知a。=c, c>c= a.C _a+ b+ c= x+y+ y z x因此a、b、。至少有一个不小于2.合作探究【例11解题导引 综合法证明不等式，要特别 注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里 可从基本不等式相加的角度先证得+bi+cab + 8c+ca成立，再进一步得出结论.证明,才+下22瓶，片+ k2bc, c2 +三式相加得才+ b + cab+ bc+ ca,:.3a2 + 3Z?2 + 3-2 3 + .2 + /) +2 (aZ?+ bc+ ca)=(a+/?+c)2. 二# + Z/ + / 2 (a + Z?+ c) / a +Ij + c2 ab+ bc+ ca,才+/+/+2 (a/?+ bc- ca)2 ab+ bc+ ca+2 (ab+ bc+ ca),/. (a+ b+ c) 223 (aZ?+ bc+ ca). 原命题得证.探究1证明,: a, b, c>0,根据基本不等式，a2gy有 7+A22a, +c22Z?, +a22c.bca/ a2 /三式相加：y+a+ b+ c22(a+ b+ b c ac). 甘 d即亍+N a+ b+ c.b c a【例21解题导引当所给的条件简单，而所证 的结论复杂，一般采用分析法.含有根号、对数符 号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以 考虑分析法.、丁口“ 南、t 】b+c t 1 c+a、i 1证明 要证 lg+lg-+lg->lg a+ lg b+lg c,1工一 仿+b b+c c+a /、只需证 卅一J>lg(a 6 c), 只需证中中 中>"c.(中间结果)因为& b, c是不全相等的正数,r, a+ b、 /b c、 r则 2 jab >0 , z 2、bc0 , 乙乙且上述三式中的等号不全成立，所以亨警学>/，.(中间结果) 乙乙乙所以a+lg b+ lg c.探究2证明 要证才+±-啦2a+,一 l aa2,只要证a>0 ,故只要证 N，+5+22, a+1+/ 2, /即 a+±+4 A /才+±+4a l a1 p24 + 2+f+2也 a-一 +2,a I a)从而只要证啦5+',(n (只要证4 a+ 22才+ 2+二,I 5 J I a)即1+422,而该不等式显然成立，故原不 a等式成立.【例31解题导引(1)当一个命题的结论是以 ，至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现 时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推 理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾， 与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事 实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.证明 假设业<2和上匕2都不成立,则有922和比22同时成立,因为x>0且y>0,所以 l+x22y,且 l+y22x,两式相加，得2 + x+ 2x+ 2y,这与已知条件x+y>2相矛盾,1 -4- v 1 y因此<2与二2<2中至少有一个成立.探究3证明假设ab, c都不大于0,即3>0,9, n 9, nVc?=% 2y+, b=y2z+, c=z-2x乙J/. x2y+/ 2z+z2x+ Zoo=(X-1Y+ (y-l)2+ (z-l)2+ ( n -3) 0,又(xl)2+(y1产+(2I)?。,nA a-l)2+(y-l)2+(z-l)2+(n -3)>0. 式与式矛盾，假设不成立，即H, b, C 中至少有一个大于0.
